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初中数学苏科版（2024）九年级上册2.2 圆的对称性课后练习题
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这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册2.2 圆的对称性课后练习题，共56页。试卷主要包含了2 圆的对称性等内容，欢迎下载使用。
第一课时 弧、弦、圆心角
知识点一
圆的旋转对称性
圆的旋转对称性
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴.
知识点二
弧、弦、圆心角的关系
◆1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的.
◆2、弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
【注意】
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等．
（2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”．
题型一 弧、弦、圆心角的概念
【例题1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D．相等的弦所对的弧相等
【变式1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
【变式1-2】（2022春•惠山区校级月考）下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-3】（2022秋•凯里市校级期中） 如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正确的是 （填序号）．
【变式1-4】（2022秋•庆云县期中）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧长相等的弧则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-5】如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB＝CD；②OM＝ON；③AB=CD．
A．0个B．1个C．2个D．3个
题型二 利用弧、弦、圆心角求角度
【例题2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32°B．60°C．68°D．64°
【变式2-1】（2022秋•西湖区校级期中）在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数
为（ ）
A．120°B．75°C．60°D．30°
【变式2-2】（2022秋•延边州期末）如图，在⊙O中AB=CD，∠AOB＝45°，则∠COD＝（ ）
A．60°B．45°C．30°D．40°
【变式2-3】（2023•西陵区模拟）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．135°
【变式2-4】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是 ．
【变式2-5】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数．
题型三 利用弧、弦、圆心角求弧的度数
【例题3】（2022秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28°B．64°C．56°D．124°
【变式3-1】如图，C是⊙O直径AB上一点，过C作弦DE，使CD＝CO，若AD所对圆心角度数为40°，则BE所对圆心角度数为（ ）
A．40°B．80°C．90°D．120°
【变式3-2】（2022秋•北仑区期中）在半径为1的圆中，长度等于2的弦所对的弧的度数为 ．
【变式3-3】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若AC的度数是70°，且AD∥OC，求AD的度数．
【变式3-4】如图，A、B、C、D均为圆O上的点，其中A、B两点的连线经过圆心O，线段AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝16°，求弧AC的度数．
【变式3-5】点C是圆O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD等于CO，若弧AD的度数为40°，
求弧BE的度数．
题型四 利用弧、弦、圆心角求线段长
【例题4】如图，点A在半圆O上，BC是直径，AB=AC．若AB＝2，则BC的长为 ．
【变式4-1】（2022秋•芜湖期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB=2，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．52C．102D．2+12
【变式4-2】（2023•贵池区二模）如图，点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），若直径AB＝12，则DC的长为 ．
【变式4-3】如图，在⊙O中，AC=12AB，直径BC＝25，BD=CD，则AD＝ ．
题型五 利用弧、弦、圆心角比较大小
【例题5】（2022秋•莲池区校级期末）如图，在⊙O中，AB=2CD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＞2CDB．AB＝2CD
C．AB＜2CDD．以上都不正确
【变式5-1】如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB与2CD的大小关系是（ ）
A．AB＞2CDB．AB＜2CDC．AB＝2CDD．不能确定
【变式5-2（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．
【变式5-3】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EFB．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EFD．大小关系不确定
【变式5-4】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．
（1）若BC=3AD，CD=2AD，求∠DAB和∠ABC的大小；
（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．
题型六 弧、弦、圆心角中的倍数关系
【例题6】如图，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：EC=2BE．
【变式6-1】（2023•莱西市二模）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是（ ）个
①AB＝2BC；②AB=2BC；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOC．
A．1B．2C．3D．4
【变式6-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比
为（ ）
A．1：3B．2：3C．1：4D．1：2
【变式6-3】（2023•陕西模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
题型七 弧、弦、圆心角中的证明问题
【例题7】（2022秋•延边州期末）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AH＝CH．
【变式7-1】（2022秋•瑞安市期中）已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE．
求证：AD=CE．
【变式7-2】（2022秋•硚口区期末）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE．
【变式7-3】（2022秋•防城港期末）如图，AC=CB，M，N分别是半径OA，OB的中点．
求证：CM＝CN．
【变式7-4】如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为AD的中点，连接BM，CM，求证：BM＝CM．
【变式7-5】已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC＝BD．
题型八 弧、弦、圆心角中的综合问题
【例题8】（2021秋•南昌期中）如图所示，以£ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G．
（1）求证：GE=EF；
（2）若BF的度数为70°，求∠C的度数．
【变式8-1】（2022秋•玄武区期末）如图，在⊙O中，AB＝AC．
（1）若∠BOC＝100°，则AB的度数为 °；
（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．
【变式8-2】如图，在⊙O中，OA、OB是半径，OA⊥OB，C、D是AB的三等分点，OC、OD分别交AB于点E、F，求证：AE＝CD＝BF．
【变式8-3】如图，A、B、C为⊙O上三点，且AB=BC=CA，连接AB、BC、CA．
（1）试确定△ABC的形状；
（2）若AB＝a，求⊙O的半径．
【变式8-4】（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，CE=2AE，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．
（1）求证：CD＝OD．
（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．
【变式8-5】如图．在四边形ABCF中．FA⊥AB．BC⊥AB．ʘO经过点A，B，C，分别交边AF．FC于点D，E．且E是CD的中点．
（1）求证：E是FC的中点．
（2）连结AE，当AB＝6．AE＝5时，求AF的长．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.2 圆的对称性
第一课时 弧、弦、圆心角
知识点一
圆的旋转对称性
圆的旋转对称性
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴.
知识点二
弧、弦、圆心角的关系
◆1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的.
