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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）教课ppt课件
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）教课ppt课件，共38页。
1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.能建立函数模型解决实际问题.3.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目 录 索 引
知识点1 常见的函数模型
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)某种商品进价为每件360元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按原售价九折出售,则每件还能获利.( )(2)某种产品每件定价80元,每天可售出30件,若每件定价120元,则每天可售出20件,如果每天售出件数y(单位:件)是定价x(单位:元)的一次函数,则这个函数解析式为y=- x+50.( )(3)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是y=2x.( )
2.幂函数一定比一次函数增长速度快吗?
提示 幂函数的指数与一次函数的一次项系数不确定,两者的增长速度不能比较.
知识点2 拟合函数模型
1.应用拟合函数模型解决问题的基本进程
2.解决函数实际应用题的步骤第一步:分析、联想、转化、抽象;第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题;第三步:解答数学问题,求得结果;第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( )(2)在选择实际问题的函数模型时,必须使所有的数据完全符合该函数模型.( )(3)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度越来越平缓的变化规律.( )
2.某商场在销售空调旺季的4天内每天的利润如下表所示:
现构建一个描述这种空调销售情况的函数模型,用y(单位:千元)表示第x天的利润,则应是下列函数中的( )A.y=lg2xB.y=2xC.y=x2D.y=2x
探究点一 指数型函数模型
【例1】 一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,
(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?
解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0
变式训练1 [人教B版教材例题]按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕74号)的要求,到2020年,全国二氧化硫排放总量要控制在1 580万吨以内,要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等,2015年后第t(t=0,1,2,3,4,5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨.(1)求f(t)的解析式;(2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨).
解 (1)设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为r,因为f(0)表示2015年的排放总量,所以由题意可知f(t)=f(0)(1-r)t,t=0,1,2,3,4,5.
因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在1 632万吨以内.
探究点二 对数型函数模型
【例2】 科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg (a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.(1)已知生活中几种声音的强度如下表:求a和m的值;(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.
规律方法 1.基本类型:有关对数型函数模型的应用题一般都会给出函数解析式,然后根据实际问题再求解.2.求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义.
变式训练2 某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)=|lg25(x+1)-a|+2a+1,x∈[0,24],其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1).(1)若a= ,求一天中哪个时刻污水污染指数最低;(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数,要使该厂每天的污水污染指数不超过3,则调节参数a应控制在什么范围内?
探究点三 拟合函数模型的应用题
【例3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示:
(1)描出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的数据点(x,y);(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并作出其图象;(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,则可以灌溉的土地面积是多少?
解 (1)数据点分布如图①所示.
(2)从图①中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y hm2和最大积雪深度x cm满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),
解得a≈2.4,b≈1.8.这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图②,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25 cm时,可以灌溉土地47.4 hm2.
规律方法 对于此类实际应用问题,关键是先建立适当的函数关系式,再解决数学问题,然后验证并结合问题的实际意义作出回答,这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是:(1)能够根据原始数据、表格,描出数据点.(2)通过数据点,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般是不会发生的.因此,使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
变式训练3 某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离,他在每个测试点投篮30次,得到投篮命中数量y(单位:个)与测试点投篮距离x(单位:米)的部分数据如下表:
为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系,现有以下三种y=f(x)函数模型供选择:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx.(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应的函数解析式;(2)在第(1)问的条件下,若函数f(x)在闭区间[0,m]上的最大值为29,最小值为4,求m的取值范围.
解 (1)由表中数据可知,f(x)先单调递增后单调递减,∵f(x)=ax3+b与f(x)=abx都是单调函数,∴不符合题意;∵f(x)=-x2+ax+b先单调递增后单调递减,∴符合题意.
∴f(x)=-x2+10x+4.
(2)由(1)知f(x)=-x2+10x+4,故对称轴为x=5,∴f(x)在(-∞,5]上单调递增,在(5,+∞)上单调递减,∵f(0)=4,f(5)=29,∴m≥5,又f(x)=-x2+10x+4=4时,x=0或10,∴m≤10.综上所述,5≤m≤10,故m的取值范围是[5,10].
本节要点归纳1.知识清单:(1)常见函数模型及其应用.(2)拟合函数模型及其应用.2.方法归纳:数学拟合.3.常见误区:(1)容易忽视实际问题中自变量的取值范围;(2)易忘记实际数学问题中对结论的检验问题.
1.某种植物生长的数量y与时间x的关系如下表:
则下面的函数关系式中,拟合效果最好的是( )A.y=2x-1B.y=x2-1C.y=2x-1D.y=1.5x2-2.5x+2
解析 将数值代入各选项中,四个点均与D项吻合,故选D.
2.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )
解析 当x=1时,排除选项B;当x=3时,排除选项A,D,经检验C项较为接近.
3.某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a倍,那么该工厂这一年的月平均增长率是( )
解析 设月平均增长率为x,根据条件可知(1+x)11=a,
4.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元,销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alg4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元.
解得a=2,b=-2.所以y=2lg4x-2.当y=8时,即2lg4x-2=8,解得x=1 024.
5.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如下表:
为估计以后每月该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系.请问用以上哪个模拟函数较好?说明理由.
