2024版新教材高中数学课时作业四十一几种简单几何体的表面积湘教版必修第二册

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课时作业(四十一)　几种简单几何体的表面积[练基础]1．一个球的表面积为144π，则这个球的半径为(　　)A．6 B．12 C．6π D．12π2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 eq \r(3)，则这个圆锥的表面积是(　　)A．3π B．3 eq \r(3)π C．6π D．9π3．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　)A． eq \f(8π,3) B． eq \f(32π,3) C．8π D． eq \f(8\r(2)π,3)4．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为(　　)A．48(3＋ eq \r(3)) B．48(3＋2 eq \r(3))C．24( eq \r(6)＋ eq \r(2)) D．1445．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，若过直线OP的平面截圆锥所得的截面是面积为8的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为(　　)A．(8 eq \r(2)＋8)π B．4 eq \r(2)πC．8π D．8 eq \r(2)π6．(多选)以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为(　　)A．64π cm2 B．36π cm2C．54π cm2 D．48π cm27．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．8．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为________ cm2.9．已知正四棱锥底面正方形边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．10．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．[提能力]11．已知一个圆锥的底面圆面积为3π，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于(　　)A．12π B．16π C．36π D．48π12．若正方体的棱长为 eq \r(2)，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为(　　)A． eq \f(\r(2),3)  B．2 eq \r(3)  C． eq \r(3)  D． eq \f(\r(2),6) 13．如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P ­ ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．14．已知三棱锥P ­ ABC的所有棱长都相等且长度为1，则三棱锥P ­ ABC的内切球的表面积为________．15．一个圆锥底面半径为R，高为 eq \r(3)R，(1)求圆锥的表面积．(2)求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．[培优生]16．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短距离为 eq \r(29)，设这条最短路线与CC1的交点为N.求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)此棱柱的表面积．课时作业(四十一)　几种简单几何体的表面积1．解析：由题意得，设球的半径为R，则4πR2＝144π，解得R＝6.答案：A2．解析：根据轴截面面积是eq \r(3)，可得圆锥的母线长a为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.故选A.答案：A3．解析：设球的半径为R，则截面圆的半径为eq \r(R2－1)，∴截面圆的面积为π(eq \r(R2－1))2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.答案：C4．解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2×eq \f(\r(3),4)×42×6＝48eq \r(3)，所以表面积S＝48(3＋eq \r(3)).答案：A5．解析：设圆锥的母线长为l，则eq \f(1,2)×l×l＝8，得l＝4，即母线长为4，设圆锥的底面半径为r，则(2r)2＝l2＋l2＝32，解得r＝2eq \r(2)，即圆锥底面圆的半径为2eq \r(2)，所以圆锥的侧面积为eq \f(1,2)×4eq \r(2)π×4＝8eq \r(2)π.答案：D6．解析：分别以长为8cm，宽为6cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，其底面面积分别为64πcm2，36πcm2.答案：AB7．解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.答案：28．解析：易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为eq \r(132－52)＝12，所以正四棱台的表面积S＝4×eq \f(1,2)×(8＋18)×12＋82＋182＝1012(cm2).答案：10129．解析：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴PE＝2OE＝4cm，因此，S棱锥侧＝eq \f(1,2)Ch′＝eq \f(1,2)×4×4×4＝32(cm2)，S表面积＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2).10．解析：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56，∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))2＝eq \f(a2＋b2,4)＝eq \f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.∴直四棱柱的底面积S底＝eq \f(1,2)AC·BD＝20eq \r(7).∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20eq \r(7)＝160＋40eq \r(7).11．解析：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，圆锥的外接球半径为R，则πr2＝3π，可得r＝eq \r(3)，由于圆锥的侧面展开图是半圆，则πl＝2πr，可得l＝2r＝2eq \r(3)，∴h＝eq \r(l2－r2)＝3，由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，所以，|h－R|2＋r2＝R2，解得R＝2，因此，该圆锥的外接球的表面积为4πR2＝16π.答案：B12．解析：所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为eq \f(\r(2),2)的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(12＋12),2)))\s\up12(2))＝1，所以，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S＝8×eq \f(1,2)×1×1×sin60°＝2eq \r(3).故选B.答案：B13．解析：显然正六棱锥PABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，由已知，可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥PABCDEF的高为2.则斜高为eq \r(22＋（\r(3)）2)＝eq \r(7)，所以该正六棱锥的侧面积为eq \f(1,2)×6×2×eq \r(7)＝6eq \r(7).答案：6eq \r(7)14．解析：因为棱长为1的正四面体的底面积S＝eq \f(\r(3),4)，高h＝eq \f(\r(6),3)，所以V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(\r(2),12).设内切球的半径为r，则球心到各个底面的距离都为r，且球心与各个底面构成的三棱锥的体积都是V′＝eq \f(1,3)Sr，所以V＝4V′，即eq \f(\r(2),12)＝4×eq \f(1,3)Sr，从而r＝eq \f(\r(6),12).故内切球的表面积为4πr2＝eq \f(π,6).答案：eq \f(π,6)15．解析：(1)由题意可知，圆锥的母线长为l＝eq \r(R2＋（\r(3)R）2)＝2R，所以，该圆锥的表面积为S＝πR(R＋l)＝3πR2；(2)如图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x，∵△PBC∽△PAO，∴eq \f(BC,AO)＝eq \f(PC,PO)，即eq \f(x,R)＝eq \f(\r(3)R－OC,\r(3)R)，解得OC＝eq \r(3)(R－x)，正四棱柱的底面是一个正方形，其底边长为eq \r(2)x，底面积为2x2，所以，四棱柱的表面积为S＝2×2x2＋4×eq \r(2)x×eq \r(3)(R－x)＝(4－4eq \r(6))x2＋4eq \r(6)Rx，由二次函数的基本性质可知，当x＝eq \f(4\r(6)R,8（\r(6)－1）)＝eq \f(\r(6)R,2（\r(6)－1）)时，正四棱柱的表面积S有最大值，即Smax＝eq \f(6（\r(6)＋1）R2,5).16．解析：(1)正三棱柱ABCA1B1C1侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为eq \r(92＋42)＝eq \r(97).(2)如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P移动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．设PC＝x，即P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得(3＋x)2＋22＝29，求得x＝2，∴PC＝P1C＝2.∵eq \f(NC,MA)＝eq \f(P1C,P1A)＝eq \f(2,5)，∴NC＝eq \f(4,5).(3)棱柱的表面积：S＝S侧＋2S底＝9×4＋2×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×32＝eq \f(72＋9\r(3),2).