◆2、弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
【注意】
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等．
（2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”．
题型一 弧、弦、圆心角的概念
【例题1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D．相等的弦所对的弧相等
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【解答】解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．
B、正确．
C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．
D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
【分析】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可．
【解答】解：A．如图，
弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；
C．如图，
∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意；
D．如图，
弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中有一对量相等，那么其余两对量也分别相等．
【变式1-2】（2022春•惠山区校级月考）下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据半圆，等圆，等弧等知识一一判断即可．
【解答】解：①半圆是弧，正确；
②面积相等的两个圆是等圆，正确，
③所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧
④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中．
⑤等弧所对的圆心角相等，正确．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，半圆，等圆，等弧等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式1-3】（2022秋•凯里市校级期中） 如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正确的是 （填序号）．
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【解答】解：在⊙O中，AB=CD，
∴AB＝CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴AC=BD故④正确；
∴AC＝BD，故②正确；
∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式1-4】（2022秋•庆云县期中）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧长相等的弧则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【解答】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．
（2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；
（3）弧长相等的弧则所对的圆心角不一定相等．错误；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确；
故选：A．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．
【变式1-5】如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB＝CD；②OM＝ON；③AB=CD．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到AB与CD之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦AB与CD，弦心距OM与ON的数量关系，进而得出正确选项．
【解答】解：∵AB，CD分别为⊙O的两条弦，∠AOB＝∠COD，
∴AB=CD，故③正确；
∵AB=CD，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴AB＝CD，OM＝ON，故①②正确．
综上可知，正确的有3个．
故选：D．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．
题型二 利用弧、弦、圆心角求角度
【例题2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32°B．60°C．68°D．64°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AE=BD得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．
【解答】解：∵AE=BD，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故选：D．
【点评】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•西湖区校级期中）在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数
为（ ）
A．120°B．75°C．60°D．30°
【分析】连接OA、OB，如图，通过证明△OAB为等边三角形得到∠AOB＝60°．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
即弦AB所对应的圆心角的度数为60°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键．
【变式2-2】（2022秋•延边州期末）如图，在⊙O中AB=CD，∠AOB＝45°，则∠COD＝（ ）
A．60°B．45°C．30°D．40°
【分析】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案．
【解答】解：∵AB=CD，
∴∠COD＝∠AOB＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦的关系，关键是掌握：在同圆或等圆中，圆心角，弧，弦的关系．
【变式2-3】（2023•西陵区模拟）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．135°
【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．
【解答】解：连接OC、OD，
∵BC＝CD＝DA，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，
∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，
∴∠BCD=12×2（180°﹣60°）＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查了弧、弦与圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意半圆对的圆心角为180°．
【变式2-4】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是 ．
【分析】由BC=CD=DE，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：如图，∵BC=CD=DE，∠COD＝34°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO=12×（180°﹣78°）＝51°．
故答案为：51°．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式2-5】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数．
【分析】连接AD，根据直角三角形的两锐角互余求出∠C，根据∠ADC＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理求出∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝40°，求出∠DAE＝50°，再根据等腰三角形的性质得出∠DEA＝∠ADE，再求出答案即可．
【解答】解：连接AD，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠C＝90°﹣∠ABC＝70°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°，
∵AD＝AE，
∴∠DEA＝∠ADE=12（180°﹣∠DAE）＝65°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点，能熟记等边对等角和直角三角形的两锐角互余是解此题的关键．
题型三 利用弧、弦、圆心角求弧的度数
【例题3】（2022秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28°B．64°C．56°D．124°
【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝62°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝62°，
∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴BD的度数为56°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式3-1】如图，C是⊙O直径AB上一点，过C作弦DE，使CD＝CO，若AD所对圆心角度数为40°，则BE所对圆心角度数为（ ）
A．40°B．80°C．90°D．120°
【分析】连接OE，OD，由CD＝CO，根据等腰三角形的性质得∠D＝∠COD＝40°，再利用三角形外角性质得∠OCE＝∠D+∠COD＝80°，由OD＝OE得∠E＝∠D＝40°，然后利用∠BOE＝∠OCE+∠E进行计算．
【解答】解：连接OE，OD，如图，
∵AD所对圆心角度数为40°，
∴∠AOD＝40°，
∵CD＝CO，
∴∠D＝∠COD＝40°，
∴∠OCE＝∠D+∠COD＝80°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠D＝40°，
∴∠BOE＝∠OCE+∠E＝120°．
即BE所对圆心角度数为120°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式3-2】（2022秋•北仑区期中）在半径为1的圆中，长度等于2的弦所对的弧的度数为 ．
【分析】如图，⊙O的半径为1，弦AB=2，连接OA、OB，利用勾股定理的逆定理可判断△OAB为等腰直角三角形，则∠AOB＝90°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．
【解答】解：如图，⊙O的半径为1，弦AB=2，
连接OA、OB，
∵OA＝OB＝1，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴AB所所的弧的度数为90°或270°．
故答案为90°或270°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
【变式3-3】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若AC的度数是70°，且AD∥OC，求AD的度数．
【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠AOC＝70°，则利用平行线的性质得∠A＝∠AOC＝70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOD＝40°，从而得到AD的度数．
【解答】解：∵AC的度数70°，
∴∠AOC＝70°，
∵AD∥OC，
∴∠A＝∠AOC＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠D＝∠A＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴AD的度数为40°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式3-4】如图，A、B、C、D均为圆O上的点，其中A、B两点的连线经过圆心O，线段AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝16°，求弧AC的度数．
【分析】求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题．
【解答】解：连接OD，
∵AB＝2DE＝2OD，
∴OD＝DE，
又∵∠E＝16°，
∴∠DOE＝∠E＝16°，
∴∠ODC＝33°，
同理∠C＝∠ODC＝32°
∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝48°，
∴AC的度数＝48°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦以及三角形的外角和定理，外角等于不相邻的两个内角的和．
【变式3-5】点C是圆O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD等于CO，若弧AD的度数为40°，
求弧BE的度数．
【分析】根据圆心角的度数等于它所对弧的度数，由弧AD的度数为40度得∠AOD＝40°，再根据等腰三角形的性质得∠D＝∠COD＝40°，于是利用三角形外角性质可得到∠ECO＝80°，加上∠E＝∠D＝40°，所以∠BOE＝∠E+∠ECO＝120°，由此可得弧BE的度数为120°．
【解答】解：∵弧AD的度数为40度，
∴∠AOD＝40°，
∵CD＝CO，
∴∠D＝∠COD＝40°，