1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.能建立函数模型解决实际问题.3.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目 录 索 引
知识点1 常见的函数模型
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)某种商品进价为每件360元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按原售价九折出售,则每件还能获利.( )(2)某种产品每件定价80元,每天可售出30件,若每件定价120元,则每天可售出20件,如果每天售出件数y(单位:件)是定价x(单位:元)的一次函数,则这个函数解析式为y=- x+50.( )(3)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是y=2x.( )
2.幂函数一定比一次函数增长速度快吗?
提示 幂函数的指数与一次函数的一次项系数不确定,两者的增长速度不能比较.
知识点2 拟合函数模型
1.应用拟合函数模型解决问题的基本进程
2.解决函数实际应用题的步骤第一步:分析、联想、转化、抽象;第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题;第三步:解答数学问题,求得结果;第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( )(2)在选择实际问题的函数模型时,必须使所有的数据完全符合该函数模型.( )(3)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度越来越平缓的变化规律.( )
2.某商场在销售空调旺季的4天内每天的利润如下表所示:
现构建一个描述这种空调销售情况的函数模型,用y(单位:千元)表示第x天的利润,则应是下列函数中的( )A.y=lg2xB.y=2xC.y=x2D.y=2x
探究点一 指数型函数模型
【例1】 一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,
(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?
解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0
变式训练1 [人教B版教材例题]按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕74号)的要求,到2020年,全国二氧化硫排放总量要控制在1 580万吨以内,要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等,2015年后第t(t=0,1,2,3,4,5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨.(1)求f(t)的解析式;(2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨).
解 (1)设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为r,因为f(0)表示2015年的排放总量,所以由题意可知f(t)=f(0)(1-r)t,t=0,1,2,3,4,5.
因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在1 632万吨以内.
探究点二 对数型函数模型
【例2】 科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg (a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.(1)已知生活中几种声音的强度如下表:求a和m的值;(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.
规律方法 1.基本类型:有关对数型函数模型的应用题一般都会给出函数解析式,然后根据实际问题再求解.2.求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义.
变式训练2 某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)=|lg25(x+1)-a|+2a+1,x∈[0,24],其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1).(1)若a= ,求一天中哪个时刻污水污染指数最低;(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数,要使该厂每天的污水污染指数不超过3,则调节参数a应控制在什么范围内?
探究点三 拟合函数模型的应用题
【例3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示:
(1)描出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的数据点(x,y);(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并作出其图象;(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,则可以灌溉的土地面积是多少?
解 (1)数据点分布如图①所示.
(2)从图①中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y hm2和最大积雪深度x cm满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),
解得a≈2.4,b≈1.8.这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图②,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25 cm时,可以灌溉土地47.4 hm2.
规律方法 对于此类实际应用问题,关键是先建立适当的函数关系式,再解决数学问题,然后验证并结合问题的实际意义作出回答,这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是:(1)能够根据原始数据、表格,描出数据点.(2)通过数据点,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般是不会发生的.因此,使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
变式训练3 某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离,他在每个测试点投篮30次,得到投篮命中数量y(单位:个)与测试点投篮距离x(单位:米)的部分数据如下表:
为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系,现有以下三种y=f(x)函数模型供选择:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx.(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应的函数解析式;(2)在第(1)问的条件下,若函数f(x)在闭区间[0,m]上的最大值为29,最小值为4,求m的取值范围.
解 (1)由表中数据可知,f(x)先单调递增后单调递减,∵f(x)=ax3+b与f(x)=abx都是单调函数,∴不符合题意;∵f(x)=-x2+ax+b先单调递增后单调递减,∴符合题意.
∴f(x)=-x2+10x+4.
(2)由(1)知f(x)=-x2+10x+4,故对称轴为x=5,∴f(x)在(-∞,5]上单调递增,在(5,+∞)上单调递减,∵f(0)=4,f(5)=29,∴m≥5,又f(x)=-x2+10x+4=4时,x=0或10,∴m≤10.综上所述,5≤m≤10,故m的取值范围是[5,10].
本节要点归纳1.知识清单:(1)常见函数模型及其应用.(2)拟合函数模型及其应用.2.方法归纳:数学拟合.3.常见误区:(1)容易忽视实际问题中自变量的取值范围;(2)易忘记实际数学问题中对结论的检验问题.
1.某种植物生长的数量y与时间x的关系如下表:
则下面的函数关系式中,拟合效果最好的是( )A.y=2x-1B.y=x2-1C.y=2x-1D.y=1.5x2-2.5x+2
解析 将数值代入各选项中,四个点均与D项吻合,故选D.
2.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )
解析 当x=1时,排除选项B;当x=3时,排除选项A,D,经检验C项较为接近.
3.某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a倍,那么该工厂这一年的月平均增长率是( )
解析 设月平均增长率为x,根据条件可知(1+x)11=a,
4.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元,销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alg4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元.
解得a=2,b=-2.所以y=2lg4x-2.当y=8时,即2lg4x-2=8,解得x=1 024.
5.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如下表:
为估计以后每月该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系.请问用以上哪个模拟函数较好?说明理由.
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