湘教版（2019）必修 第二册4.5 几种简单几何体的表面积和体积教案设计

棱台和球的体积

【教学目标】

1、通过对棱台体积的探究过程，掌握台体体积公式，掌握柱、锥、台体积之间的关系，能利用柱体、锥体、台体的体积公式解决实际问题。

2、了解球体积公式的推导过程，掌握球体积公式。

3、通过一系列富有探究性的问题，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，养成严谨的科学态度及勇于探索的精神。培养与他人交流、合作的意识，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点】台体和球的体积公式

【教学难点】球体积公式

【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习

【教学手段】计算机、投影仪

【核心素养】直观想象，逻辑推理，数学抽象，数学运算，

【教学过程】

课前任务：

梳理柱体锥体体积公式探究过程，上课开始，请学生汇报学习成果。

〖设计意图〗温故而知新，台体体积可以由两个锥体体积做差得到

一、创设情境，引入课题

用钢材熔铸一个如图所示的容器的盖子，已知盖子是用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2R和4R，高为0.6R，需要多少钢材？（用R表示）

〖设计意图〗从生活实际出发，通过分析可知该问题的解决需要知道棱台和球的体积公式，进而引入本节新课。激发学生学习兴趣。

1.探究圆柱体积公式

问题1：根据上节课的学习经验，想一想，棱台与棱锥之间有什么关系？

〖预案〗

棱台可以看作是用平行于棱锥底面的一个平面截这个棱锥得到的，因此，棱台的体积可以用两个棱锥的体积差来计算。

根据相似比与面积之间的关系可知，

，所以所以=，

所以棱台的体积

=

所以=，其中S’、S分别为棱台的上底、下底面积，h为棱台的高。

问题2这个公式适用于圆台的体积吗？

问题3能否通过台体（棱台、圆台）体积公式得到柱体（棱柱、圆柱）棱锥（圆柱、圆锥）的体积公式？

〖预案〗

〖设计意图〗激发学生思考，学生自主探究棱台体积公式，并自主归纳总结任意一个台体的体积公式。

2.球体积公式

球是一种完美的几何体，人们无时无刻不想探讨出球的表面积和体积的计算公式。球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数，中国古代从刘徽到祖暅通过不断努力，最后通过“牟合方盖”推导出了球的体积公式V=，并且诞生了伟大的“祖暅原理”。今后我们将学习更多的知识后再对球的体积公式进行严格推导。

问题4 回到最开始的生活问题，需要多少钢材才能做一个盖子？

〖预案〗根据台体体积公式

=可知，

==1.4

，所以总体积为1.4+

三、掌握方法，适当延展

练习1、一个棱台的高为20cm，体积为1720,两底面对应边的比为5:8，求这个棱台的两个底面积。

〖预案〗

〖设计意图〗及时巩固台体体积公式

四、归纳小结，提高认识

问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获？

〖预案〗

这节课我们利用两个锥体体积做差的方法得到了台体体积公式。了解了刘徽等人利用牟合方盖求球体积的创造性智慧。数学真理的发现不是一蹴而就的，需要百折不挠的毅力与孜孜不倦的探究。

〖设计意图〗同学们畅所欲言，分享自己的学习体会，在分享中反思自己的学习过程，观察别人的学习行为，提高学生对本节课所学知识的认识，培养学生归纳总结能力。

作业：

练习1、 下图是一个奖杯的三视图（单位：厘米），试求出这个奖杯的体积

〖预案〗：

所以V=

〖设计意图〗本题综合柱体、台体、球体体积公式，学生在解决问题的过程中体会数学的应用价值。