∴∠ECO＝2∠D＝80°，
∵OE＝OD，
∴∠E＝∠D＝40°，
∴∠BOE＝∠E+∠ECO＝40°+80°＝120°，
∴弧BE的度数为120°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
题型四 利用弧、弦、圆心角求线段长
【例题4】如图，点A在半圆O上，BC是直径，AB=AC．若AB＝2，则BC的长为 ．
【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长．
【解答】解：连接OA，
∵AB=AC，BC是直径，
∴OA⊥BC，
∵OA＝OB，AB＝2，
∴OA＝OB=22AB=22×2=2，
∴BC＝2OA=22．
故答案为：22．
【点评】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA，OB的长是解题的关键．
【变式4-1】（2022秋•芜湖期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB=2，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．52C．102D．2+12
【分析】过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得结论．
【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．
∵∠AOC＝90°，
∴∠ABC=12（360°﹣90°）＝135°，
∴∠ABE＝45°，
∵∠E＝90°，AB=2，
∴AE＝EB＝1，
∵BC＝1，
∴EC＝2，
∴AC=AE2+CE2=22+12=5，
∴OA＝OC=22AC=102．
故选：C．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式4-2】（2023•贵池区二模）如图，点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），若直径AB＝12，则DC的长为 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，求出∠DOB＝60°，解直角三角形求出DE、OE的长度，求出CE，再根据勾股定理求出DC即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则∠DEC＝90°，
∵点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），直径AB＝12，
∴AC＝4，BC＝8，OD＝OA＝OB＝6，
∴CO＝2，
∵点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），
∴∠DOB=13×180°=60°，
∴∠ODE＝30°，
∴OE=12OD＝3，DE=DO2−OE2=62−32=33，
∴CE＝OE+CO＝3+2＝5，
∴DC=DE2+CE2=(33)2+52=213，
故答案为：213．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出∠DOB＝60°和半径的长度是解此题的关键．
【变式4-3】如图，在⊙O中，AC=12AB，直径BC＝25，BD=CD，则AD＝ ．
【分析】如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．证明四边形DEAF是正方形，可得AD=2AF，想办法求出AF，可得结论．
【解答】解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝25，AB＝2AC，
∴AC＝2，AB＝4，
∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴四边形DEAF是正方形，
∴AD=2AF，
∵∠DAB＝∠DAC，
∴BD=CD，
∴BD＝CD，
∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，
∴AF＝3，
∴AD=2AF＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，特殊四边形解决问题．
题型五 利用弧、弦、圆心角比较大小
【例题5】（2022秋•莲池区校级期末）如图，在⊙O中，AB=2CD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＞2CDB．AB＝2CD
C．AB＜2CDD．以上都不正确
【分析】首先取AB的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中，AB=2CD，可证得AE=BE=CD，即可得AE＝BE＝CD，然后由三角形的三边关系，求得答案．
【解答】解：取AB的中点E，连接AE，BE，
∵在⊙O中，AB=2CD，
∴AE=BE=CD，
∴AE＝BE＝CD，
∵AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB．
故选：C．
【点评】此题考查了弧与弦的关系以及三角形的三边关系．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧，所对的弦相等．
【变式5-1】如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB与2CD的大小关系是（ ）
A．AB＞2CDB．AB＜2CDC．AB＝2CDD．不能确定
【分析】根据角平分线的性质得出∠AOE＝∠EOB，进而利用圆心角与弧的关系以及三角形的三边关系可直接求解．
【解答】解：作∠AOB的角平分线OE，交圆O于E，如图：
∵OE平分∠AOB，
∴∠AOE＝∠EOB，
∵∠AOB＝2∠COD，
∴∠AOE＝∠EOB＝∠COD，
∴AE=BE=CD，
∴AE＝BE＝CD，
∵AE+BE＞AB，
∴AB＜2CD．
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
【变式5-2（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．
【分析】连接OC，OD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：连接OC，OD，
∵AB＝OA+OB＝OC+OD，OC+OD＞CD，
∴AB＞CD．
【变式5-3】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EFB．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EFD．大小关系不确定
【分析】在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可．
【解答】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，
则弧FM＝弧AB，
∴AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
∴AB+CD＞EF．
故选：C．
【变式5-4】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．
（1）若BC=3AD，CD=2AD，求∠DAB和∠ABC的大小；
（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．
【分析】（1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小；
（2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系．
【解答】解：（1）∵BC=3AD，CD=2AD
∴∠BOC＝3∠AOD，∠COD＝2∠AOD
∵∠BOC+∠COD+∠AOD＝180°
∴∠AOD＝30°，∠BOC＝90°，∠COD＝60°
∴∠DAB=12∠BOD=12（∠BOC+∠COD）＝75°
∠ABC=12∠AOC=12（∠AOD+∠COD）＝45°
（2）①若AD＜CB，则∠DAB＞∠ABC；
②若AD=CB，则∠DAB＝∠ABC；
③若AD＞CB，则∠DAB＜∠ABC
题型六 弧、弦、圆心角中的倍数关系
【例题6】如图，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：EC=2BE．
【分析】首先推出DE⊥OC，求出∠EDO＝90°，根据OD=12OC=12OE，求出∠DEO＝30°，求出∠EOC，根据OC⊥AB，求出∠BOC＝90°，求出∠BOE＝30°，即可求出答案．
【解答】证明：∵AB⊥OC，DE∥AB，
∴DE⊥OC，
∴∠EDO＝90°，
∵D为OC中点，
∴OD=12OC=12OE，
∴∠DEO＝30°，
∴∠EOC＝90°﹣30°＝60°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°，
即∠BOE＝30°，∠COE＝60°，
∴EC=2BE．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解答此题的关键．
【变式6-1】（2023•莱西市二模）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是（ ）个
①AB＝2BC；②AB=2BC；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOC．
A．1B．2C．3D．4
【分析】首先取AB的中点D，连接AD，BD，由∠AOB＝2∠BOC，易得AD＝BD＝BC，继而证得AB＜2BC，又由圆周角定理，可得∠AOB＝4∠CAB，∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB．
【解答】解：取AB的中点D，连接AD，BD，
∵∠AOB＝2∠BOC，
∴AB=2BC，故②正确，
∴AD=BD=BC，
∴AD＝BD＝BC，
∵AB＜AD+BD，
∴AB＜2BC．故①错误，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠BOC＝2∠CAB，
∴∠AOB＝4∠CAB，
∵∠AOB＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB，故③④正确．
故选：C．
【点评】此题考查了弧、弦与圆心角的关系以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式6-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A．1：3B．2：3C．1：4D．1：2
【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB=14×360°＝90°；求得△AOB是等腰直角三角形，过O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．
则弦所对的圆心角∠AOB=14×360°＝90°；
∴△AOB是等腰直角三角形，
过O作OC⊥AB于C，
∴OC=12AB，
∴弦心距与弦长的比为1：2，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．
【变式6-3】（2023•陕西模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
【分析】如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x，计算AC和BC的比可得结论．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC=3BC，
∴∠AOC＝135°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝22.5°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x，
∴BCAC=xx+2x=12+1，
∴AC＝（2+1）BC．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角和弧的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，常通过作辅助线构建等腰直角三角形是解本题的关键．
题型七 弧、弦、圆心角中的证明问题
【例题7】（2022秋•延边州期末）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AH＝CH．
【分析】根据圆中的性质，可知AD＝BC，可证得△ADH≌△CBH（ASA），可得AH＝CH．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AB=CD，即AC+BC=AC+AD，
∴BC=AD，
∴AD＝BC，
又∵∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C，
∴△ADH≌△CBH（ASA），
∴AH＝CH．
【点评】本题主要考查圆中的基本性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用圆的性质进行证明是解题的关键．
【变式7-1】（2022秋•瑞安市期中）已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE．
求证：AD=CE．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出∴AD=BE，BE=CE，再求出答案即可．
【解答】证明：∵圆心角∠BOE＝圆心角∠AOD，
∴BE=AD，
∵BE＝CE，
BE=CE，
∴AD=CE．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，能熟记圆心角、弧、弦的关系是解此题的关键，在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，如果其中一对量相等，那么其它两对量也分别相等．
【变式7-2】（2022秋•硚口区期末）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE．
【分析】（1）由AB＝CD得到AB=CD，则AC=BD，然后利用圆心角、弧、弦的关系得到结论；
∴（2）根据圆周角定理，由AC=BD得到∠ADC＝∠DAB，则EA＝ED，然后利用AB＝CD得到CE＝BE．
【解答】证明：（1）∵AB＝CD，
∴AB=CD，
