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第一次月考难点特训(二)与平面直角坐标系中的三角形全等有关的压轴题-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版)
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第一次月考难点特训(二)
与平面直角坐标系中的三角形全等有关的压轴题
1.如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在坐标轴上,A,B两点关于y轴对称,点C是y轴正半轴上一个动点,AD是角平分线.
(1)如图1,若∠ACB=90°,直接写出线段AB,CD,AC之间数量关系;
(2)如图2,若AB=AC+BD,求∠ACB的度数;
(3)如图2,若∠ACB=100°,求证:AB=AD+CD.
【解答】解:(1)如图1,过D作DM⊥AB于M,
∵A,B两点关于y轴对称,
∴CA=CB,
∵∠ACB=90°,AD是角平分线,
∴CD=MD,∠ABC=45°,
∴∠BDM=45°,
∴BM=DM,
∴BM=CD,
在RT△ADC和RT△ADM中,,
∴RT△ADC≌RT△ADM(HL),
∴AC=AM,
∴AB=AM+BM=AC+CD,
即AB=AC+CD;
(2)设∠ACB=α,则∠CAB=∠CBA=90°﹣α,
在AB上截取AK=AC,连接DK,
∵AB=AC+BD,
∴BK=BD,
∵AD是角平分线,
∴在△CAD和△KAD中,,
∴△CAD≌△KAD(SAS),
∴∠ACD=∠AKD=α,
∴∠BKD=180°﹣α,
∵BK=BD,
∴∠BDK=180°﹣α,
在△BDK中,
180°﹣α+180°﹣α+90°﹣α=180°,
∴α=108°,
∴∠ACB=108°;
(3)如图2,在AB上截取AH=AD,连接DH,
∵∠ACB=100°,AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=40°,
∵AD是角平分线,
∴∠HAD=∠CAD=20°,
∴∠ADH=∠AHD=80°,
在AB上截取AK=AC,连接DK,
由(1)得,△CAD≌△KAD,
∴∠ACB=∠AKD=100°,CD=DK,
∴∠DKH=80°=∠DHK,
∴DK=DH=CD,
∵∠CBA=40°,
∴∠BDH=40°,
∴DH=BH,
∴BH=CD,
∵AB=AH+BH,
∴AB=AD+CD.
2.如图,A(﹣t,0)、B(0,t),其中t>0,点C在OA上一点,OD⊥BC于点D,且∠BCO=45°+∠COD.
(1)求证:BC平分∠ABO;
(2)求的值;
(3)若点P为第三象限内一动点,且∠APO=135°,试问AP和BP是否存在某种确定的位置关系?说明你的理由.
【解答】(1)证明:如图1中,∵AO=BO=t,∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∵∠BCO=45°+∠COD=∠BAO+∠ABC,
∴∠COD=∠ABC,
∵OD⊥BC,
∴∠CDO=90°,
∵∠DOC+∠DCO=90°,∠CBO+∠BCO=90°,
∴∠DOC=∠CBO,
∴∠ABC=∠CBO.
(2)解:中图1中,作DE=DO,
∵∠ODE=90°,
∴∠DEO=45°=∠EBO+∠EOB,
∵∠ABC=∠CBO=∠ABO=22.5°,
∴∠EOB=∠EBO=22.5°,
∴EB=EO,
∵∠ECO=∠EOC=67.5°,
∴EC=EO,
∴BC=2EC=2(DE+DC)=2DO+2DC,
∴==2.
(3)结论:PB⊥AP,如图2,理由如下:
解:方法一:作OM⊥OP交PB于M,交AP的延长线于N,
∵∠APO=135°,
∴∠OPN=∠N=45°,
∴OP=ON,
∵∠AOB=∠PON=90°,
∴∠BOP=∠AON,
在△OBP和△OAN中,
,
∴△BOP≌△AON,
∴∠BPO=∠N=45°,
∵∠OPN=45°,
∴∠BPN=∠BPO+∠OPN=90°,
∴BP⊥AP.
