高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.1 空间的几何体达标测试

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.1 空间的几何体达标测试，共6页。

1．已知正四棱柱的底面长是3 cm，侧面的对角线长是3 eq \r(5) cm，则这个正四棱柱的体积为( )cm2
A．18 B．54 C．64 D．23
2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3 B．4∶9
C． eq \r(2)∶ eq \r(3) D． eq \r(8)∶ eq \r(27)
3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．2π B．3π C．4π D．8π
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥C1­A1BD的体积为( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,4) C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3)
5．《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d，公式为d＝ eq \r(3,\f(16,9)V)，如果球的半径为 eq \f(1,3)，根据“开立圆术”的方法求得球的体积为( )
A． eq \f(π,2) B． eq \f(π,6) C． eq \f(4,81) D． eq \f(1,6)
6．(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( )
A．圆柱的侧面积为2πR2
B．圆锥的侧面积为2πR2
C．圆柱的侧面积与球面面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
7．一个长方体的三个面的面积分别是 eq \r(2)， eq \r(3)， eq \r(6)，则这个长方体的体积为________．
8．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是________cm.
9．如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求棱锥的体积．
10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2 eq \r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的体积．
[提能力]
11．乔家大院是山西省著名的旅游景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图(1)所示的浮雕，很好地展现了山西省灿烂辉煌的“晋商文化”．某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图(2)的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为12 cm的作品烧制成功后直径缩小到9 cm.若烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为18 eq \r(2) cm3的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为( )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
12．(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的各棱长均为2，下列结论正确的是( )
A．该正方体外接球的直径为2 eq \r(3)
B．该正方体内切球的表面积为4π
C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为 eq \r(2)
D．该正方体外接球的体积为4 eq \r(3)
13．某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 eq \r(3)的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为________．
14．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＋AC＝12，分别取三边的中点D，E，F，将△BDE，△ADF，△CEF分别沿三条中位线折起，使得A，B，C重合于点P，则当三棱锥P ­ DEF的外接球的体积最小时，其外接球的半径为________，三棱锥P ­ DEF的体积为________．
15．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的体积是 eq \f(32π,3)，求此三棱柱的体积．
[培优生]
16．某市广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息，如图(1)的多面体石凳是由图(2)的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是 eq \f(160,3) dm3.
(Ⅰ)求正方体石块的棱长；
(Ⅱ)若将图(2)的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积．
课时作业(四十二) 几种简单几何体的体积
1．解析：由题意知，正四棱柱的高为eq \r(（3\r(5)）2－32)＝6，
所以它的体积V＝32×6＝54.
答案：B
2．解析：由两球的体积之比为8∶27，可得半径之比为2∶3，故表面积之比是4∶9.
答案：B
3．解析：设圆柱母线长为l，底面半径为r，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(l＝2r，,2πrl＝4π，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝2，))∴V圆柱＝πr2l＝2π.
答案：A
4．解析：由VB1－A1BC1＝VD1－A1DC1＝VC－BDC1＝VA－A1BD＝eq \f(1,3)×1×eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,6)，
VC1－A1BD＝VABCD－A1B1C1D1－4VB1－A1BC1＝1－4×eq \f(1,6)＝eq \f(1,3).
答案：A
5．解析：依题意d＝eq \r(3,\f(16,9)V)，故V＝eq \f(9,16)d3＝eq \f(9,16)·(2r)3＝eq \f(9,2)r3，其中r是球的半径．
所以球的体积为eq \f(9,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,6).
答案：D
6．解析：依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，∴A错误；圆锥的侧面积为πR×eq \r(5)R＝eq \r(5)πR2，∴B错误；球面面积为4πR2，∵圆柱的侧面积为4πR2，∴C正确；∵V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝eq \f(1,3)πR2·2R＝eq \f(2,3)πR3，V球＝eq \f(4,3)πR3，∴V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶eq \f(2,3)πR3∶eq \f(4,3)πR3＝3∶1∶2，∴D正确．
答案：CD
7．解析：设长方体中从一个顶点出发的三条棱的长分别为a，b，c.
由长方体的三个面的面积分别是eq \r(2)，eq \r(3)，eq \r(6)，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘可得(abc)2＝6，
∴长方体的体积V＝abc＝eq \r(6).