即AD+BD=AD+AC，
∴AC=BD，
∴AC＝BD；
（2）∵AC=BD，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴EA＝ED，
∵AB＝CD，
即AE+BE＝CE+DE，
∴CE＝BE．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式7-3】（2022秋•防城港期末）如图，AC=CB，M，N分别是半径OA，OB的中点．
求证：CM＝CN．
【分析】利用全等三角形的对应边相等证得CM＝CN．
【解答】证明：在⊙O中，∵AC=CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，M，N分别是半径OA、OB的中点，
∴OM＝ON，
在△COM和△CON中，
OC=OC∠COM=∠CONOM=ON，
∴△COM≌△CON（SAS），
∴CM＝CN（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．掌握其判定方法是解决此题的关键．
【变式7-4】如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为AD的中点，连接BM，CM，求证：BM＝CM．
【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴AB=CD，
∵M为AD中点，
∴AM=DM，
∴AB+AM=CD+DM，即BM=CM，
∴BM＝CM．
【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
【变式7-5】已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC＝BD．
【分析】连接OC、OD，根据已知条件，易证△OCM≌△ODN，根据全等三角形的性质可知，∠AOC＝∠BOD，根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可知，AC＝BD．
【解答】证明：连接OC、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AO＝BO，
∵M，N分别为AO、BO的中点，
∴OM＝ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°，
∴△OCM与△ODN都是直角三角形，
又∵OC＝OD，
∴△OCM≌△ODN（HL），
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，此定理应用非常广泛，为证明线段相等和角的相等提供了依据．
题型八 弧、弦、圆心角中的综合问题
【例题8】（2021秋•南昌期中）如图所示，以£ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G．
（1）求证：GE=EF；
（2）若BF的度数为70°，求∠C的度数．
【分析】（1）要证明GE=EF，则要证明∠DAF＝∠GAD，由题干条件能够证明之；
（2）根据BF的度数为70°，得到∠BAF＝70°，于是得到∠B＝∠AFB=12（180°﹣∠BAF）＝55°，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AF．
∵A为圆心，∴AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠AFB＝∠DAF，∠GAD＝∠ABF，
∴∠DAF＝∠GAD，
∴GE=EF；
（2）解：∵BF的度数为70°，
∴∠BAF＝70°，
∵AB＝AF，
∴∠B＝∠AFB=12（180°﹣∠BAF）＝55°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠B＝125°．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等知识点的应用，关键是求出∠DAF＝∠GAD，题目比较典型，难度不大．
【变式8-1】（2022秋•玄武区期末）如图，在⊙O中，AB＝AC．
（1）若∠BOC＝100°，则AB的度数为 °；
（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角、弧、弦间的关系可以得到AB＝AC，结合等腰三角形的性质解答；
（2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，构造直角三角形，通过勾股定理求得该圆的半径即可．
【解答】解：（1）∵在⊙O中，∠BOC＝100°，
∴∠BAC＝50°，
∵AB=AC，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴AB=130°，
故答案为：130；
（2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝5，
∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD=AB2−BD2=132−52=12；
在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，
解得OB=16924，即⊙O的半径是16924．
【点评】考查了圆周角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式8-2】如图，在⊙O中，OA、OB是半径，OA⊥OB，C、D是AB的三等分点，OC、OD分别交AB于点E、F，求证：AE＝CD＝BF．
【分析】由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC＝∠DOB，又OA＝OB＝OC，易证得△AOC≌△OCD，可得∠ACO＝∠OCD，易知∠AEC＝∠OCD，因此∠ACO＝∠AEC，即AE＝BF＝CD．
【解答】解：连接AC、BD，如图所示：
∵C，D是AB的三等分点，
∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD，OA＝OC＝OD，
在△ACO与△DCO中，OA=OD∠AOC=∠DOCOC=OC，
∵∴△ACO≌△DCO（SAS），
∴∠ACO＝∠OCD．
∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD＝75°，
∴∠OEF＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC＝∠OCD，
∴∠ACO＝∠AEC，
∴AC＝AE，
同理，BF＝BD．
又∵AC＝CD＝BD，
∴AE＝CD＝BF．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
【变式8-3】如图，A、B、C为⊙O上三点，且AB=BC=CA，连接AB、BC、CA．
（1）试确定△ABC的形状；
（2）若AB＝a，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据AB=BC=CA，可得出AB＝BC＝AC，即可得出三角形的形状；
（2）过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OC，根据直角三角形的性质即可得出⊙O的半径．
【解答】解：（1）∵AB=BC=CA，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OC，
∴CD=12BC=12a，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠OCD＝30°，
设OD＝x，则OC＝2x，
∴OD2+CD2＝OC2，
∴x2+14a2＝4x2，
∴x=36a，
∴⊙O的半径为33a．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦以及等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，是一道综合性较强的题目，难度不大．
【变式8-4】（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，CE=2AE，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．
（1）求证：CD＝OD．
（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．
【分析】（1）连接OE、CE，如图，利用CE=2AE得到∠COE＝2∠AOE＝60°，则可判定△OCE为等边三角形，接着证明DE⊥OC，然后根据等边三角形的性质得到结论；
（2）先利用勾股定理计算出DE=3，然后在Rt△EFD中利用勾股定理计算EF．
【解答】（1）证明：连接OE、CE，如图，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∵CE=2AE，
∴∠COE＝2∠AOE，
∴∠COE＝60°，
而OE＝OC，
∴△OCE为等边三角形，
∵DE∥AB，OC⊥AB，
∴DE⊥OC，
∴CD＝OD；
（2）解：∵⊙O的直径是4，
∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，
在Rt△ODE中，DE=22−12=3，
在Rt△EFD中，EF=DE2+DF2=(3)2+32=23．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
【变式8-5】如图．在四边形ABCF中．FA⊥AB．BC⊥AB．ʘO经过点A，B，C，分别交边AF．FC于点D，E．且E是CD的中点．
（1）求证：E是FC的中点．
（2）连结AE，当AB＝6．AE＝5时，求AF的长．
【分析】（1）连接AC，根据AC为圆O的直径，得到∠AEC为直角，根据E为弧CD的中点，得到弧相等，根据等弧对的圆周角相等，利用ASA得到三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接CD，利用面积法求出FC与AF比值，设FC，根据勾股定理求出x的值，即可求出AF的长．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是圆O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AEC＝90°＝∠AEC，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
∴∠FAE＝∠CAE，
在△AEC和△AEF中，
∠CAE=∠FAEAE=AE∠AEC=∠AEF，
∴△AEC≌△AEF（ASA），
∴EC＝EF，
∴E为FC的中点；
（2）连接CD，
∵FA⊥AB，CB⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCB是矩形，
∴CD＝AB＝6，
∵S△AFC=12FC•AE=12AF•CD，
∴5FC＝6AF，
∴FCAF=65，
设FC＝12x，则AF＝10x，
∵E为FC的中点，
∴FE=12FC＝6x，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE2+EF2＝AF2，
即52+（6x）2＝（10x）2，
解得：x=58，
∴AF＝10x=254．
【点评】此题考查了弧、弦、圆心角的关系，矩形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，知识点较多，难度一般，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
解题技巧提炼
正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
解题技巧提炼
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键有时要利用直角三角形的性质等知识点．
解题技巧提炼
利用弧、弦、圆心角求弧的度数就是求弧所对的圆心角的度数，有时要利用等腰三角形的性质．
解题技巧提炼
此类问题主要是利用弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
解题技巧提炼
本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
解题技巧提炼
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解答此题的关键．
解题技巧提炼
本题主要考查在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，如果其中一对量相等，那么其它两对量也分别相等．同时利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形等图形的性质等，灵活运用圆的性质进行证明是解题的关键．
解题技巧提炼
解决此类综合问题，主要是利用了弧、弦、圆心角关系，同时考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理等相关知识的综合运用.
解题技巧提炼
正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
解题技巧提炼
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键有时要利用直角三角形的性质等知识点．
解题技巧提炼
利用弧、弦、圆心角求弧的度数就是求弧所对的圆心角的度数，有时要利用等腰三角形的性质．
解题技巧提炼
此类问题主要是利用弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
解题技巧提炼
本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
解题技巧提炼
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解答此题的关键．
解题技巧提炼
本题主要考查在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，如果其中一对量相等，那么其它两对量也分别相等．同时利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形等图形的性质等，灵活运用圆的性质进行证明是解题的关键．
解题技巧提炼
解决此类综合问题，主要是利用了弧、弦、圆心角关系，同时考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理等相关知识的综合运用.
