高中湘教版（2019）4.5 几种简单几何体的表面积和体积教学设计

圆柱和圆锥的体积

【教学目标】

1、理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；体会祖暅原理中由“面积相等”推出“体积相等”的微积分思想；

2、类比棱柱棱锥体积公式的推导过程，在推导圆柱、圆锥体积公式的过程中，进一步理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法，掌握圆柱、圆锥的体积公式，进一步掌握柱体、椎体的体积公式，并能利用柱体、椎体的体积公式解决实际问题。

3、通过一系列富有探究性的问题，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，养成严谨的科学态度及勇于探索的精神。培养与他人交流、合作的意识，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点】祖暅原理和圆柱、圆锥体积公式的推导。

【教学难点】祖暅原理的理解

【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习

【教学手段】计算机、投影仪

【核心素养】直观想象，逻辑推理，数学抽象，数学运算，

【教学过程】

课前任务：

梳理上节课的学习内容，上课开始，请学生汇报学习成果。

〖设计意图〗温故而知新，本节课教学内容探究思路与方法跟上节相似，通过回顾上节课教学内容，一方面帮学生巩固棱柱棱锥的体积公式，另一方面为本节课柱体、锥体体积公式的进一步探究做准备。

一、创设情境，引入课题

我们常常会将袋装牛奶倒进杯子中再喝。现在有一个上口直径为10cm，高为10cm的圆柱形杯子，请问它能否装下一袋498ml的牛奶？

〖设计意图〗从生活实际出发，通过分析可知该问题的解决需要知道圆柱体体积公式，进而引入本节新课。激发学生学习兴趣。

1.探究圆柱体积公式

问题1：根据上节课的学习经验，想一想，如何探究圆柱体积公式？

〖预案〗学生根据上节课的学习经验及课前复习内容，学生想到利用祖暅原理探究圆柱体积，并进一步想到需要构造一个几何体，这个几何体满足两个条件①该几何体的体积计算公式已知②它符合祖暅原理的条件，即该几何体与棱柱能夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的面积总相等。所以可以构造一个与圆柱等底面积等高的棱柱，根据祖暅原理，这个圆柱体积等于棱柱体积，所以。

问题2 你能得到一个关于柱体（包括圆柱和棱柱）体积的什么结论？

〖预案〗柱体体积公式V=Sh，任意两个等底面积等高的柱体体积都相等。

〖设计意图〗激发学生思考，学生自主探究圆柱体积公式，经历构造等底面积等高的棱柱的过程再利用祖暅原理推导出圆柱体积公式。并自主归纳总结任意一个柱体的体积公式。

问题3 回到最开始的生活问题，杯子里能装得下这袋牛奶吗？

〖预案〗

根据柱体体积公式V=Sh可知，玻璃杯的容积约为498ml=498，，所以能装得下。

2.探究圆锥体积公式

问题4想一想，如何探究圆锥的体积公式？

〖预案〗探究思路：方法一：根据棱柱棱锥体积之间三倍关系，探究圆柱圆锥体积之间的关系（这里不能简单地将圆柱分成三个体积相等的圆锥，当学生探究陷入困顿之时，教师动画展示等底面积等高圆柱圆锥“倒水”实验）；方法二：根据圆柱、棱柱柱体体积之间的关系，探究棱柱、棱锥锥体体积之间的关系。利用祖暅原理及图形相似的知识，得到任意两个锥体体积相等。

〖设计意图〗通过上节课棱柱棱锥体积公式的探究过程，学生掌握了一定的探究椎体与柱体体积的学习经验与探究方法，所以教师更多的放手给学生，让学生大胆猜想并证明，最终在实验与证明中得到圆锥的体积公式。

问题5： 你能得到一个关于锥体（包括圆锥和棱锥）体积的什么结论？

〖预案〗锥体体积公式V=Sh（其中S是锥体底面积，h是棱锥的高），任意两个等底面积等高的锥体体积都相等。

三、掌握方法，适当延展

练习1、 把一个长宽高分别为9cm，7cm，3cm的长方体铁块和一个棱长为5cm的正方体铁块熔铸成一个圆柱体，这个圆柱体的底面直径是20cm，高是多少厘米？（圆周率约为3.14）

    〖预案〗，，所以，所以圆柱体的高为

〖设计意图〗及时巩固柱体体积公式

练习2、一个圆锥形漏斗,量得底面周长是25.12分米,高是15分米,这个圆锥形钢材的体积是多少?（圆周率约为3.14）

〖预案〗底面圆形半径为，所以圆锥体积为，所以刚才的体积为251.2立方分米。

〖设计意图〗及时巩固棱锥体积公式

四、归纳小结，提高认识

问题11：通过本节课的学习，你有哪些收获？

〖预案〗

（1）这节课我们类比棱柱、棱锥体积探究过程，再次利用祖暅原理探究了圆柱、圆锥的体积公式，并进一步得到了柱体、锥体体积之间的关系。

（2）学习了从一般到特殊，再从特殊到一般的数学研究方法。探究一个一般性的问题，我们往往先将其具体化，在具体问题的探究过程中找到一般性情况的研究思路及研究方法，再推广到一般得到相应的结论。

〖设计意图〗同学们畅所欲言，分享自己的学习体会，在分享中反思自己的学习过程，观察别人的学习行为，提高学生对本节课所学知识的认识，培养学生归纳总结能力。

作业：

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及委米几何”其意思是：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长我8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有多少斛？

〖预案〗：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，则，所以，，所以米堆的体积约为35.56立方尺，所以堆的斛数是

〖设计意图〗从古至今，在生产实际中，经常遇到体积的计算问题，比如兴修水利、修建道路、修建粮仓等都需要计算数量和容积，通过对《九章算术》中问题的研究，体会数学的应用价值，体会建立数学模型的思想。