江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用培优课5构造函数法解决导数问题分层作业新人教A版选择性必修第二册

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培优课5 构造函数法解决导数问题A级 必备知识基础练1. ［探究点二］已知函数的定义域为,为的导函数,且,则下列式子正确的是( )A. B. C. D. 2. ［探究点一］（多选题）已知为上的可导函数,且,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 3. ［探究点一］（多选题）已知定义在,上的函数的导函数为,且,,则下列判断中正确的是( )A. B. C. D. 4. ［探究点三］已知是定义在,上的函数,其导函数为,,且当,时,,则不等式的解集为.5. ［探究点一］设函数是定义在上的函数的导函数,有,若,,,则,,的大小关系是.6. [探究点三·2023安徽合肥期末]已知函数.（1） 讨论函数的单调性;（2） 函数,若在上恒成立,求实数的取值范围.B级 关键能力提升练7. 设,是定义域为的恒大于0的可导函数,且,则当时,下列式子一定正确的是( )A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为,其导函数为,且在上恒成立,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 9. 设函数的定义域为,是其导函数,若,,则不等式的解集是( )A. B. C. D. 10. 已知函数是定义在上的奇函数,,当时,有,则不等式的解集是.C级 学科素养创新练11. [2023河南南阳期末]已知函数.（1） 当时,求证：;（2） 若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围.培优课5 构造函数法解决导数问题A级 必备知识基础练1. C[解析]令,则,所以在上是增函数.又,所以当时,；当时,.所以当时,.又,所以正确.2. BD[解析]由,得,令,则,在上是增函数,,则,即,,故选.3. CD[解析]令,,,则,因为,所以在,上恒成立,因此函数在,上单调递减,又,所以,即,即,故错误;又,所以,所以在,上恒成立,因为,,所以,故错误;又,所以,所以,即,故正确;又,所以,所以,即,故正确.故选.4. [解析]因为当,时,,所以,,,令,则当,时,,在,上是增函数,因为,所以,不等式,即.因为在,上是增函数,所以原不等式的解集为.5. [解析]设函数,则,因为,所以,所以在上是增函数,,,,所以.6. （1） 解函数,,,①当时,,在上单调递减,②当,,时,;当,,时,,所以在,上单调递减,在,上单调递增.（2） 由,得,,所以,令,,当时,,时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,故,即的取值范围是,.B级 关键能力提升练7. B[解析]设,则,由,得,所以在上是减函数,因为,所以,又,是定义域为的恒大于0的可导函数,故.8. A[解析]令,则,因为在上恒成立,所以在上恒成立,故在上是减函数,所以,即,即.9. A[解析]令,则,因为,所以,所以,所以函数在上是增函数,又可化为,且,所以,解得,所以不等式的解集是.10. [解析]令,则. 当时,,即,在上单调递增.又,, 在上,的解集为,的解集为.为奇函数,为偶函数, 在上,的解集为,的解集为.由,得.又的解集为, 不等式的解集为.C级 学科素养创新练11. （1） 证明当时,,,当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以,即.（2） 解当时,,只有1个零点;当时,由,得,.令,则,令,则在上单调递减,又，所以在上大于0,单调递增,在上小于0,单调递减.而,,且当时,,则要使函数有且只有一个零点,则需或,即或.综上所述,若函数有且只有一个零点,则实数的取值范围是.