第一课时 弧、弦、圆心角
知识点一
圆的旋转对称性
圆的旋转对称性
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴.
知识点二
弧、弦、圆心角的关系
◆1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的.
◆2、弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
【注意】
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等．
（2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”．
题型一 弧、弦、圆心角的概念
【例题1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D．相等的弦所对的弧相等
【变式1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
【变式1-2】（2022春•惠山区校级月考）下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-3】（2022秋•凯里市校级期中） 如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正确的是 （填序号）．
【变式1-4】（2022秋•庆云县期中）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧长相等的弧则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-5】如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB＝CD；②OM＝ON；③AB=CD．
A．0个B．1个C．2个D．3个
题型二 利用弧、弦、圆心角求角度
【例题2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32°B．60°C．68°D．64°
【变式2-1】（2022秋•西湖区校级期中）在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数
为（ ）
A．120°B．75°C．60°D．30°
【变式2-2】（2022秋•延边州期末）如图，在⊙O中AB=CD，∠AOB＝45°，则∠COD＝（ ）
A．60°B．45°C．30°D．40°
【变式2-3】（2023•西陵区模拟）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．135°
【变式2-4】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是 ．
【变式2-5】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数．
题型三 利用弧、弦、圆心角求弧的度数
【例题3】（2022秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28°B．64°C．56°D．124°
【变式3-1】如图，C是⊙O直径AB上一点，过C作弦DE，使CD＝CO，若AD所对圆心角度数为40°，则BE所对圆心角度数为（ ）
A．40°B．80°C．90°D．120°
【变式3-2】（2022秋•北仑区期中）在半径为1的圆中，长度等于2的弦所对的弧的度数为 ．
【变式3-3】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若AC的度数是70°，且AD∥OC，求AD的度数．
【变式3-4】如图，A、B、C、D均为圆O上的点，其中A、B两点的连线经过圆心O，线段AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝16°，求弧AC的度数．
【变式3-5】点C是圆O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD等于CO，若弧AD的度数为40°，
求弧BE的度数．
题型四 利用弧、弦、圆心角求线段长
【例题4】如图，点A在半圆O上，BC是直径，AB=AC．若AB＝2，则BC的长为 ．
【变式4-1】（2022秋•芜湖期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB=2，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．52C．102D．2+12
【变式4-2】（2023•贵池区二模）如图，点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），若直径AB＝12，则DC的长为 ．
【变式4-3】如图，在⊙O中，AC=12AB，直径BC＝25，BD=CD，则AD＝ ．
题型五 利用弧、弦、圆心角比较大小
【例题5】（2022秋•莲池区校级期末）如图，在⊙O中，AB=2CD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＞2CDB．AB＝2CD
C．AB＜2CDD．以上都不正确
【变式5-1】如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB与2CD的大小关系是（ ）
A．AB＞2CDB．AB＜2CDC．AB＝2CDD．不能确定
【变式5-2（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．
【变式5-3】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EFB．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EFD．大小关系不确定
【变式5-4】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．
（1）若BC=3AD，CD=2AD，求∠DAB和∠ABC的大小；
（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．
题型六 弧、弦、圆心角中的倍数关系
【例题6】如图，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：EC=2BE．
【变式6-1】（2023•莱西市二模）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是（ ）个
①AB＝2BC；②AB=2BC；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOC．
A．1B．2C．3D．4
【变式6-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比
为（ ）
A．1：3B．2：3C．1：4D．1：2
【变式6-3】（2023•陕西模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
题型七 弧、弦、圆心角中的证明问题
【例题7】（2022秋•延边州期末）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AH＝CH．
【变式7-1】（2022秋•瑞安市期中）已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE．
求证：AD=CE．
【变式7-2】（2022秋•硚口区期末）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE．
【变式7-3】（2022秋•防城港期末）如图，AC=CB，M，N分别是半径OA，OB的中点．
求证：CM＝CN．
【变式7-4】如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为AD的中点，连接BM，CM，求证：BM＝CM．
【变式7-5】已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC＝BD．
题型八 弧、弦、圆心角中的综合问题
【例题8】（2021秋•南昌期中）如图所示，以£ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G．
（1）求证：GE=EF；
（2）若BF的度数为70°，求∠C的度数．
【变式8-1】（2022秋•玄武区期末）如图，在⊙O中，AB＝AC．
（1）若∠BOC＝100°，则AB的度数为 °；
（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．
【变式8-2】如图，在⊙O中，OA、OB是半径，OA⊥OB，C、D是AB的三等分点，OC、OD分别交AB于点E、F，求证：AE＝CD＝BF．
【变式8-3】如图，A、B、C为⊙O上三点，且AB=BC=CA，连接AB、BC、CA．
（1）试确定△ABC的形状；
（2）若AB＝a，求⊙O的半径．
【变式8-4】（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，CE=2AE，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．
（1）求证：CD＝OD．
（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．
【变式8-5】如图．在四边形ABCF中．FA⊥AB．BC⊥AB．ʘO经过点A，B，C，分别交边AF．FC于点D，E．且E是CD的中点．
（1）求证：E是FC的中点．
（2）连结AE，当AB＝6．AE＝5时，求AF的长．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.2 圆的对称性
第一课时 弧、弦、圆心角
知识点一
圆的旋转对称性
圆的旋转对称性
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴.
知识点二
弧、弦、圆心角的关系
◆1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的.
