江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列综合训练新人教A版选择性必修第二册

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第四章综合训练一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知数列是等比数列，是1和3的等差中项，则( )A. 16 B. 8 C. 4 D. 22. 在等差数列中，已知前21项和，则的值为( )A. 7 B. 9 C. 21 D. 423. 在等差数列中，，，当其前项和取得最大值时，( )A. 8 B. 9 C. 16 D. 174. 已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则( )A. 1 033 B. 1 034 C. 2 057 D. 2 0585. 用数学归纳法证明能被31整除时,从到添加的项数为( )A. 7 B. 6 C. 5 D. 46. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图1是某古建筑物中的举架结构，,,,是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中,,,是脊，,,,是相等的步，相邻桁的举步的比分别为,,,,若,,是公差为0.1的等差数列，直线的斜率为，则( )图1图2A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.97. 已知等比数列的前项和为，公比，，.若数列的前项和为，，则( )A. B. C. D. 8. [2023新高考Ⅰ]记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 等差数列的前项和为，公差.若，则以下结论一定正确的是( )A. B. 的最小值为 C. D. 存在最大值10. 已知数列，1，2，3，5，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 11. 已知等比数列的各项均为正数，公比为，且,，记的前项积为，则下列选项正确的是( )A. B. C. D. 12. [2023江苏盐城月考]设等差数列的前项和为,若,且,则下列说法正确的是( )A. 数列 为递增数列 B. 和 均为 的最小值C. 存在正整数 ,使得 D. 存在正整数 ,使得三、填空题:本题共4小题.13. 设等比数列的前项和为，若，，则.14. 若等差数列的前项和为,且,,数列满足，且,则数列的通项公式为.15. 设数列的前项和为,若,,,则,.16. 已知为正偶数，用数学归纳法证明“”时，第一步的验证为；若已假设且为偶数时等式成立，则还需要用归纳假设证时等式成立.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 从条件，，，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，，.（1） 求数列的通项公式；（2） 若，，成等比数列，求正整数的值.18. 设是等差数列，,且,,成等比数列.（1） 求的通项公式；（2） 记的前项和为,求的最小值.19. 已知数列和满足,,,（1） 证明：是等比数列，是等差数列；（2） 求和的通项公式.20. 已知等比数列满足.（1） 求的通项公式;（2） 记数列的前项和为,证明：当时,.21. 已知等比数列满足,.（1） 求数列的通项公式;（2） 设,求数列的前项和.22. 已知数列的前项和为,且.（1） 求数列的通项公式;（2） 设,求使对任意恒成立的实数的取值范围.第四章综合训练一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. C[解析]因为是1和3的等差中项，所以，即.由等比数列的性质可得.2. C[解析] 等差数列的前21项和，.由等差数列的性质可得，则.故选.3. A[解析]依题意，，即，，即，所以，，所以等差数列为递减数列，且前8项为正数，从第9项以后为负数，所以当其前项和取得最大值时，．故选.4. A[解析]由已知可得,,于是，因此.5. C[解析]设,假设当时,能被31整除,当时,,则,则从到共添加了5项.故选.6. D[解析]不妨设,则,，，.由题意得,即.,,.解得.故选.7. C[解析],，，或.，，..，，，即...故选.8. C[解析]甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则,,，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有,，两式相减,得，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，正确.故选.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. AC[解析] 等差数列的前项和为，公差,，，解得.，故正确；,,,均小于零，,,，均大于零，,,为的最小值，无最大值，故错误，错误；，，，故正确.故选.10. BCD[解析]由于，，，故不正确，正确；由，，，，，可得，故正确；由于该数列总有，，则，，，，，故，故正确.故选.11. ABC[解析]由于等比数列的各项均为正数，公比为，且,，所以，所以且或且.当且时，,又,所以是递增数列，所以,矛盾；当且时，,即.因为，所以，，.故选.12. ACD[解析]设等差数列的公差为,因为时,,即,故,因为,所以,又,所以,即.因为恒成立,所以,故等差数列为递增数列,正确;因为,所以,即,故,由选项知,故,,所以,故为的最小值,错误;.因为,故当时,,所以存在正整数,使得,正确;,,令,因为,解得,所以存在正整数,使得,正确.故选.三、填空题:本题共4小题.13. 0[解析]设的公比为，则，，所以，.14. [解析]设的公差为,则解得于是.因此.于是,,故数列的通项公式为.15. 1; 121[解析]由题意,可得,,所以,.再由,,得,即.又因为,所以数列是以1为首项,3为公比的等比数列.所以.16. 当时，左边，右边，等号成立;[解析]因为为正偶数，则归纳基础为当时，左边，右边,等式成立；归纳假设为当且为偶数时，成立，由于是正偶数，则下一个数应为.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1） 解若选①.，则，两式作差得，即，，所以是等差数列，首项是，公差是0，故，所以.若选②.，，故.因为，所以，即，，故{}是等差数列，首项是，公差是1，故，故.当时，，且也适合该式，故数列的通项公式.若选③.，，则，两式作差得，化简得.由知，，得，即，数列是等差数列，首项是1，公差为1，故.（2） 若选①.由的通项公式知，故.又，，结合题意知，即，解得或，因为是正整数，所以.若选②.，，，结合题意知，即，解得或，因为是正整数，所以.若选③.由的通项公式知，，故.又，，结合题意知，，即，解得或，因为是正整数，所以.18. （1） 解设的公差为.因为,所以,,.因为,,成等比数列，所以.所以.解得.所以.（2） 由（1）知,.所以,当时，;当时,.所以,的最小值为.19. （1） 证明由题设得,即.又因为,所以是首项为1，公比为的等比数列.由题设得,即.又因为,所以是首项为1，公差为2的等差数列.（2） 解由（1）知，,.所以,.20. （1） 解设等比数列的公比为.因为,所以.又在等比数列中和均不为0,所以,故数列的通项公式为.（2） 证明由（1）可得,因为时,,所以,所以时,.21. （1） 解因为为等比数列,且,,设公比为,所以,所以,,所以.（2） 因为,所以.22. （1） 解因为,所以.所以当时,.又,满足上式,所以数列的通项公式.（2） .由对任意恒成立,即使对恒成立,设,则当或时,取得最小值为,所以.