人教A版 (2019)第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用课堂教学课件ppt

这是一份人教A版 (2019)第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用课堂教学课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了学习目标，单调性与导数的关系，复习回顾，新课导入，新知探究，f′a0，f′b0，概念生成，极值点与极值的定义，跟踪练习等内容，欢迎下载使用。

借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
能利用导数求某些函数的极大值、极小值
过理解函数的极值及其应用导数的求解过程，发展直观想象与数学运算素养
设函数y=f (x)在区间(a,b)内的导数为f ′(x).
如果f ′(x)>0，
如果f ′(x)<0，
如果f ′(x)=0，
如果f(x)在(a,b)内为增函数，
如果f(x)在(a,b)内为减函数，
则f(x)在(a,b)内为单调递增；
则f(x)在(a,b)内为单调递减；
则f(x)在(a,b)内为常数函数；
则f ′(x)≥0在(a,b)内恒成立；
则f ′(x)≤0在(a,b)内恒成立.
我们再次来研究前面学习过的高台跳水问题. 观察下图，我们发现，当 t = a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大.
问题1 函数h(t)在此点的导数是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地, 导数的符号有什么变化规律?
放大t=a附近的图象, 如图(2)所示.
由图可以看出, h′(a)=0; 在t=a的附近, 当t0; 当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0. 这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0.
问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢?
追问1 如图，函数y=f (x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
函数f (x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小.
函数f (x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大.
以x=a, b两点为例
追问2：y=f (x)在这些点处的导数值是多少？
追问3 在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？
在x=a附近左侧f ′(x)<0,右侧f ′(x)>0
在x=b附近左侧f ′(x)>0,右侧f ′(x)<0
我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f (a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点， f (b)叫做函数y=f (x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum).
1.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
问题3 若 f ′(x0)=0 ，则 x0是否为极值点?
例如：函数f(x)= x3， f ′(x)=3x2
当x=0时， f ′(0)=0
当x≠0时， f ′(x)>0
又因为函数 f(x)= x3是增函数
所以0不是函数 f(x)= x3的极值点.
结论： 若 f ′(x0)=0 ，但 x0不一定是极值点。
追问1 f ′(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的什么条件？
x0是函数 f(x) 的极值点
f ′(x0)=0
x0是函数 f(x) 的极值点
x0左右两侧导数异号
结论：f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.
追问2 函数 y=f (x)在x=x0处取得极值的充分条件是什么？
问题4 函数的极大值一定大于极小值吗？函数的极大值与极小值是否有大小关系？
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．
(3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
(1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值；
(2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.
(4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.
问题4 如何判断f (x0)是极大值或是极小值？
左正右负为极大，左负右正为极小
左增右减为极大，左减右增为极小
一般地，可按如下方法求函数y=f (x)的极值：
解方程f ′(x)=0，当f ′(x0)=0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0 ，右侧f ′(x)<0 ，那么f (x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0 ，那么f (x0)是极小值.
求可导函数f (x)极值的步骤：（1）确定函数的定义域（2） 求导数f ′(x)；（3）求方程f ′(x)=0的根（4）由f ′(x)在方程f ′(x)=0的根左右的符号，来判断f (x)在这个根处取极值的情况：
如果左正右负（左增右减）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正（左减右增）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
求导—求临界点—列表—求极值