答案：eq \r(6)
8．解析：由题意可知，铜质的五棱柱的体积为V＝16×4＝64(cm3)，
融化后，正方体铜块的体积为V＝a3＝64，解得a＝4.
答案：4
9．解析：∵VM是棱锥的高，∴VM⊥MC.
在Rt△VMC中，MC＝eq \r(VC2－VM2)＝eq \r(52－42)＝3(cm)，
∴AC＝2MC＝6(cm).
在Rt△ABC中，BC＝eq \r(AC2－AB2)＝eq \r(62－42)＝2eq \r(5)(cm).
S底＝AB·BC＝4×2eq \r(5)＝8eq \r(5)(cm2)，
∴V棱锥＝eq \f(1,3)S底h＝eq \f(1,3)×8eq \r(5)×4＝eq \f(32\r(5),3)(cm3).
10．解析：如图，过C作CE垂直于AD，交AD延长线于E，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝eq \f(1,3)π×(52＋5×2＋22)×4－eq \f(1,3)π×22×2＝eq \f(148,3)π.
11．解析：因为直径为12cm的作品烧制成功后直径缩小到9cm，
所以烧制成功后变为原来的eq \f(3,4)，
设正四面体的边长为a，其高为eq \f(\r(6),3)a，
则其体积为V＝eq \f(1,3)·eq \f(\r(3),4)a2·eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(2),12)a3，
令eq \f(\r(2),12)a3＝18eq \r(2)，解得a＝6cm，
由于比例变化相等，故烧制前棱长为eq \f(6,\f(3,4))＝8cm.
答案：C
12．解析：若正方体的棱长为2，则：
①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，
即2R＝eq \r(22＋22＋22)＝2eq \r(3)，故A正确；外接球体积为eq \f(4,3)πR3＝4eq \r(3)π，故D错误；②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故R＝1，
球的表面积为4πR2＝4π，故B正确；③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，
即R＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，球的半径为R＝eq \r(2)，故C正确．
答案：ABC
13．解析：
如图：由正六边形的每个内角为eq \f(2π,3)，
按虚线处折成高为eq \r(3)的正六棱柱，即BF＝eq \r(3)，
所以BE＝eq \f(BF,tan\f(π,3))＝1，
可得正六棱柱底边边长AB＝6－2×1＝4，
所以正六棱柱体积：V＝6×eq \f(1,2)×4×4×eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)＝72.
答案：72
14．解析：由题意得三棱锥PDEF的对棱分别相等，设BC＝2a，则AC＝12－2a，
将三棱锥PDEF补体成长方体，则对角线长分别为a，6－a，4，
三棱锥PDEF的外接球即为长方体的外接球．设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，
则x2＋y2＝a2，y2＋z2＝(6－a)2，x2＋z2＝16，
所以x2＋y2＋z2＝a2－6a＋26，
则外接球半径r＝eq \f(\r(x2＋y2＋z2),2)＝eq \f(\r(a2－6a＋26),2)，
当a＝3时，半径最小，此时三棱锥PDEF的外接球的体积最小，此时r＝eq \f(\r(17),2)，
解得x＝z＝2eq \r(2)，y＝1，
所以三棱锥VPDEF＝2eq \r(2)×2eq \r(2)×1－4×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)×1＝eq \f(8,3).
答案：eq \f(\r(17),2) eq \f(8,3)
15．解析：由eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32π,3)，得R＝2，
∴正三棱柱的高h＝4.
设其底面边长为a，
则eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)a＝2，
∴a＝4eq \r(3)，
∴V＝eq \f(\r(3),4)×(4eq \r(3))2×4＝48eq \r(3).
16．解析：(Ⅰ)设正方体石块的棱长为a(dm)，
则每个截去的四面体的体积为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))3＝eq \f(a3,48)，
由题意可得8×eq \f(a3,48)＋eq \f(160,3)＝a3，解得a＝4dm，
故正方体石块的棱长为4dm；
(Ⅱ)当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的体积最大，
此时正方体的棱长正好是球的直径，球形石凳的最大体积：V＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2)))3＝eq \f(32,3)πdm3.