江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用综合训练新人教A版选择性必修第二册

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第五章综合训练一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. [2023北京东城期末]函数在点处的切线方程为,则等于( )A. B. C. 2 D. 42. 若函数在时取得极值,则等于( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 53. 若函数有最大值,则实数的值是( )A. 1 B. C. 4 D. 4. 已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为( )A. B. C. D. 6. 方程的根的个数为( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. [2023江苏南京联考]吹气球时,记气球的半径与体积之间的函数关系为,为的导函数.已知在上的图象如图所示,若,则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 存在 ,使得8. [2023黑龙江牡丹江期末]设,,,则( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. [2023重庆沙坪坝期末]如图是函数的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是( )A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递减C. 当 时, 取得极小值 D. 当 时, 取得极大值10. [2023湖南怀化期末]已知函数在处取得极值10,则下列说法正确的是( )A. B. C. 一定有两个极值点 D. 一定存在单调递减区间11. [2023福建德化一中模拟]设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是( )A. ， B. 是 的极大值点C. 是 的极小值点 D. 是 的极小值点12. 已知函数及其导函数的定义域均为,记.若,均为偶函数,则( )A. B. C. D. 三、填空题:本题共4小题.13. 如图,直线是曲线在点处的切线,则的值等于.14. 某公司租地建仓库,每月土地占用费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位:千米）成反比,而每月库存货物的运费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位:千米）成正比.如果在距离车站处建仓库,和分别为2万元和8万元,那么当仓库建在离车站处时,两项费用之和最小,最小费用为万元.15. 已知函数的定义域为,部分对应值如表所示,的导函数的图象如图所示.下列关于的结论：①函数的极大值点为0,4;②函数在上单调递减;③如果当时,的最大值是2,那么的最大值为4;④当时,函数有4个零点;⑤函数的零点个数可能为0,1,2,3,4.其中正确结论的序号是.16. [2023吉林抚松月考]已知偶函数的导函数为,且满足,当时,,则使得成立的的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数,是函数的一个极值点.（1） 求函数的增区间;（2） 当时,求函数的最小值.18. 设函数.（1） 若对定义域内的任意,都有成立,求实数的值;（2） 若函数在定义域上是单调函数,求实数的取值范围.19. [2023江苏苏州月考]已知函数.（1） 求函数的单调区间;（2） 设为函数的极小值点,证明：.20. 如图,假设酒杯杯身的形状为倒立的圆锥,杯深,上口宽,水以的流量倒入杯中,当水深为时,求水面升高的瞬时变化率.21. 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品需向总公司缴纳元为常数,的管理费,根据多年的管理经验,预计当每件产品的售价为元时,产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.已知当每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件,经物价部门核定,每件产品的售价最低不低于35元,最高不超过41元.（1） 求分公司经营该产品一年的利润（单位:万元）与每件产品的售价（单位:元）的函数关系式;（2） 当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润最大？并求出的最大值.22. 已知函数.（1） 若在,处取得极值.① 求,的值;② 若存在,,使得不等式成立,求的最小值.（2） 当时,若在上是单调函数,求的取值范围.第五章综合训练一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. D[解析],,.故选.2. D[解析].由在时取得极值,得,即,所以.经检验,当时,有两个不相等的实根,符合题意.故.3. B[解析]由函数,则.要使得函数有最大值,则.当时,,函数在上单调递增,当时,,函数在上单调递减,所以当时,函数取得最大值,即,解得,满足,故选.4. D[解析]由题意知,由于在上单调递增,则在上恒成立,即在上恒成立.