证法二:∵∠APO=135°,∠ABO=45°,
∴∠APO+∠ABO=180°,
∴A、P、O、B四点共圆,
∴∠APB=∠AOB=90°,
即BP⊥AP.
3.如图1,在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点,且a,b满足(a﹣b)2+|a﹣4t|=0,且t>0,t是常数.直线BD平分∠OBA,交x轴于D点.
(1)若AB的中点为M,连接OM交BD于N,求证:ON=OD;
(2)如图2,过点A作AE⊥BD,垂足为E,猜想AE与BD间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图3,在x轴上有一个动点P(在A点的右侧),连接PB,并作等腰Rt△BPF,其中∠BPF=90°,连接FA并延长交y轴于G点,当P点在运动时,OG的长是否发生改变?若改变,请求出它的变化范围;若不变,求出它的长度.
【解答】(1)证明:∵直线AB分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点,且a,b满足(a﹣b)2+|a﹣4t|=0,且t>0,
∴a=b=4t,
当x=0时,y=4t,
当y=0时,﹣x+4t=0,
解得x=4t,
∴点A、B的坐标是A(4t,0),B(0,4t),
∴△AOB是等腰直角三角形,
∵点M是AB的中点,
∴OM⊥AB,
∴∠MOA=45°,
∵直线BD平分∠OBA,
∴∠ABD=∠ABO=22.5°,
∴∠OND=∠BNM=90°﹣∠ABD=90°﹣22.5°=67.5°,
∠ODB=∠ABD+∠BAD=22.5°+45°=67.5°,
∴∠OND=∠ODB,
∴ON=OD(等角对等边);
(2)答:BD=2AE.
理由如下:延长AE交BO于C,
∵BD平分∠OBA,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AE⊥BD于点E,
∴∠AEB=∠CEB=90°,
在△ABE≌△CBE中,,
∴△ABE≌△CBE(ASA),
∴AE=CE,
∴AC=2AE,
∵AE⊥BD,
∴∠OAC+∠ADE=90°,
又∠OBD+∠BDO=90°,∠ADE=∠BDO(对顶角相等),
∴∠OAC=∠OBD,
在△OAC与△OBD中,,
∴△OAC≌△OBD(ASA),
∴BD=AC,
∴BD=2AE;
(3)OG的长不变,且OG=4t.
过F作FH⊥OP,垂足为H,
∴∠FPH+∠PFH=90°,
∵∠BPF=90°,
∴∠BPO+∠FPH=90°,
∴∠FPH=∠BPO,
∵△BPF是等腰直角三角形,
∴BP=FP,
在△OBP与△HPF中,,
∴△OBP≌△HPF(AAS),
∴FH=OP,PH=OB=4t,
∵AH=PH+AP=OB+AP,OA=OB,
∴AH=OA+AP=OP,
∴FH=AH,
∴∠GAO=∠FAH=45°,
∴△AOG是等腰直角三角形,
∴OG=OA=4t.
4.已知,平面直角坐标系中,A在x轴正半轴,B(0,1),∠OAB=30°.
(1)如图1,已知AB=2.点C在y轴的正半轴上,当△ABC为等腰三角形时,直接写出点C的坐标为 (0,3) ;
(2)如图2,以AB为边作等边△ABE,AD⊥AB交OA的垂直平分线于D,求证:BD=OE;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接DE交AB于F,求的值.
【解答】(1)解:∵B(0,1),
∴OB=1,
∵AB=2,点C在y轴的正半轴上,△ABC为等腰三角形,
∴BC=AB=2,
∴OC=OB+BC=3,
∴点C的坐标为(0,3),
故答案为:(0,3);
(2)证明:连接OD,如图2所示:
∵△ABE是等边三角形,
∴AB=AE,∠BAE=60°,
∵∠OAB=30°,
∴∠OAE=30°+60°=90°,
∵AD⊥AB,
∴∠DAB=90°=∠OAE,∠OAD=90°﹣30°=60°,
∵MN是OA的垂直平分线,
∴OD=AD,
∴△OAD是等边三角形,
∴AO=AD,
在△ABD和△AEO中,,
∴△ABD≌△AEO(SAS),
∴BD=OE;
(3)解:作EH⊥AB于H,如图3所示:
∵△ABE是等边三角形,EH⊥AB,
∴AH=AB,
∵∠AOB=90°,∠OAB=30°,
∴OB=AB,
∴AH=OB,
在Rt△AEH和Rt△BAO中,,
∴Rt△AEH≌Rt△BAO(HL),
∴EH=AO=AD,
在△HFE和△AFD中,,
∴△HFE≌△AFD(AAS),
∴EF=DF,
∴DE=2DF,
∴=.
5.如图1,已知A(a,0),B(0,b)分别为两坐标轴上的点,且a、b满足(a﹣b)2+=0,OC:OA=1:3.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若D(1,0),过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点,设E、F两点的横坐标分别为xE、xF.当BD平分△BEF的面积时,求xE+xF的值;
(3)如图2,若M(2,4),点P是x轴上A点右侧一动点,AH⊥PM于点H,在HM上取点G,使HG=HA,连接CG,当点P在点A右侧运动时,∠CGM的度数是否改变?若不变,请求其值;若改变,请说明理由.
【解答】解:(1)∵(a﹣b)2+=0,
∴a﹣b=0,b﹣6=0,
∴a=b=6,
∴A(6,0),B(0,6),
∴OA=OB=6,
∵OC:OA=1:3.
∴OC=2,
∴C(﹣2,0);
(2)作EG⊥x轴于G,FH⊥x轴于H,如图1所示:
则∠FHD=∠EGD=90°,
∵BD平分△BEF的面积,
∴DF=DE,
在△FDH和△EDG中,,
∴△FDH≌△EDG(AAS),
∴DH=DG,即﹣xE+1=xF﹣1,
∴xE+xF=2;
(3)∠CGM的度数不改变,∠CGM=45°;理由如下:
如图2,连接MA、MC,过C作CT⊥PM于T,过M作MS⊥x轴于点S,
∵M(2,4),C(﹣2,0),A(6,0),
∴S(2,0),
∴MS垂直平分AC,
∴MC=MA,且MS=SC,
∴∠CMA=90°,
∴∠CMT+∠AMH=∠TCM+∠CMT=90°,
∴∠TCM=∠AMH,
在△CMT和△MAH中,,
∴△CMT≌△MAH(AAS),
∴TM=AH,CT=MH,
又AH=HG,
∴MT=GH,
∴GT=GM+MT=MG+GH=MH=CT,
∴△CGT是等腰直角三角形,
∴∠CGM=45°,
即当点P在点A右侧运动时,∠CGM的度数不改变,其值为45°.
6.如图1,已知A(a,0),B(0,b)分别为两坐标轴上的点,且a,b满足a2﹣24a+|b﹣12|=﹣144,且3OC=OA.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若D(2,0),过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点,且DF=DE,设E、F两点的横坐标分别为xE、xF,求xE+xF的值;
(3)如图2,若M(4,8),点P是x轴上A点右侧一动点,AH⊥PM于点H,在HM上取点G,使HG=HA,连接CG,当点P在点A右侧运动时,∠CGM的度数是否改变?若不变,请求其值;若改变,请说明理由.
【解答】解:(1)∵a2﹣24a+|b﹣12|=﹣144,
∴(a﹣12)2+|b﹣12|=0,
∴a﹣12=0,b﹣12=0,
∴a=b=12,
∴A(12,0),B(0,12),
∴OA=OB=12,
∵OC:OA=1:3.
