人教A版 (2019)4.5 函数的应用（二）教课课件ppt

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基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
学习单元3　函数的应用(二)
学习函数的最终目的是应用.通过幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的学习,明确了具体函数特定性质的应用.为了突出函数在一般意义上的广泛应用,本单元进一步学习函数的应用(二),具体知识结构图如右:
本单元一是采用从特殊到一般的方式,让我们从函数的角度认识方程,了解用二分法求方程近似解的思路、步骤和算法,体会函数与方程的思想,培养直观想象、逻辑推理、数学运算素养;二是初步掌握函数模型的应用,认识数学的价值,培养数学建模素养.
知识点:三种常见函数模型的增长速度比较
ax>kx>lgax
名师点睛1.对数函数y=lgbx(b>1)在区间(0,+∞)上,随着x的增长,增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样,尽管在一定范围内,lgbx可能会大于xc,但是由于lgbx的增长慢于xc的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时就会有lgbx1)和幂函数y=xc(x>0,c>0),在区间(0,+∞)上,无论c比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xc,但由于ax的增长快于xc的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xc.3.当底数a>1时,指数函数y=ax的值增长非常快,这种现象称之为“指数爆炸”.
微思考为什么存在一个x0,当x>x0时,ax>xn>lgax(a>1,n>0)一定成立?
提示 当a>1,n>0时,由y=ax,y=xn,y=lgax的增长速度,知存在x0,当x>x0时,图象由上而下依次对应指数、幂、对数函数,故一定有ax>xn>lgax.
问题1在同一个坐标轴画出幂函数、对数函数、指数函数的图象,对比图象,思考三类函数的增长速度快慢问题.遇到实际问题,如何选用适合的函数来拟合,以减少误差?
探究点一 几种函数模型增长的差异
问题2一次函数、指数函数、对数函数的增长速度如何?代数方式如何发现其增长特征?【例1】 (1)下列函数中,当x→+∞时,增长速度最快的是(　　)A.y=2 021xB.y=x2 021C.y=lg2 021xD.y=2 021x
解析 比较指数函数、幂函数、对数函数和一次函数的图象,指数函数增长最快.
(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
则关于x呈指数型函数变化的变量是　　　　　. 
解析以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
规律方法　常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlgax+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定.
探究点二 指数函数、对数函数与幂函数模型比较
问题3能否根据指数函数、对数函数与幂函数的增长速度的差异,通过图象判断函数类型呢?【例2】 已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图,设两个函数的图象相交于点A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1解(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知:C1对应函数g(x)=x3,C2对应函数f(x)=2x.(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.当xx3,即f(x)>g(x);当x1x2时,f(x)>g(x).因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1.又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.综上可知,a=1,b=9.
规律方法　比较函数增长快慢的方法:(1)利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢;(2)借助函数图象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢;(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢.
探究点三 不同函数模型的实际应用
问题4现实情境增长的快慢,如何匹配合适的函数图象加以研究?1.增长曲线的选择【例3】 [2023山东威海高一月考]高为H、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示.现其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时鱼缸内水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象是(　　)
解析 本题考查指对幂增长差异的实际应用.当h=H时,体积是V0,故排除A,C项.h由0到H变化的过程中,V的变化刚开始时增长速度越来越快,类似于指数型函数的图象,后来增长速度越来越慢,类似于对数型函数的图象,综合分析可知选B项.
规律方法　函数增长快慢对函数曲线的影响随着自变量的增大,如果函数值增长得越来越快,则函数的图象越“陡”,类似于指数函数的图象;如果函数值增长得越来越慢,则函数的图象越“缓”,类似于对数函数的图象.
2.函数模型的选择与应用【例4】 某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N*)或指数型函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好?
解根据题意可列方程组所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②再将x=4分别代入①式与②式得f(4)=-5×42+35×4+70=130(t),g(4)=-80×0.54+140=135(t).与f(4)相比,g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量,所以②式作为模拟函数比①式更好,故选用指数型函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好.
规律方法　函数模型的实际应用指数、对数函数模型在实际问题中有广泛应用,可根据增长的快慢特征选择、建立函数模型,再利用指数、对数运算解决问题,已经给出函数模型的,则直接代入相应的数据计算解决.
1.(例1对点题)下列函数中,随x的增大,到一定程度函数值增长速度最快的是(　　)A. B.y=100ln xC.y=x100D.y=100·2x
解析 指数函数y=ax在a>1时呈爆炸式增长,并且a值越大,增长速度越快.
2.(例2对点题)在例2的条件下,结合函数图象,判断f(8),g(8),f(2 020),g(2 020)的大小.
解 ∵f(1)>g(1),f(2)g(10),∴1x2.从图象上可以看出,当x1x2时,f(x)>g(x),∴f(2 020)>g(2 020).又g(2 020)>g(8),∴f(2 020)>g(2 020)>g(8)>f(8).
3.(例3对点题)如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3 min漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的高度,则H与下落时间t(单位:min)的函数关系表示的图象只可能是(　　)
解析 由题可知液体漏入桶中的速度是常量,即圆锥体中减少的液体体积与时间成正比,故H下降的速度是逐渐加快的.因此B项正确.
4.(例4对点题)某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积约为18 m2,经过3个月其覆盖面积约为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过x(x∈N*)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=lga(x+1)+q(a>1)可供选择.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该函数模型的解析式;(2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍?