数学八年级上册14.2 乘法公式综合与测试当堂达标检测题

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专题06 乘法公式压轴题的四种考法
类型一、平方差公式与几何图形综合
例1．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　　　　图②　　　　；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　　　(用字母a、b表示)；

【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为　　　　；
②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．
【拓展】计算的结果为　　　　．
【答案】探究：（1），；（2）；应用：①12；②；拓展：．
【详解】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，
图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为，
故答案为：，；
（2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：，
故答案为：；
应用：①，
故答案为：12；
②原式，
，
；
拓展：原式，
，
，
，
，
．
故答案是：．
【变式训练1】如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下的部分拼成一个梯形，根据两个图形中阴影部分面积关系，解决下列问题：
（1）如图①所示，阴影部分的面积为 （写成平方差形式）．

（2）如图②所示，梯形的上底是 ，下底是 ，高是 ，根据梯形面积公式可以算出面积是 （写成多项式乘法的形式）．

（3）根据前面两问，可以得到公式 ．
（4）运用你所得到的公式计算： ．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2000．
【详解】解：（1）大正方形的面积为：，小正方形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：；故答案为：；
（2）由梯形的定义可知：上底是：，下底是：，高是：，
∴梯形的面积为：；
故答案为：；
（3）由（1）（2）可知，
；
故答案为：；
（4）===2000；
【变式训练2】从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）．
A．
B．
C．
（2）若，，求的值；
（3）计算：．
【答案】（1）B；（2）；（3）
【详解】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：，
上述操作能验证的等式是B，故答案为：B；
（2）∵，∵∴
（3）


【变式训练3】工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．

①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为　 　．

【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝a2+6a；②拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）9.
【详解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；
②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；
（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2中阴影部分的面积为S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．
故答案为9．
【变式训练4】（1）如图1所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是______；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是_________；

（2）由（1）可以得到一个乘法公式是________；
（3）利用你得到的公式计算：．
【答案】（1）a2-b2，（a+b）（a-b）；（2）（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）1
【详解】解：（1）图①阴影部分的面积为：a2-b2，图②长方形的长为a+b，宽为a-b，所以面积为：（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
（2）由（1）可得：（a+b）（a-b）=a2-b2，故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
（3）20212-2022×2020=20212-（2021+1）（2021-1）=20212-20212+1=1．
类型二、完全平方公式变形
例1．已知，求与的值．
【答案】
【详解】，
,
，
,
．
例2已知，则________.
【答案】6
【详解】解：∵x2+y2+z2-4x+6y+2z+14=0，∴x2-4x+4+y2+6y+9+z2+2z+1=0，
∴(x-2)2+(y+3)2+(z+1)2=0，∴x-2=0，y+3=0，z+1=0，∴x=2，y=-3，z=-1，∴xyz=2×（-3）×（-1）=6．
故答案为：6
【变式训练1】已知，求的值．
【答案】34
【详解】解：根据非负性，得：，，
，，，
的值是34．
【变式训练2】已知（x+2021）2+（x+2022）2=49，则（x+2021）（x+2022）的值为（）
A．20 B．24 C． D．
【答案】B
【详解】解：
且