∴OC=4,
∴C(﹣4,0);
(2)作EG⊥x轴于G,FH⊥x轴于H,如图1所示:
则∠FHD=∠EGD=90°,
∵DF=DE,
在△FDH和△EDG中,
,
∴△FDH≌△EDG(AAS),
∴DH=DG,即﹣xE+2=xF﹣2,
∴xE+xF=4;
(3)∠CGM的度数不改变,∠CGM=45°;
理由如下:作MQ⊥x轴于Q,连接CM、AG、M,如图2所示:
则MQ=8,OQ=4,
∴CQ=4+4=8,
∴MQ=QC=QA=8,
∴△MCQ是等腰直角三角形,
∴∠MCQ=45°,
同理:△MQA是等腰直角三角形,
∴∠MAQ=45°,
∵AH⊥PM,HG=HA,
∴△AHG是等腰直角三角形,
∴∠AGH=45°=∠MCQ,
∴A、G、M、C四点共圆,
∴∠CGM=∠MAQ=45°.
7.如图,平面直角坐标系xOy中,B(﹣6,0)、C(6,0),点A在y轴上,(AB>8),已点D为AB上一点,且BD=8,点P在线段BC上以2个单位/秒的速度由B点向C点运动,设运动时间为t,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
(1)用含t的式子表示点P的坐标为 (2t﹣6,0) ;
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=2时,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,请求出点Q的运动速度是多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
【解答】解:(1)∵B(﹣6,0)、C(﹣6,0),
∴OB=OC=6,
由题意得:BP=2t,则PO=OB﹣BP=6﹣2t,
∴点P的坐标为(2t﹣6,0);
故答案为:(2t﹣6,0);
(2)△BPD≌△CQP,理由如下:
当t=2时,BP=CQ=2×2=4,
∵BD=8.
又∵PC=BC﹣BP,BC=12,
∴PC=12﹣4=8,
∴PC=BD,
∵OB=OC,OA⊥BC,
∴AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△BPD和△CQP中,,
∴△BPD≌△CQP(SAS);
(3)∵vP≠vQ,
∴BP≠CQ,
又∵△BPD≌△CPQ,∠B=∠C,
∴BP=PC=6,CQ=BD=8,
∴点P,点Q运动的时间t==3,
∴VQ=,
即点Q的运动速度是时,能够使△BPD与△CQP全等.
8.在平面直角坐标系中,已知A(0,a)、B(b,0),且a、b满足:a2+b2﹣4a+4b+8=0.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)如图,若点D为x轴正半轴上一动点,∠ADO的平分线交y轴于点C,点F为线段OD上一动点,过点F作CD的平行线交y轴于点H,且∠AFH=45°,判断线段AH、FD、AD三者的数量关系,并予以证明;
(3)以AO为腰,A为顶角顶点作等腰△ADO,若∠DBA=30°,直接写出∠DAO的度数 30°或60°或150°.
【解答】解:(1)∵a2+b2﹣4a+4b+8=0,
∴(a﹣2)2+(b+2)2=0,
∵(a﹣2)2≥0,(b+2)2≥0,
∴a﹣2=0,b+2=0,
∴a=2,b=﹣2,
∴A(0,2),B(﹣2,0).
(2)结论:AH+FD=AD
理由:连接AK,在AD上取K使AH=AK,连接FK.
设∠HFO=α,
∴∠OAF=45﹣α,
∵HF∥CD,
∴∠CDO=∠ADC=α,
∴∠FAD=45﹣α,
∴△AHF≌△AKF,
∴∠AFK=45°,
∴∠KFD=90﹣α,∠FKD=90﹣α,
∴FD=DK,
∴AH+FD=AD.
(3)如图2中:①当D1在△ABO内部时,当BD1=OD1时,过点D1作D1M⊥OA于M,D1N⊥OB于N.则四边形D1MON是矩形,设OM=D1N=m.在BN上取一点J,连接JD1使得D1J=BJ.
