初中数学苏科版九年级上册2.2 圆的对称性教案及反思

圆的对称性

知识点：

点在圆外，即这个点到圆心的距离 ________________半径；
点在圆上，即这个点到圆心的距离 ________________半径；
点在圆内，即这个点到圆心的距离 ________________半径；
反过来，也成立（即判定位置关系的方法）

圆是        图形，其对称轴是                          ，因此有         条对称轴。

定理一：                                              （垂径定理）

定理二：                                                           （垂径定理逆定理）

定理三：                                                                                    

定理四：                                                                                     

例一：已知⊙0的面积为25π。

（1）若PO=5.5，则点P在________；

（2）若PO=4，则点P在________；

（3）若PO=________，则点P在⊙0上。

例二：设AB=3cm，作图说明：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形。

③、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点0，它的四个顶点A、B、C、D是否在以点0为圆心的一个圆上？为什么？

④、如图，在△ABC中，BD、CE是高。求证：A、B、C、D、E在同一个圆上。

⑤、设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：

     （1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形。

     （2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。

【例1】判断正误：

（1）直径是圆的对称轴．

（2）平分弦的直径垂直于弦．

【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．

【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．

【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．

【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．

如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？

如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？

如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？

二、课内练习：

1、判断：

⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（      ）

⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（     ）

⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（      ）

⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （     ）

⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （     ）

2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,

直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.

图中相等的线段有                         .

图中相等的劣弧有                       .

3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.

4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.

5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．

6． “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为        米．

三、课后练习：

1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC＝BD

2、已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离

3、已知：⊙O弦AB∥CD 求证：

4、已知：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两部分,求：弦AB的长．

5、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于E  DF⊥CD交AB于F求证：AE＝BF

6、已知：△ABC内接于⊙O，边AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交⊙O于E、D两点，求证，

7、已知：AB为⊙O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，连结OE，OF

求证：⑴OE＝OF     ⑵ CE＝DF

8、在⊙O中，弦AB∥EF，连结OE、OF交AB于C、D求证：AC＝DB

9、已知如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长

10、已知：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：AB＝2OO＇

11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF

【例1】已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是   的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.

【例2】如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？

【例3】如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：        ，使∠1=∠2．

二、课内练习：

　1、判断题

　　（1）相等的圆心角所对弦相等　（　）

　　（2）相等的弦所对的弧相等　　（　）

　2、填空题

　　⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．

　　3、选择题

　　如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE⊥AB，垂足为E，若AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm，OA＝5 cm，则AB长度是___________．

　　A、6 cm　　B、8 cm　　C、7 cm　　D、7.5 cm　　

三、课后练习：

1．下列命题中，正确的有（      ）

A．圆只有一条对称轴       B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条

C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴

D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴

2．下列说法中，正确的是（      ）

A．等弦所对的弧相等      B．等弧所对的弦相等

C．圆心角相等，所对的弦相等    D．弦相等所对的圆心角相等

3．下列命题中，不正确的是（      ）

A．圆是轴对称图形      B．圆是中心对称图形

C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．以上都不对

4．半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于（      ）

A．R   B．R   C．R   D．2R

5．如图1，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为（      ）

A．2    B．    C．    D．2

6．已知：如图2，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（      ）

A．4cm    B．5cm    C．4cm   D．2cm

7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（      ）

A．3：2    B．：2   C．：  D．5：4

8．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE：OF=（        ）

A．2：1    B．3：2    C．2：3    D．0

9．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（      ）

A．4   B．8    C．24    D．16

10．如果两条弦相等，那么（      ）

A．这两条弦所对的弧相等     B．这两条弦所对的圆心角相等

C．这两条弦的弦心距相等     D．以上答案都不对

11．⊙O中若直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，则弦AB的长为          ．

12．若圆的半径为2cm，圆中的一条弦长2cm，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为        ．

13．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB=        ．

14．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是        ，最长的弦长是        ．

15．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为        cm．

16．在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为        cm．

17．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为        ．

18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是        ，弦所对的圆心角是        ．

19．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD      ∠BOF，    ，AC    AE．

20．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．

21．如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D．

（1）求证：AC=DB；

（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．

22．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．

23．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？

24．已知一弓形的弦长为4，弓形所在的圆的半径为7，求弓形的高．

25．如图，已知⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M，，O1M和O2M相等吗？为什么？