故选：B
【变式训练3】已知：，，分别求和的值．
【答案】，
【详解】解：，，
①②得，即；
①②得，即．
【变式训练4】已知，求下列各式的值：
(1)；(2).
【答案】(1)7；(2)5
【解析】(1)解：∵，∴，即，∴．
(2)解：∵，∴，
∴．
【变式训练5】当x=______时，代数式8x2-12x+5有最小值，最小值为______.
【答案】         
【详解】解：
，当时，
有最小值，最小值为．
故答案为：；．
类型三、完全平方公式字母的值
例1．当k取何值时，是一个完全平方式？
【答案】
【详解】解：∵100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式，∴﹣k＝±2×10×7，
∴k＝±140，
即当k＝±140时，100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式．
【变式训练1】如果是一个完全平方公式，求k的值．
【答案】．
【详解】由题意得：，即，则
解得．
【变式训练2】若把代数式化成的形式，其中，为常数，则______．
【答案】
【详解】解：∵＝x2−2x＋1−3＝（x−1）2−3，∴m＝−1，k＝−3，
∴m＋k＝−4．故答案为：−4．
【变式训练3】（1）设，则__________．
A．           B．           C．           D．
（2）当________时，多项式有最小值___________．
【答案】（1）A；（2）2，14
【详解】解：（1）∵，
，∴，∴M>N，故选A．
（2）∵，，
∴当a=2时，有最小值为14，故答案为：2，14．
【变式训练4】若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．
（1）若28+210+2n是完全平方数，求n的值．
（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写所有符合的正整数．
【答案】（1）n＝4或n＝10；（2）所有符合的正整数是20、60或300．
【详解】（1）解：∵a2+b2+2ab＝（a+b）2，∴若28＝a2，210＝b2，
则a＝24，b＝25，2n＝2ab＝210，解得：n＝10
若28＝a2，210＝2ab，所以b＝25，
则2n＝b2＝210，解得：n＝10，
若210＝a2，28＝2ab，所以b＝22，则2n＝b2＝24，解得：n＝4，
所以n＝4或n＝10；
（2）解：设正整数为x，则x+61＝a2，x﹣11＝b2（a＞b，且a，b是正整数），
则a2﹣b2＝x+61﹣x+11＝72，故（a+b）（a﹣b）＝72，
由于a+b与a﹣b同奇偶，
故或或者，
当时,解得：，∴x＝b2+11＝60；
当时，解得：，∴x＝b2+11＝300；
当时，解得：，∴x＝b2+11＝20．所以所有符合的正整数是20、60或300．
类型四、完全平方公式与几何图形
例.乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．
方法1：________；
方法2：________；
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的数量关系：_______；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)（a+b）2；a2+2ab+b2 (2)（a+b）2＝a2+b2+2ab (3)①ab＝2；②-3
【解析】(1)方法1：大正方形的边长为（a+b），
∴S＝（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2．
方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和，
∴S＝a2+2ab+b2．
故答案为：a2+2ab+b2．
(2)由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，
即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．故答案为：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．
(3)①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，a2+b2＝21，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝25﹣21＝4，
∴ab＝2；
②令，∴，
由可得，
2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝4﹣10＝－6，∴＝xy＝-3.
【变式训练1】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y=5，xy=，则x-y= ；
（3）拓展应用：若（2021-m）2+（m-2020）2=7，求（2021-m）（m-2020）的值

【答案】（1）；（2）或；（3）
【详解】解：（1）由图知：
（2）∵，∴
∵，∴，∴或，故答案为：或
（3）∵
且，∴
【变式训练2】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．

(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a、b的代数式表示）；
(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是____________；
(3)利用（2）中的结论，若，，求的值____________；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．
(5)如图4，点是线段上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当时，的面积记为，当时，的面积记为，…，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
【答案】(1)；(2)；(3)16
(4)；(5)
【解析】(1)
(2)
(3)，时，，故答案为：16
(4)
(5)如图，连接，在正方形和正方形中


∴
∴
当时，；
当时，；
……
当时，；
∴

．
【变式训练3】如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：

（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：______，方法2：________；
（2）从中你发现什么结论呢？_________；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）①28；②．
【详解】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即，
方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即，
故答案为：，；
（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，，故答案为：；
（3）①，，
又，

；
②设，，则，，


，
答：的值为．
【变式训练4】阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．


（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab；（3）56；（4）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）画图见解析，16；（6）（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
【详解】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；
（2）图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形的面积为ab，
，故答案为：；
（3） 利用（2）的结论，可知，x＋y＝8，xy＝2，
（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；
（4）根据图④，大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，
内部9块的面积分别为：，
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
（5）（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，，
即需要3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张宽、长分别为a、b的长方形纸片，
画图如下：

∴x＋y＋z＝16；
（6）根据图⑥，大正方体的体积为（a＋b）3，
分割成8个“小块”的体积分别为：，
（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
故答案为：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．

【变式训练5】用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．

（1）由图1可得乘法公式________；
（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为________；
（3）利用（2）中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
（4）如图3，由两个边长分别为，的正方形拼在一起，点，，在同一直线上，连接，，若，，求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b2）=a2+2ab+b2；（2）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（3）65；（4）36
【详解】解：（1）图1正方形的面积可以表示为：a2+2ab+b2．
又可以表示为：（a+b）2．
∴（a+b2）=a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b2）=a2+2ab+b2．
（2）图2中正方形的面积可以表示为：（a+b+c）2．
还可以表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（3）由（2）知：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc
=169-2（ab+ac+bc）
=169-104
=65．
（4）



．