2023新教材高中数学第4章数列单元质量测评新人教A版选择性必修第二册

这是一份2023新教材高中数学第4章数列单元质量测评新人教A版选择性必修第二册，共9页。
第四章　单元质量测评　　时间：120分钟　　　满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式an等于(　　)A．2n  B．2n＋1C．2n－1  D．2n＋1答案　B解析　由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是an＝2n＋1.(或特值法，当n＝1时只有B项符合．)2．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝(　　)A．2  B．3 C．6  D．7答案　B解析　∵S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.3．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于(　　)A．18  B．24 C．60  D．90答案　C解析　由a＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，即2a1＋3d＝0.　①　又S8＝8a1＋d＝32，则2a1＋7d＝8.　②　由①②，得d＝2，a1＝－3.所以S10＝10a1＋d＝60.故选C.4．某个命题：①当n＝1时，命题成立；②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时成立，可以推出n＝k＋2时也成立，则命题对________成立．(　　)A．正整数  B．正奇数C．正偶数  D．都不是答案　B解析　由题意知，k＝1时，k＋2＝3；k＝3时，k＋2＝5，依此类推知，命题对所有正奇数成立．5．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{bn}，那么162是新数列{bn}的(　　)A．第5项  B．第12项C．第13项  D．第6项答案　C解析　162是数列{an}的第5项，则它是新数列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13项．6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为(　　)A.钱  B．钱 C．钱  D．钱答案　B解析　依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则由题意可知，a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，则a－2d＝a－2×＝a＝.故选B.7．已知{an}是等差数列，a3＝5，a9＝17，数列{bn}的前n项和Sn＝3n，若am＝b1＋b4，则正整数m等于(　　)A．29  B．28 C．27  D．26答案　A解析　因为{an}是等差数列，a9＝17，a3＝5，所以6d＝17－5，得d＝2，an＝2n－1.又因为Sn＝3n，所以当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，Sn－1＝3n－1，bn＝3n－3n－1＝2·3n－1，由am＝b1＋b4，得2m－1＝3＋54，得m＝29，故选A.8．已知函数f(x)＝把方程f(x)＝x的根按从小到大的顺序排列成一个数列{an}，则该数列的通项公式为(　　)A．an＝(n∈N*)  B．an＝n(n－1)(n∈N*)C．an＝n－1(n∈N*)  D．an＝n－2(n∈N*)答案　C解析　令2x－1＝x(x≤0)，易得x＝0.当0<x≤1时，由已知得f(x－1)＋1＝x，即2x－1－1＋1＝2x－1＝x，则x＝1.当1<x≤2时，由已知得f(x)＝x，即f(x－1)＋1＝x，即f(x－2)＋1＋1＝x，故2x－2＋1＝x，则x＝2.因此，a1＝0，a2＝1，a3＝2，结合各选项可知该数列的通项公式为an＝n－1(n∈N*)．故选C.二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．下列命题中正确的有(　　)A．常数列不一定是等比数列B．等比数列前n项和Sn＝(其中a1为首项，q为公比)C．前n项和Sn为n的二次函数的数列一定是等差数列D．0不可能是任何等比数列的一项答案　AD解析　常数列0,0,0，…不是等比数列，故A正确；当q≠1时，Sn＝成立，故B错误；C中，需让Sn无常数项，故错误；D显然正确．故选AD.10．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则下列结论一定正确的是(　　)A．a10＝0  B．S10最小C．S7＝S12  D．S19＝0答案　ACD解析　设等差数列{an}的公差为d，∵2a1＋3a3＝S6，∴5a1＋6d＝6a1＋15d，∴a1＋9d＝0，即a10＝0，A正确；S10＝10a1＋＝－45d，可能大于0，也可能小于等于0，故B不正确；S12－S7＝12a1＋d－7a1－d＝5a1＋45d＝5(a1＋9d)＝0，即S7＝S12，C正确；S19＝＝19a10＝0，D正确．故选ACD.11．将n2个数排成n行n列的一个数阵，如下图：a11　a12　a13　…　a1na21　a22　a23　…　a2na31　a32　a33　…　a3n…an1　an2　an3　…　ann该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0)．已知a11＝2，a13＝a61＋1，记这n2个数的和为S.则下列结论正确的有(　　)A．m＝3  B．a67＝17×37C．aij＝(3i－1)×3j－1  D．S＝n(3n＋1)(3n－1)答案　ACD解析　由题意，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，且a11＝2，a13＝a61＋1，可得a13＝a11m2＝2m2，a61＝a11＋5d＝2＋5m，所以2m2＝2＋5m＋1，解得m＝3或m＝－(舍去)，所以A正确；又由a67＝a61m6＝(2＋5×3)×36＝17×36，所以B不正确；又由aij＝ai1mj－1＝[a11＋(i－1)×m]×mj－1＝[2＋(i－1)×3]×3j－1＝(3i－1)×3j－1，所以C正确；又由这n2个数的和为S，则S＝(a11＋a12＋…＋a1n)＋(a21＋a22＋…＋a2n)＋…＋(an1＋an2＋…＋ann)＝＋＋…＋＝(3n－1)·＝n(3n＋1)(3n－1)，所以D正确．故选ACD.12．已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝，bn＋1＝·，n∈N*，且{an}是等比数列，则下列四个结论正确的为(　　)A．数列{an}的所有项都不大于B．数列{bn}的所有项都大于C．数列{an}的公比等于1D．数列{bn}一定是等比数列答案　ACD解析　对于A，C，因为≤a＋b<(an＋bn)2，所以1<an＋1≤(n∈N*)，若q>1，则a1<a2≤，则当n>logq时，a1qn>，此时an＋1>，与1<an＋1≤矛盾；若0<q<1，则a1>a2>1，则当n>logq时，a1qn<1，此时an＋1<1，与1<an＋1≤矛盾．故q＝1，所以1<a1≤，1<an≤(n∈N*)，从而A，C正确；对于B，D，由q＝1，得bn＋1＝bn.下证a1＝.若a1≠，则>1，则b1<b2<b3，由a1＝，得bn＝，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾，故a1＝，则bn＝，故B错误，D正确．故选ACD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知数列{an}中，a1＝10，an＋1＝an－，则它的前n项和Sn的最大值为________．