【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第28讲 直线与直线平行 讲义

第28课    直线与直线平行

知识点01   基本事实4

【即学即练1】　如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　)

A．平行 B．相交

C．异面 D．平行或异面

知识点02  空间等角定理

1．定理

2.推广

如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．

反思感悟　等角定理的结论是两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能．

【即学即练2】　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.

考法01  基本事实4的应用

【典例1】如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

反思感悟　基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

【变式训练】如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：四边形MNA1C1是梯形．

考法02  等角定理的应用

【典例2】如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.

反思感悟

【变式训练】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1.

题组A  基础过关练

一、单选题

1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（　　）

A．60° B．120° C．30° D．60°或120°

2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ）

A．异面或平行 B．异面或相交

C．异面 D．相交、平行或异面

3．过平面外的直线l作一组平面与相交，若所得交线分别为a，b，c…，则这些交线的位置关系为（    ）

A．相交于同一点 B．相交但交于不同的点

C．平行 D．平行或相交于同一点

4．已知，，，则（    ）

A． B．或

C． D．或

5．在空间，下列说法正确的是

A．两组对边相等的四边形是平行四边形

B．四边相等的四边形是菱形

C．正方形确定一个平面

D．三点确定一个平面

6．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（    ）

A．EF与GH平行

B．EF与GH异面

C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上

D．EF与GH的交点M一定在直线AC上

二、多选题

7．，，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（    ）

A．， B．，

C．，，共面 D．，，共点，，共面

8．(多选题)下列命题中，错误的结论有（    ）

A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等

C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补

D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行

三、填空题

9．在长方体中，与平行的棱有____________(填写所有符合条件的棱)

10．如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为______.

11．如图，空间四边形中，分别是△和△的重心，若，则___.

12．已知矩形中，，点，分别为线段的中点，现将沿翻转，直到与首次重合，则此过程中，线段的中点的运动轨迹长度为____________．

四、解答题

13．如图1所示，在梯形中，，，分别为，的中点，将平面沿翻折起来，使到达的位置（如图2），，分别为，的中点，求证:四边形为平行四边形.

图1                        图2

14．如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.

（1）证明: ，，.

（2）求的值.

15．在三棱锥中，分别是边的中点．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，求证：四边形为菱形．

16．如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）求证：．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．在空间四边形ABCD中，AC=BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接各边中点E，F，G，H，所得四边形EFGH的形状是（    ）

A．梯形 B．矩形

C．正方形 D．菱形

2．已知在三棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（   ）

A． B．

C． D．

3．对于空间三条直线，有下列四个条件：

①三条直线两两相交且不共点；

②三条直线两两平行；

③三条直线共点；

④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．

其中，使三条直线共面的充分条件有(　　)

A．1个 B．2个 C．3 D．4个

4．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

5．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（    ）

A．EF与GH平行

B．EF与GH异面

C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上

D．EF与GH的交点M一定在直线AC上

6．如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是

A． B． C． D．

二、多选题

7．已知三棱柱的棱长均相等，则（    ）

A． B．

C． D．

8．(多选题)下列说法中，正确的结论有（    ）

A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等

C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补

D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行

三、填空题

9．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).

10．已知长方体的体积为9，，，且异面直线AC与所成的角为，则该长方体的表面积为___________.

11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．

12．已知，，是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③若平面，平面，则，一定是异面直线；④若，与成等角，则．其中正确的说法是______（填序号）．

四、解答题

13．如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．

14．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且，.

（1）证明：E，F，G，H四点共面.

（2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？

15．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.

16．在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，

求证：(1) ；

(2)∠EA1F＝∠E1CF1.

题组C  培优拔尖练

一、单选题

1．在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（    ）

A．5 B．10

C．12 D．不能确定

3．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（    ）

A．EF与GH平行

B．EF与GH异面

C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上

D．EF与GH的交点M一定在直线AC上

4．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是

A． B． C． D．

6．如图所示，在直角梯形中，，分别是上的点，且，（如图1）.将四边形沿折起，连接，，（如图2）.在折起的过程中，则下列表述：

①平面；

②四点B、C、E、F可能共面；

③，则平面平面；

④平面与平面可能垂直.

其中正确的是（    ）

A．①④ B．①③ C．②③④ D．①②④

二、解答题

7．在长方体中，求证：

（1）；

（2）.

8．如图，P是△ABC所在平面外一点，D、E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：DE//AC，.

9．如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）求证：．

10．正方体中：

（1）求AC与所成角的大小；

（2）若F分别为AD的中点，求与CF所成角的余弦值.