人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质复习练习题

2.1等式性质与不等式性质

一．选择题（共3小题）

1．已知，，则，之间的大小关系是　　

A． B． C． D．无法比较

2．设，，下列不等式中一定成立的是　　

A． B． 

C． D．

3．已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立　　

A． B． C． D．

二．填空题（共3小题）

4．设，，，，则，，的大小关系是　　．

5．已知，，，，，若，，能作为三角形的三边长，则正实数的范围是　 　．

6．设，，是互不相等的正数，则在四个不等式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

其中恒成立的有　　（把你认为正确的答案的序号都填上）

三．解答题（共4小题）

7．设且，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求证：在数轴上，介于与之间，且距较远；

（Ⅲ）在数轴上，与之间的距离是否可能为整数？若有，则求出这个整数；若没有，说明理由．

8．设，是正整数， ，．

（1）证明：；

（2）比较与的大小，并给出证明．

9．，，．

（1）比较与的大小；

（2）解关于的不等式：．

10．设，令．

（1）证明介于、之间；

（2）求、中哪一个更接近于；

（3）你能设计一个比更接近于的一个吗？并说明理由．

一．选择题（共3小题）

1．已知，，则，之间的大小关系是　　

A． B． C． D．无法比较

【分析】可设，则可得出，，从而得出，，然后即可得出，的大小关系．

【解答】解：设，则，，

，，

即．

故选：．

【点评】本题考查了通过构造函数解决问题的方法，不等式的性质，考查了计算能力，属于难题．

2．设，，下列不等式中一定成立的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用不等式的基本性质即可判断出．

【解答】解：：将不等式转化为恒成立，对．

，错

：将不等式转化为不一定大于等于0，错．

：如果想要用基本不等式，需要满足，错．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．

3．已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立　　

A． B． C． D．

【分析】设，，，根据题意，则有，可得，通过求解，可得，可得正确，错误；利用作差法可得，而上面已证，因无法知道的正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法判断，即可得解．

【解答】解：设，

，，，

根据题意，应该有，

且，

则有，

则，

因为，

所以，

所以项正确，错误．

，而上面已证，

因为不知道的正负，

所以该式子的正负无法恒定．

故选：．

【点评】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．

二．填空题（共3小题）

4．设，，，，则，，的大小关系是　故答案　．

【分析】因为，，，，所以利用作差比较得，，所以

【解答】解：因为，，，，

所以，，则，所以，即，

且，所以，即，

故，，大小关系为，

故答案

【点评】考查作差比较法和不等式比较大小的性质，题目比较基础．（当然在真正应试的时候，也可以直接取特殊值代入也可以选出正确答案．

5．已知，，，，，若，，能作为三角形的三边长，则正实数的范围是　　．

【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边即可得出．

【解答】解：，，，，

，

．

，，能作为三角形的三边长，

且，

即，．

由，

可得左边，

．

由，

，

，

．

综上可得：．

故答案为：．

【点评】本题考查了三角形任意两边之和大于第三边、不等式的解法、分母有理化，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

6．设，，是互不相等的正数，则在四个不等式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

其中恒成立的有　（1）（2）（4）　（把你认为正确的答案的序号都填上）

【分析】本题主要考查不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全题干，必须结合选择支，才能得出正确的结论．可运用排除法．

【解答】解：（1），故（1）恒成立

（2）由于由于函数在，单调递减，在，单调递增，

当时，，（a）即，，

当，，（a）即，

当，，故（2）恒成立；

（3）若，则该不等式不成立，故（3）不恒成立；

（4）由于，．故（4）恒成立．

故答案为 （1）（2）（4）．

【点评】本题主要考查了不等式比较大小，基本不等式的应用放缩法证明不等式等．要灵活运用公式，牢记公式成立的条件．

三．解答题（共4小题）

7．设且，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求证：在数轴上，介于与之间，且距较远；

（Ⅲ）在数轴上，与之间的距离是否可能为整数？若有，则求出这个整数；若没有，说明理由．

【分析】用反证法即可证明；

利用已知只要证明，就可以证明在数轴上，介于与之间．

当，只要证明；当，只要证明即可．

使用反证法：假设存在整数为与之间的距离，不妨设，，化为，利用求根公式解得，只要证明不存在整数满足即可．

【解答】证明：（Ⅰ）假设，则，化为，解得，这与且相矛盾，

假设是错误的，

因此．

（Ⅱ）且，．

，

或，

或．

在数轴上，介于与之间．

若，则，

，，，．

．

距较远；

当时，同理可证明．

（Ⅲ）假设存在整数为与之间的距离，不妨设，

则，，

化为，解得，

，且任意两个整数的平方差不可能为4，

只有时满足，，解得或．这与矛盾．

在数轴上，与之间的距离不可能为整数．

【点评】本题考查了反证法、一元二次不等式的解法、与实数（有理数）有关的问题，属于难题．

8．设，是正整数， ，．

（1）证明：；

（2）比较与的大小，并给出证明．

【分析】（1），，又，作差即可比较出大小关系．

（2）时，；时，由（1）可得：．时，，．令，，且，．代入化简即可得出大小关系．

【解答】（1）证明：，，又，

则，

．

（2）解：时，；时，由（1）可得：．

时，，．令，，且，．

于是，，

，

．

综上可得：时，；时，．

时，．

【点评】本题考查了作差法、乘法公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9．，，．

（1）比较与的大小；

（2）解关于的不等式：．

【分析】（1）2个函数作差可得：，即可得解．

（2）由得，利用一元二次不等式的解法分类讨论即可得解．

【解答】解：（1），

．

（2）由得，

①当时，解集为或，

②当时，解集为，

③当时，解集为或．

【点评】一元二次不等式的核心还是求一元二次方程的根，然后在结合图象判定其区间．要求能熟练掌握，争取基础分不要丢，本题属于中档题．

10．设，令．

（1）证明介于、之间；

（2）求、中哪一个更接近于；

（3）你能设计一个比更接近于的一个吗？并说明理由．

【分析】（1）中，只要证明即可．

（2）用来刻画与的接近程度．

（3）由前两题的规律，找出相应满足条件的数．

【解答】（1）证明：．

介于、之间．

（2）解：

．

比更接近于．

（3）解：令，

则比更接近于．

由（2）知．

【点评】本题中，对于大小比较时，主要是作差的方法．第三小问的处理，是在前两问的基础上观察得到的规律．