高中数学4.5 几种简单几何体的表面积和体积教学设计

几种简单几何体的表面积

【教学目标】1.能够画出直棱柱，正棱锥，正棱台，圆柱，圆锥，圆台的侧面展

开图，并推导出相应几何体的侧面积、表面积.

2.能够建立数学模型，计算出实际问题中几何体的表面积.

3.理清简单几何体结构上的联系，进而体会侧面积公式之间的内部联系.

【教学重点】  推导简单几何体的侧面积公式.

【教学难点】  建立恰当的数学模型，计算出实际问题中几何体的表面积.

【教学方法】  启发，探究.

【教学手段】  多媒体PPT.

【核心素养】  几何直观 逻辑推理.

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

1.复习引入：简单几何体的分类及概念

多面体：把若干个平面多边形（包括三角形）所围成的封闭体，叫作多面体.

          棱柱、棱锥、棱台都是多面体.

旋转体:一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条定直线旋转而成的几何体称为旋转体.

          圆柱、圆锥、圆台、球体都是旋转体.

2.思考：根据简单几何体的结构特征，如何求多面体及旋转体的表面积？

二、归纳探索，形成概念

问题1：如何求直棱柱侧面积？

例：直三棱柱侧面积求法.

由特殊到一般，引导学生类比归纳出直棱柱的侧面积公式：

其中，C为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高.

问题2：如何求正棱锥的侧面积？

例：正三棱锥侧面积求法.

由特殊到一般，引导学生通过类比直棱柱侧面积的计算方法，类比归纳正棱锥的侧面积公式：

其中，C为正棱锥的底面周长，为侧面等腰三角形的高.

问题3：如何求正棱台的侧面积？

例：正三棱台侧面积求法.

由特殊到一般，引导学生类比归纳出正棱台的侧面积公式：

其中，C、为棱台两底面的周长，为棱台侧面的高.

问题4：如何求圆柱的侧面积、表面积？

由圆柱的侧面展开图，引导学生类比归纳出圆柱的侧面积公式：

其中，r为圆柱底面半径，l为圆柱的母线长.

问题5：如何求圆锥的侧面积、表面积？

  由圆锥的侧面展开图，引导学生类比归纳出圆锥的侧面积公式：

其中，r为圆锥底面半径，l为圆锥的母线长.

问题6：如何求圆台的侧面积？

 由圆台的侧面展开图，引导学生类比归纳出圆台的侧面积公式：

其中，为圆台上底面半径，为圆台的下底面半径，l为圆台的母线长.

问题7:如何求球的表面积？

其中，R为球的半径.

三、掌握证法，适当延展

例1： 如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D，E是，的中点，.

(1)求此正三棱柱的侧棱长；

(2)正三棱柱的表面积．

引导学生分析思路  （1）证明△AED为直角三角形，然后求侧棱长；

（2）分别求出侧面积与底面积．

例2 ：已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．

 引导学生发现四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．所以只需要求出每个正三角形的面积.

例3：如图，正三棱台上、下底面边长分别为3cm和6cm,高1.5cm.求三棱台的侧面积.

解：O1O分别是上、下底面中心，则O1O=1.5，连接A1O1并延长交B1C1于D1.连接AO并延长交BC于D，过D1作D1E⊥AD于E，

在Rt△D1ED中，

D1E=O1O=1.5，DE=DO-OE=DO-D1O1=，

，

所以.

答：三棱台的侧面积为.

引导学生发现正三棱台的侧面展开图是由三个全等的等腰梯形构成，已知梯形的上下底，要求棱台的侧面积，关键是求展开图中梯形的高.

例4：蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的.如果想在某个牧区搭建15个底面积为33，高为10(其中圆锥形顶子的高度为2)的蒙古包.那么至少需要用多少平米的帆布?(结果精确到0.1).

引导学生分析所需帆布的面积是圆锥形屋顶的侧面积与圆柱形主体结构侧面积的和，因此本题的关键是计算圆柱和圆锥的侧面积.

例5 ：正方体的棱长为,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积.

引导学生发现计算球表面积的关键是找出球心，并求出球的半径.

练习1：如图，已知正四棱锥P-ABCD，底面正方形ABCD边长为4cm，正四棱锥的高PO与侧面三角形PBC的高PE的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积及全面积.

练习2 ： 一个球内切于棱长为2的正方体，求该球的表面积.

四、归纳小结，提高认识

    1.棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式间的关系及圆柱、圆锥、圆台侧面积公式间的关系.

2.数学核心素养：几何直观、数学运算.