◆2、弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
【注意】
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等．
（2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”．
题型一 弧、弦、圆心角的概念
【例题1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D．相等的弦所对的弧相等
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【解答】解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．
B、正确．
C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．
D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
【分析】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可．
【解答】解：A．如图，
弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；
C．如图，
∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意；
D．如图，
弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中有一对量相等，那么其余两对量也分别相等．
【变式1-2】（2022春•惠山区校级月考）下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据半圆，等圆，等弧等知识一一判断即可．
【解答】解：①半圆是弧，正确；
②面积相等的两个圆是等圆，正确，
③所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧
④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中．
⑤等弧所对的圆心角相等，正确．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，半圆，等圆，等弧等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式1-3】（2022秋•凯里市校级期中） 如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正确的是 （填序号）．
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【解答】解：在⊙O中，AB=CD，
∴AB＝CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴AC=BD故④正确；
∴AC＝BD，故②正确；
∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式1-4】（2022秋•庆云县期中）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧长相等的弧则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【解答】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．
（2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；
（3）弧长相等的弧则所对的圆心角不一定相等．错误；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确；
故选：A．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．
【变式1-5】如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB＝CD；②OM＝ON；③AB=CD．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到AB与CD之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦AB与CD，弦心距OM与ON的数量关系，进而得出正确选项．
【解答】解：∵AB，CD分别为⊙O的两条弦，∠AOB＝∠COD，
∴AB=CD，故③正确；
∵AB=CD，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴AB＝CD，OM＝ON，故①②正确．
综上可知，正确的有3个．
故选：D．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．
题型二 利用弧、弦、圆心角求角度
【例题2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32°B．60°C．68°D．64°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AE=BD得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．
【解答】解：∵AE=BD，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故选：D．
【点评】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•西湖区校级期中）在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数
为（ ）
A．120°B．75°C．60°D．30°
【分析】连接OA、OB，如图，通过证明△OAB为等边三角形得到∠AOB＝60°．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
即弦AB所对应的圆心角的度数为60°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键．
【变式2-2】（2022秋•延边州期末）如图，在⊙O中AB=CD，∠AOB＝45°，则∠COD＝（ ）
A．60°B．45°C．30°D．40°
【分析】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案．
【解答】解：∵AB=CD，
∴∠COD＝∠AOB＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦的关系，关键是掌握：在同圆或等圆中，圆心角，弧，弦的关系．
【变式2-3】（2023•西陵区模拟）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．135°
【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．
【解答】解：连接OC、OD，
∵BC＝CD＝DA，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，
∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，
∴∠BCD=12×2（180°﹣60°）＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查了弧、弦与圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意半圆对的圆心角为180°．
【变式2-4】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是 ．
【分析】由BC=CD=DE，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：如图，∵BC=CD=DE，∠COD＝34°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO=12×（180°﹣78°）＝51°．
故答案为：51°．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式2-5】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数．
【分析】连接AD，根据直角三角形的两锐角互余求出∠C，根据∠ADC＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理求出∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝40°，求出∠DAE＝50°，再根据等腰三角形的性质得出∠DEA＝∠ADE，再求出答案即可．
【解答】解：连接AD，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠C＝90°﹣∠ABC＝70°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°，
∵AD＝AE，
∴∠DEA＝∠ADE=12（180°﹣∠DAE）＝65°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点，能熟记等边对等角和直角三角形的两锐角互余是解此题的关键．
题型三 利用弧、弦、圆心角求弧的度数
【例题3】（2022秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28°B．64°C．56°D．124°
【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝62°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝62°，
∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴BD的度数为56°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式3-1】如图，C是⊙O直径AB上一点，过C作弦DE，使CD＝CO，若AD所对圆心角度数为40°，则BE所对圆心角度数为（ ）
A．40°B．80°C．90°D．120°
【分析】连接OE，OD，由CD＝CO，根据等腰三角形的性质得∠D＝∠COD＝40°，再利用三角形外角性质得∠OCE＝∠D+∠COD＝80°，由OD＝OE得∠E＝∠D＝40°，然后利用∠BOE＝∠OCE+∠E进行计算．
【解答】解：连接OE，OD，如图，
∵AD所对圆心角度数为40°，
∴∠AOD＝40°，
∵CD＝CO，
∴∠D＝∠COD＝40°，
∴∠OCE＝∠D+∠COD＝80°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠D＝40°，
∴∠BOE＝∠OCE+∠E＝120°．
即BE所对圆心角度数为120°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式3-2】（2022秋•北仑区期中）在半径为1的圆中，长度等于2的弦所对的弧的度数为 ．
【分析】如图，⊙O的半径为1，弦AB=2，连接OA、OB，利用勾股定理的逆定理可判断△OAB为等腰直角三角形，则∠AOB＝90°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．
【解答】解：如图，⊙O的半径为1，弦AB=2，
连接OA、OB，
∵OA＝OB＝1，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴AB所所的弧的度数为90°或270°．
故答案为90°或270°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
【变式3-3】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若AC的度数是70°，且AD∥OC，求AD的度数．
【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠AOC＝70°，则利用平行线的性质得∠A＝∠AOC＝70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOD＝40°，从而得到AD的度数．
【解答】解：∵AC的度数70°，
∴∠AOC＝70°，
∵AD∥OC，
∴∠A＝∠AOC＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠D＝∠A＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴AD的度数为40°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式3-4】如图，A、B、C、D均为圆O上的点，其中A、B两点的连线经过圆心O，线段AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝16°，求弧AC的度数．
【分析】求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题．
【解答】解：连接OD，
∵AB＝2DE＝2OD，
∴OD＝DE，
又∵∠E＝16°，
∴∠DOE＝∠E＝16°，
∴∠ODC＝33°，
同理∠C＝∠ODC＝32°
∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝48°，
∴AC的度数＝48°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦以及三角形的外角和定理，外角等于不相邻的两个内角的和．
【变式3-5】点C是圆O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD等于CO，若弧AD的度数为40°，
求弧BE的度数．
【分析】根据圆心角的度数等于它所对弧的度数，由弧AD的度数为40度得∠AOD＝40°，再根据等腰三角形的性质得∠D＝∠COD＝40°，于是利用三角形外角性质可得到∠ECO＝80°，加上∠E＝∠D＝40°，所以∠BOE＝∠E+∠ECO＝120°，由此可得弧BE的度数为120°．
【解答】解：∵弧AD的度数为40度，
∴∠AOD＝40°，
∵CD＝CO，
∴∠D＝∠COD＝40°，
∴∠ECO＝2∠D＝80°，
∵OE＝OD，