∵∠ABO=45°,∠ABD=30°,
∴∠JBD1=∠JD1B=15°,
∴∠D1JN=∠JBD1+∠JD1B=30°,
∴BJ=JD1=2m,JN=m,
∵D1B=D1O,D1N⊥OB,
∴BN=ON=2m+m,
∴AM=3m+2a,MD1=ON=2m+m,OA=OB=4m+2m,
∴AD1===4m+2m,
∴AD1=AO,
此时∠D1BO=∠D1OB=15°,∠AOD1=∠AD1O=75°,
∴∠D1AO=30°.
②当D3在BD1的延长线上时,可得∠OAD3=60°,
③当D2在AB上方时,同法可得∠OAD2=60°,∠OAD4=150°
∴∠DAO=60°或30°或150°.
故答案为60°或30°或150°.
9.如图所示,直线AB交x轴于点A(a,0)交y轴于点B (0,b),且a、b满足=0,P为线段AB上的一点.
(1)如图1,若AB=6,当△OAP为AP=AO的等腰三角形时,求BP的长.
(2)如图2,若P为AB的中点,点M、N分别是OA、OB边上的动点,点M从顶点A、点N从顶点O同时出发,且它们的速度都为1cm/s,则在M、N运动的过程中,S四边形PNOM的值是否会发生改变?如发生改变,求出其面积的变化范围;若不改变,求该面积的值.
(3)如图3,若P为线段AB上异于A、B的任意一点,过B点作BD⊥OP,交OP、OA分别于F、D两点,E为OA上一点,且∠PEA=∠BDO,试判断线段OD与AE的数量关系,并说明理由.
【解答】解:(1)∵a、b满足=0,
∴b=6=a
∴点A(6,0),点B(0,6)
∴AO=BO=6
∵PA=AO=6
∵BP=AB﹣AP
∴BP=6﹣6
(2)如图:连接OP
∵OA=OB,∠AOB=90°,
∴△AOB是等腰直角三角形,∠BAO=45°
∵点是AB中点
∴OP=AP=BP,∠BOP=∠AOP=45°=∠BAO
∵点M、N分别是OA、OB边上的动点,点M从顶点A、点N从顶点O同时出发,且它们的速度都为1cm/s,
∴AM=ON,且ON=AM,∠BOP=∠BAO
∴△PNO≌△PMA(SAS)
∴S△OPN=S△APM
∵S四边形PNOM=S△POM+S△OPN=S△POM+S△APM
∴S四边形PNOM=S△AOP=S△AOB=××6×6=9
(3)相等
如图:过点A作AM⊥OA,延长OP交AM于点M
∵BD⊥OP,∠AOB=90°
∴∠DBO+∠BOF=90°,∠BOF+∠AOM=90°
∴∠DBO=∠AOM且AO=BO,∠BOD=∠MAO=90°
∴△BOD≌△OAM(ASA)
∴∠BDO=∠AMO,OD=AM
∵AM⊥OA,∠BAO=45°
∴∠BAM=∠BAO=45°
∵∠BDO=∠AEP,∠BDO=∠AMO
∴∠AEP=∠AMO,且∠BAM=∠BAO=45°,AP=AP
∴△APM≌△APE(AAS)
∴AM=AE,且AM=OD
∴AE=OD
10.如图,点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,点C(2,﹣2),CA、CB分别交坐标轴于D、E,CA⊥AB,且CA=AB.
(1)求点B的坐标;
(2)如图2,连接DE,求证:BD﹣AE=DE;
(3)如图3,若点F为(4,0),点P在第一象限内,连接PF,过P作PM⊥PF交y轴于点M,在PM上截取PN=PF,连接PO、BN,过P作∠OPG=45°交BN于点G,求证:点G是BN的中点.
【解答】解:(1)作CM⊥x轴于M,如图1,
∵C(2,﹣2),
∴CM=2,OM=2,
∵AB⊥AC,
∴∠BAC=∠AOB=∠CMA=90°,
∴∠BAO+∠CAM=90°,∠CAM+∠ACM=90°,
∴∠BAO=∠ACM,
在△BAO和△ACM中,
,
∴△BAO≌△ACM,
∴AO=CM=2,OB=AM=AO+OM=2+2=4,
∴B(0,4).
