难点探究专题：相似三角形中的动点及探究型问题

　类型一　相似中的动点问题

1．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝CD，若AB＝1，设BM＝x，当x＝        时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．

第1题图            第2题图                第3题图　　

2．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动．若以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为

        s.　

3．如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC＝        .

4．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，点P在直线BD上，由B点向D点移动．

(1)当P点移动到离B点多远时，△ABP∽△PDC?

(2)当P点移动到离B点多远时，∠APC＝90°？

【方法10.2】

类型二　相似中的探究型问题

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n.那么m与n满足的关系式是：m＝        (用含n的代数式表示m)．

6．(盐城中考)设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②，将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2…依此类推，则Sn可表示为        (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．

7．(淄博中考)如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点(点P与点B，C不重合)，平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1.设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y.

(1)求y与x的函数关系式；

(2)上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．

难点探究专题：相似三角形中的动点及探究型问题

1.或　2.2.4或1.5　3.6.4或10

4．解：(1)由AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，设BP＝xcm，则PD＝(14－x)cm.若△ABP∽△PDC，∴＝，即＝，变形得14x－x2＝24，即x2－14x＋24＝0，解得x1＝2，x2＝12，∴BP＝2cm或12cm时，△ABP∽△PDC；

(2)若∠APC＝90°，则∠APB＋∠CPD＝90°.又∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠A＋∠APB＝90°，∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，由(1)得此时BP＝2cm或12cm，则当BP＝2cm或12cm时，∠APC＝90°.

5．2n＋1　6.

7．解：(1)∵四边形AFPE是平行四边形，∴PF∥CA，∴△BFP∽△BAC，∴＝.∵S△ABC＝1，∴S△BFP＝，同理：S△PEC＝，∴y＝1－－，∴y＝－＋x；

(2)上述函数有最大值，最大值为.理由如下：∵y＝－＋x＝－(x－1)2＋，－＜0，∴y有最大值，∴当x＝1时，y有最大值，最大值为.