∴∠E＝∠D＝40°，
∴∠BOE＝∠E+∠ECO＝40°+80°＝120°，
∴弧BE的度数为120°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
题型四 利用弧、弦、圆心角求线段长
【例题4】如图，点A在半圆O上，BC是直径，AB=AC．若AB＝2，则BC的长为 ．
【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长．
【解答】解：连接OA，
∵AB=AC，BC是直径，
∴OA⊥BC，
∵OA＝OB，AB＝2，
∴OA＝OB=22AB=22×2=2，
∴BC＝2OA=22．
故答案为：22．
【点评】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA，OB的长是解题的关键．
【变式4-1】（2022秋•芜湖期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB=2，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．52C．102D．2+12
【分析】过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得结论．
【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．
∵∠AOC＝90°，
∴∠ABC=12（360°﹣90°）＝135°，
∴∠ABE＝45°，
∵∠E＝90°，AB=2，
∴AE＝EB＝1，
∵BC＝1，
∴EC＝2，
∴AC=AE2+CE2=22+12=5，
∴OA＝OC=22AC=102．
故选：C．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式4-2】（2023•贵池区二模）如图，点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），若直径AB＝12，则DC的长为 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，求出∠DOB＝60°，解直角三角形求出DE、OE的长度，求出CE，再根据勾股定理求出DC即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则∠DEC＝90°，
∵点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），直径AB＝12，
∴AC＝4，BC＝8，OD＝OA＝OB＝6，
∴CO＝2，
∵点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），
∴∠DOB=13×180°=60°，
∴∠ODE＝30°，
∴OE=12OD＝3，DE=DO2−OE2=62−32=33，
∴CE＝OE+CO＝3+2＝5，
∴DC=DE2+CE2=(33)2+52=213，
故答案为：213．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出∠DOB＝60°和半径的长度是解此题的关键．
【变式4-3】如图，在⊙O中，AC=12AB，直径BC＝25，BD=CD，则AD＝ ．
【分析】如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．证明四边形DEAF是正方形，可得AD=2AF，想办法求出AF，可得结论．
【解答】解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝25，AB＝2AC，
∴AC＝2，AB＝4，
∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴四边形DEAF是正方形，
∴AD=2AF，
∵∠DAB＝∠DAC，
∴BD=CD，
∴BD＝CD，
∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，
∴AF＝3，
∴AD=2AF＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，特殊四边形解决问题．
题型五 利用弧、弦、圆心角比较大小
【例题5】（2022秋•莲池区校级期末）如图，在⊙O中，AB=2CD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＞2CDB．AB＝2CD
C．AB＜2CDD．以上都不正确
【分析】首先取AB的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中，AB=2CD，可证得AE=BE=CD，即可得AE＝BE＝CD，然后由三角形的三边关系，求得答案．
【解答】解：取AB的中点E，连接AE，BE，
∵在⊙O中，AB=2CD，
∴AE=BE=CD，
∴AE＝BE＝CD，
∵AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB．
故选：C．
【点评】此题考查了弧与弦的关系以及三角形的三边关系．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧，所对的弦相等．
【变式5-1】如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB与2CD的大小关系是（ ）
A．AB＞2CDB．AB＜2CDC．AB＝2CDD．不能确定
【分析】根据角平分线的性质得出∠AOE＝∠EOB，进而利用圆心角与弧的关系以及三角形的三边关系可直接求解．
【解答】解：作∠AOB的角平分线OE，交圆O于E，如图：
∵OE平分∠AOB，
∴∠AOE＝∠EOB，
∵∠AOB＝2∠COD，
∴∠AOE＝∠EOB＝∠COD，
∴AE=BE=CD，
∴AE＝BE＝CD，
∵AE+BE＞AB，
∴AB＜2CD．
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
【变式5-2（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．
【分析】连接OC，OD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：连接OC，OD，
∵AB＝OA+OB＝OC+OD，OC+OD＞CD，
∴AB＞CD．
【变式5-3】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EFB．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EFD．大小关系不确定
【分析】在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可．
【解答】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，
则弧FM＝弧AB，
∴AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
∴AB+CD＞EF．
故选：C．
【变式5-4】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．
（1）若BC=3AD，CD=2AD，求∠DAB和∠ABC的大小；
（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．
【分析】（1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小；
（2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系．
【解答】解：（1）∵BC=3AD，CD=2AD
∴∠BOC＝3∠AOD，∠COD＝2∠AOD
∵∠BOC+∠COD+∠AOD＝180°
∴∠AOD＝30°，∠BOC＝90°，∠COD＝60°
∴∠DAB=12∠BOD=12（∠BOC+∠COD）＝75°
∠ABC=12∠AOC=12（∠AOD+∠COD）＝45°
（2）①若AD＜CB，则∠DAB＞∠ABC；
②若AD=CB，则∠DAB＝∠ABC；
③若AD＞CB，则∠DAB＜∠ABC
题型六 弧、弦、圆心角中的倍数关系
【例题6】如图，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：EC=2BE．
【分析】首先推出DE⊥OC，求出∠EDO＝90°，根据OD=12OC=12OE，求出∠DEO＝30°，求出∠EOC，根据OC⊥AB，求出∠BOC＝90°，求出∠BOE＝30°，即可求出答案．
【解答】证明：∵AB⊥OC，DE∥AB，
∴DE⊥OC，
∴∠EDO＝90°，
∵D为OC中点，
∴OD=12OC=12OE，
∴∠DEO＝30°，
∴∠EOC＝90°﹣30°＝60°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°，
即∠BOE＝30°，∠COE＝60°，
∴EC=2BE．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解答此题的关键．
【变式6-1】（2023•莱西市二模）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是（ ）个
①AB＝2BC；②AB=2BC；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOC．
A．1B．2C．3D．4
【分析】首先取AB的中点D，连接AD，BD，由∠AOB＝2∠BOC，易得AD＝BD＝BC，继而证得AB＜2BC，又由圆周角定理，可得∠AOB＝4∠CAB，∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB．
【解答】解：取AB的中点D，连接AD，BD，
∵∠AOB＝2∠BOC，
∴AB=2BC，故②正确，
∴AD=BD=BC，
∴AD＝BD＝BC，
∵AB＜AD+BD，
∴AB＜2BC．故①错误，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠BOC＝2∠CAB，
∴∠AOB＝4∠CAB，
∵∠AOB＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB，故③④正确．
故选：C．
【点评】此题考查了弧、弦与圆心角的关系以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式6-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A．1：3B．2：3C．1：4D．1：2
【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB=14×360°＝90°；求得△AOB是等腰直角三角形，过O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．
则弦所对的圆心角∠AOB=14×360°＝90°；
∴△AOB是等腰直角三角形，
过O作OC⊥AB于C，
∴OC=12AB，
∴弦心距与弦长的比为1：2，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．
【变式6-3】（2023•陕西模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
【分析】如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x，计算AC和BC的比可得结论．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC=3BC，
∴∠AOC＝135°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝22.5°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x，
∴BCAC=xx+2x=12+1，
∴AC＝（2+1）BC．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角和弧的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，常通过作辅助线构建等腰直角三角形是解本题的关键．
题型七 弧、弦、圆心角中的证明问题
【例题7】（2022秋•延边州期末）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AH＝CH．
【分析】根据圆中的性质，可知AD＝BC，可证得△ADH≌△CBH（ASA），可得AH＝CH．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AB=CD，即AC+BC=AC+AD，
∴BC=AD，
∴AD＝BC，
又∵∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C，
∴△ADH≌△CBH（ASA），
∴AH＝CH．
【点评】本题主要考查圆中的基本性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用圆的性质进行证明是解题的关键．
【变式7-1】（2022秋•瑞安市期中）已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE．
求证：AD=CE．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出∴AD=BE，BE=CE，再求出答案即可．
【解答】证明：∵圆心角∠BOE＝圆心角∠AOD，
∴BE=AD，
∵BE＝CE，
BE=CE，
∴AD=CE．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，能熟记圆心角、弧、弦的关系是解此题的关键，在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，如果其中一对量相等，那么其它两对量也分别相等．
【变式7-2】（2022秋•硚口区期末）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE．
【分析】（1）由AB＝CD得到AB=CD，则AC=BD，然后利用圆心角、弧、弦的关系得到结论；
∴（2）根据圆周角定理，由AC=BD得到∠ADC＝∠DAB，则EA＝ED，然后利用AB＝CD得到CE＝BE．
【解答】证明：（1）∵AB＝CD，
∴AB=CD，
即AD+BD=AD+AC，
∴AC=BD，
∴AC＝BD；