当时,,则有,解得或.故选.5. C[解析]的定义域为,,则,为奇函数,图象关于原点对称,排除;,排除;当时,,当时,,单调递增,排除.故选.6. C[解析]令,则.当时,,单调递减;当时,,单调递增,且,,,结合函数零点存在定理可知函数在区间上有一个零点,在区间上也有一个零点,故方程的根的个数为2.故选.7. D[解析]对于,设,,由题图得,所以 ,所以,所以错误;对于,易知图象上点的切线的斜率越来越小,根据导数的几何意义得,所以错误;对于,设,,,,由题图得,所以错误;对于,表示,两点连线的斜率,表示处切线的斜率,由于,所以可以平移直线使之与曲线相切,切点就是点,所以正确.故选.8. B[解析]（方法1）若,则,,令,所以.令,得,所以在上,,单调递增,所以,即,所以,即.令,则,在,上,,单调递减,所以,所以,所以,即,所以.所以.故选.（方法2）,所以;当时,,所以.故选.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. BC[解析]由的导函数的图象知,导函数在,上小于0,单调递减,在,上大于0,单调递增,选项错误,正确;函数在处取得极小值,选项正确;时导函数取得极大值,原函数没有取得极大值,原函数在处取得极大值,选项错误.故选.10. BCD[解析]由,得, 函数在处取得极值10,,,解得或当,时,,在处不存在极值,舍去;当,时,, 当 ,时,,当,时,,当时,,符合在处取得极值10,则,,,故错误,正确;此时一定有两个极值点且存在单调递减区间,故,正确.故选.11. BD[解析]是的极大值点，并不一定是最小值点，故不正确；的图象相当于的图象关于轴的对称图象，故是的极大值点，故正确；的图象相当于的图象关于轴的对称图象，故应是的极小值点，不能确定的情况，故不正确；的图象相当于的图象先关于轴作对称，再关于轴作对称得到的图象，是的极小值点,故正确.故选.12. BC[解析]是偶函数,, 函数的图象关于直线对称,.故正确;为偶函数,,的图象关于直线对称.,的图象关于直线对称,的图象关于点对称.的图象关于直线对称,的图象关于点对称.与均是周期为2的函数.（不恒等于0）,故错误;,正确;构造函数符合题目要求,,而 , ,故错误.故选.三、填空题:本题共4小题.13. [解析]由题图可得,直线过点和,则直线的斜率,又由直线是曲线在点处的切线,则,所以.14. 5; 8[解析]依题意,可设每月土地占用费,每月库存货物的运费,,是比例系数,且均不为0,于是由,得;由,得.因此,两项费用之和为,.令,得或（舍去）.当时,;当时,,因此,当时,取得极小值,也是最小值,其值为8.15. ①②⑤[解析]由的导函数的图象知,函数的极大值点为0,4,故①正确;因为在上,且不恒为0,故函数在上单调递减,故②正确;由表和图象知,所以③不正确;因为极小值未知,所以函数的零点个数可能为0,1,2,3,4,当时,函数的零点个数可能为2,3,4,所以④不正确,⑤正确.16. [解析]根据题意,令,又由为偶函数,则,故为偶函数,且.又由当时,,即当时,,所以函数在上单调递减,所以在上单调递增,又,所以,则由,可得,即在上的函数值大于零,则在上的函数值大于零.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1） 解由题意,得,,则.所以,,当时,;当时,;当时,.所以函数的增区间为和.（2） 当时,,的变化情况如表所示：当时,,当时,,所以当时,函数的最小值为.18. （1） 解由,得,的定义域为. 对任意的,都有,是函数的最小值,故有.,,解得.经检验,当时,在内单调递减,在内单调递增.为最小值.故.（2） ,又函数在定义域上是单调函数,或在内恒成立.若,则在内恒成立,即在内恒成立,由此得;当时,仅在处,故.若,则在内恒成立,即在内恒成立.在内没有最小值, 不存在实数使恒成立.综上所述,实数的取值范围是.19. （1） 解函数的定义域为,因为,所以,当时,恒成立,在上单调递减;当时,令,得.当时,,当时,.综上,当时,函数的单调递减区间为,无单调递增区间;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.（2） 证明 由（1）知当时,在时取得极小值,且极小值为.设函数,,,当时,,单调递减;当时,,单调递增.故,即,所以.20. 解由题意,如图,设时刻水面高为,水面圆半径是,由图知,得,此时水的体积为,又由题设条件知,此时的水量为,故有,故有,所以,又当时,有,故当时,,所以当水深为时,则水面升高的瞬时变化率是.21. （1） 解设该产品一年的销售量为,则,所以,则该产品一年的销售量,则该产品一年的利润.（2） ,.①若,则,当时,且不恒为0,单调递减,所以当时,取得最大值为;②若,则,令,得,易知当时,取得最大值为.综上所述,当,且每件产品的售价为35元时,该产品一年的利润最大,最大利润为万元;当,且每件产品的售价为元时,该产品一年的利润最大,最大利润为万元.22. （1） ① 解函数的定义域为,.在,处取得极值,,,即解得② 若存在,,使得不等式成立,则只需.由①知,, 当,时,,函数单调递减;当,时,,当或时,等号成立,函数单调递增;当时,,函数单调递减,在处取得极小值,即.又,,,,,故.（2） 当时,.当时,,则在上是增函数;当时,,,,则在上是增函数;当时,设,,故只需,即,此时在上是减函数.综上可得, ,.04512210120-0单调递增极大值单调递减极小值单调 递增8