答案　105解析　∵an＋1－an＝－，∴d＝－，又a1＝10，∴an＝－＋(n∈N*)．∵a1＝10>0，d＝－<0，设从第n项起为负数，则－＋<0(n∈N*)．∴n>21，于是前21项和最大，最大值为S21＝105.14．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.答案　π解析　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形．故f(k＋1)＝f(k)＋π.15．已知等比数列{an}为递增数列，若a1＞0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.答案　2解析　∵{an}是递增的等比数列，且a1＞0，∴q＞1.又2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq.∵an≠0，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝(舍去)，∴公比q为2.16．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n(n∈N*)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n＝________，盈利总额的最大值为________万元．答案　7　61解析　设该设备第n年的运营费用为an万元，则数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，则an＝3n－1.设该设备使用n年的运营费用总和为Tn，则Tn＝＝n2＋n.设n年的盈利总额为Sn，则Sn＝21n－－9＝－n2＋n－9.由二次函数的性质可知，当n＝时，Sn取得最大值，又n∈N*，故当n＝7时，Sn取得最大值，最大值为61.四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设a，b，c是实数，3a,4b,5c成等比数列，且，，成等差数列，求＋的值．解　∵3a,4b,5c成等比数列，∴16b2＝15ac.　①∵，，成等差数列，∴＝＋.　②由①，得·15ac＝64.　③将②代入③，得2·15ac＝64，∴ac＝.∴＋＝.18．(本小题满分12分)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.(1)求证：数列{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．解　(1)证明：∵a1＝S1，an＋Sn＝n，　①∴a1＋S1＝1，得a1＝.又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，　②由①②两式相减得2(an＋1－1)＝an－1，即＝，也即＝，故数列{cn}是等比数列．(2)∵c1＝a1－1＝－，∴cn＝－，an＝cn＋1＝1－，an－1＝1－.故当n≥2时，bn＝an－an－1＝－＝.又b1＝a1＝也适合上式，∴bn＝.19．(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解　(1)证明：∵an＋2＝3an＋1－2an，∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴＝2.∵a1＝1，a2＝3，∴{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1.故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.20．(本小题满分12分)某地区火山喷发，弥漫在该地区上空多日的火山灰严重影响该地区的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、…、50(n－1)米至50n米的扇环面记为第n区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%、第3区较第2区又减少了2%，依此类推，问：(1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？(结果精确到1千克)(2)第几区的火山灰总质量最大？提示：当n较大时，可用(1－x)n≈1－nx进行近似计算．解　(1)设第n区的火山灰为每平方米an千克，依题意，数列{an}为等比数列，且a1＝1000(千克)，公比q＝1－2%＝0.98，∴an＝a1×qn－1＝1000×0.98n－1.∵离火山口1225米处的位置在第25区，∴a25＝1000×(1－0.02)24≈1000×(1－24×0.02)＝520，即离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米520千克．(2)设第n区的火山灰总质量为bn千克，且该区的火山灰总质量最大．依题意，第n区的面积为π{(50n)2－[50(n－1)]2}＝625π(2n－1)，∴bn＝625π(2n－1)×an.依题意得解得49.5≤n≤50.5.∵n∈N*，∴n＝50，即第50区的火山灰总质量最大．21．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，∵当n＝1时，a1＝4－2＝2也适合上式，∴{an}的通项公式为an＝4n－2，即{an}是首项a1＝2，公差d＝4的等差数列．设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，∴q＝.故bn＝b1qn－1＝2×.即{bn}的通项公式为bn＝.(2)∵cn＝＝＝(2n－1)4n－1，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n－1)4n－1，4Tn＝1×41＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)4n.两式相减，得3Tn＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n＝[(6n－5)4n＋5]，∴Tn＝[(6n－5)4n＋5]．22．(本小题满分12分)已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….(1)证明：数列{lg (1＋an)}是等比数列；(2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn；(3)记bn＝＋，求数列{bn}的前n项和Sn，并证明Sn<1.解　(1)证明：由已知an＋1＝a＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2，∴lg (1＋an＋1)＝2lg (1＋an)，∴{lg (1＋an)}是公比为2的等比数列．(2)由(1)知lg (1＋an)＝2n－1·lg (1＋a1)＝2n－1·lg 3＝lg 32n－1，∴1＋an＝32n－1，∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝320·321·322·…·32n－1＝31＋2＋22＋…＋2 n－1＝32n－1.(3)∵点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，∴an＋1＝a＋2an，∴an＋1＝an(an＋2)．∴＝，∴＝－，∴bn＝＋＝＋－＝2.∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2－＋－＋…＋＝2.∵an＝32n－1－1，a1＝2，an＋1＝32n－1，∴Sn＝1－.∵32n－1>32－1＝8>2，∴0<<1.∴Sn<1.