（2）∵AC=BD，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴EA＝ED，
∵AB＝CD，
即AE+BE＝CE+DE，
∴CE＝BE．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式7-3】（2022秋•防城港期末）如图，AC=CB，M，N分别是半径OA，OB的中点．
求证：CM＝CN．
【分析】利用全等三角形的对应边相等证得CM＝CN．
【解答】证明：在⊙O中，∵AC=CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，M，N分别是半径OA、OB的中点，
∴OM＝ON，
在△COM和△CON中，
OC=OC∠COM=∠CONOM=ON，
∴△COM≌△CON（SAS），
∴CM＝CN（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．掌握其判定方法是解决此题的关键．
【变式7-4】如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为AD的中点，连接BM，CM，求证：BM＝CM．
【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴AB=CD，
∵M为AD中点，
∴AM=DM，
∴AB+AM=CD+DM，即BM=CM，
∴BM＝CM．
【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
【变式7-5】已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC＝BD．
【分析】连接OC、OD，根据已知条件，易证△OCM≌△ODN，根据全等三角形的性质可知，∠AOC＝∠BOD，根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可知，AC＝BD．
【解答】证明：连接OC、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AO＝BO，
∵M，N分别为AO、BO的中点，
∴OM＝ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°，
∴△OCM与△ODN都是直角三角形，
又∵OC＝OD，
∴△OCM≌△ODN（HL），
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，此定理应用非常广泛，为证明线段相等和角的相等提供了依据．
题型八 弧、弦、圆心角中的综合问题
【例题8】（2021秋•南昌期中）如图所示，以£ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G．
（1）求证：GE=EF；
（2）若BF的度数为70°，求∠C的度数．
【分析】（1）要证明GE=EF，则要证明∠DAF＝∠GAD，由题干条件能够证明之；
（2）根据BF的度数为70°，得到∠BAF＝70°，于是得到∠B＝∠AFB=12（180°﹣∠BAF）＝55°，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AF．
∵A为圆心，∴AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠AFB＝∠DAF，∠GAD＝∠ABF，
∴∠DAF＝∠GAD，
∴GE=EF；
（2）解：∵BF的度数为70°，
∴∠BAF＝70°，
∵AB＝AF，
∴∠B＝∠AFB=12（180°﹣∠BAF）＝55°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠B＝125°．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等知识点的应用，关键是求出∠DAF＝∠GAD，题目比较典型，难度不大．
【变式8-1】（2022秋•玄武区期末）如图，在⊙O中，AB＝AC．
（1）若∠BOC＝100°，则AB的度数为 °；
（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角、弧、弦间的关系可以得到AB＝AC，结合等腰三角形的性质解答；
（2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，构造直角三角形，通过勾股定理求得该圆的半径即可．
【解答】解：（1）∵在⊙O中，∠BOC＝100°，
∴∠BAC＝50°，
∵AB=AC，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴AB=130°，
故答案为：130；
（2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝5，
∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD=AB2−BD2=132−52=12；
在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，
解得OB=16924，即⊙O的半径是16924．
【点评】考查了圆周角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式8-2】如图，在⊙O中，OA、OB是半径，OA⊥OB，C、D是AB的三等分点，OC、OD分别交AB于点E、F，求证：AE＝CD＝BF．
【分析】由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC＝∠DOB，又OA＝OB＝OC，易证得△AOC≌△OCD，可得∠ACO＝∠OCD，易知∠AEC＝∠OCD，因此∠ACO＝∠AEC，即AE＝BF＝CD．
【解答】解：连接AC、BD，如图所示：
∵C，D是AB的三等分点，
∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD，OA＝OC＝OD，
在△ACO与△DCO中，OA=OD∠AOC=∠DOCOC=OC，
∵∴△ACO≌△DCO（SAS），
∴∠ACO＝∠OCD．
∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD＝75°，
∴∠OEF＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC＝∠OCD，
∴∠ACO＝∠AEC，
∴AC＝AE，
同理，BF＝BD．
又∵AC＝CD＝BD，
∴AE＝CD＝BF．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
【变式8-3】如图，A、B、C为⊙O上三点，且AB=BC=CA，连接AB、BC、CA．
（1）试确定△ABC的形状；
（2）若AB＝a，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据AB=BC=CA，可得出AB＝BC＝AC，即可得出三角形的形状；
（2）过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OC，根据直角三角形的性质即可得出⊙O的半径．
【解答】解：（1）∵AB=BC=CA，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OC，
∴CD=12BC=12a，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠OCD＝30°，
设OD＝x，则OC＝2x，
∴OD2+CD2＝OC2，
∴x2+14a2＝4x2，
∴x=36a，
∴⊙O的半径为33a．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦以及等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，是一道综合性较强的题目，难度不大．
【变式8-4】（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，CE=2AE，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．
（1）求证：CD＝OD．
（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．
【分析】（1）连接OE、CE，如图，利用CE=2AE得到∠COE＝2∠AOE＝60°，则可判定△OCE为等边三角形，接着证明DE⊥OC，然后根据等边三角形的性质得到结论；
（2）先利用勾股定理计算出DE=3，然后在Rt△EFD中利用勾股定理计算EF．
【解答】（1）证明：连接OE、CE，如图，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∵CE=2AE，
∴∠COE＝2∠AOE，
∴∠COE＝60°，
而OE＝OC，
∴△OCE为等边三角形，
∵DE∥AB，OC⊥AB，
∴DE⊥OC，
∴CD＝OD；
（2）解：∵⊙O的直径是4，
∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，
在Rt△ODE中，DE=22−12=3，
在Rt△EFD中，EF=DE2+DF2=(3)2+32=23．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
【变式8-5】如图．在四边形ABCF中．FA⊥AB．BC⊥AB．ʘO经过点A，B，C，分别交边AF．FC于点D，E．且E是CD的中点．
（1）求证：E是FC的中点．
（2）连结AE，当AB＝6．AE＝5时，求AF的长．
【分析】（1）连接AC，根据AC为圆O的直径，得到∠AEC为直角，根据E为弧CD的中点，得到弧相等，根据等弧对的圆周角相等，利用ASA得到三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接CD，利用面积法求出FC与AF比值，设FC，根据勾股定理求出x的值，即可求出AF的长．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是圆O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AEC＝90°＝∠AEC，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
∴∠FAE＝∠CAE，
在△AEC和△AEF中，
∠CAE=∠FAEAE=AE∠AEC=∠AEF，
∴△AEC≌△AEF（ASA），
∴EC＝EF，
∴E为FC的中点；
（2）连接CD，
∵FA⊥AB，CB⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCB是矩形，
∴CD＝AB＝6，
∵S△AFC=12FC•AE=12AF•CD，
∴5FC＝6AF，
∴FCAF=65，
设FC＝12x，则AF＝10x，
∵E为FC的中点，
∴FE=12FC＝6x，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE2+EF2＝AF2，
即52+（6x）2＝（10x）2，
解得：x=58，
∴AF＝10x=254．
【点评】此题考查了弧、弦、圆心角的关系，矩形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，知识点较多，难度一般，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
解题技巧提炼
正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
解题技巧提炼
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键有时要利用直角三角形的性质等知识点．
解题技巧提炼
利用弧、弦、圆心角求弧的度数就是求弧所对的圆心角的度数，有时要利用等腰三角形的性质．
解题技巧提炼
此类问题主要是利用弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
解题技巧提炼
本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
解题技巧提炼
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解答此题的关键．
解题技巧提炼
本题主要考查在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，如果其中一对量相等，那么其它两对量也分别相等．同时利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形等图形的性质等，灵活运用圆的性质进行证明是解题的关键．
解题技巧提炼
解决此类综合问题，主要是利用了弧、弦、圆心角关系，同时考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理等相关知识的综合运用.
解题技巧提炼
正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
解题技巧提炼
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键有时要利用直角三角形的性质等知识点．
解题技巧提炼
利用弧、弦、圆心角求弧的度数就是求弧所对的圆心角的度数，有时要利用等腰三角形的性质．
解题技巧提炼
此类问题主要是利用弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
解题技巧提炼
本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
解题技巧提炼
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解答此题的关键．
解题技巧提炼
本题主要考查在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，如果其中一对量相等，那么其它两对量也分别相等．同时利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形等图形的性质等，灵活运用圆的性质进行证明是解题的关键．
解题技巧提炼
解决此类综合问题，主要是利用了弧、弦、圆心角关系，同时考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理等相关知识的综合运用.
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