(2)证明:在BD上截取BF=AE,连AF,如图2,
∵△BAO≌△CAM,
∴∠ABF=∠CAE,
在△ABF和△ACE中,
,
∴△ABF≌△CAE(SAS),
∴AF=CE,∠ACE=∠BAF=45°,
∵∠BAC=90°,
∴∠FAD=45°=∠ECD,
由(1)可知OA=OM,OD∥CM,
∴AD=DC,(图1中),
在△AFD和△CED中,
,
∴△AFD≌△CED(SAS),
∴DE=DF,
∴BD﹣AE=DE;
(3)如图3,作EO⊥OP交PG的延长线于E,连接EB、EN、PB,
∵∠EOP=90°,∠EPO=45°,
∴∠OEP=∠EPO=45°,
∴EO=PO,
∵∠EOP=∠BOF=90°,
∴∠EOB=∠POF,
在△EOB和△POF中,
,
∴△EOB≌△POF,
∴EB=PF=PN,∠1=∠OFP,
∵∠2+∠PMO=180°,
∵∠MOF=∠MPF=90°,
∴∠OMP+∠OFP=180°,
∴∠2=∠OFP=∠1,
∴EB∥PN,
∵EB=PN,
∴四边形ENPB是平行四边形,
∴BG=GN,
即点G是BN中点.
11.已知在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,2),点P是第一象限内一动点.
(1)①:如图①.若动点P(a,b)满足|3a﹣9|+(3﹣b)2=0,且PA⊥PB,求点B的坐标.
②:如图②,在第(1)问的条件下,将∠APB逆时针旋转至如图∠CPD所示位置,求OD﹣OC的值.
(2)如图③,若点A与点A'关于x轴对称,且BM⊥PA′,若动点P满足∠APA′=2∠OBA',问:的值是否发生变化?若变化,请说明理由,若不变化,请求出其值.
【解答】解:(1)①如图①中,作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.
∵|3a﹣9|+(3﹣b)2=0,
又∵|3a﹣9|≥0,(3﹣b)2≥0,
∴3a﹣9=0,3﹣b=0,
∴a=b=3.
∴PE=PF=3,
∵∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°,
∴四边形PEOF是矩形,
∵PE=PF,
∴四边形PEOF是正方形,
∴∠EPF=∠APB=90°,PE=OF=3,
∴∠APE=∠BPF,
∵∠PEA=∠PFB=90°,
∴△PEA≌△PFB(ASA),
∴AE=FB,
∵A(0,2),
∴OA=3,
∴AE=BF=1,
∴OB=4,
∴B(4,0).
②如图②中,
由①可知∠PAC=∠PBD,PA=PB,
∵∠APB=∠CPD,
∴∠APC=∠BPD,
∴△APC≌△BPD(ASA),
∴AC=BD,
∴OD﹣OC=OB+BD﹣(AC﹣OA)=BO+OA=4+2=6.
(2)如图3中,作BE⊥AP交AP的延长线于E,AB交PA′于N.
∵OA=OA′,OB⊥AA′,
∴BA=BA′,
∴∠OBA=∠OBA′,
∵∠APA′=2∠OBA′,
∴∠APN=∠A′BN,
∠A′NB,
∴∠EAB=∠BA′M,
∵BM⊥PA′,BE⊥AE,
∴∠A′MB=∠E=90°,
∴△A′MB≌△AEB(AAS),
∴BE=BM,AE=A′M,
∵PB=PB,∠BMP=∠E=90°,
∴Rt△PBM≌Rt△PBE(HL),
∴PM=PE,
∴PA′﹣PA=PM+A′M﹣(AE﹣PE)=2PM,
∴=2.
12.如图1,等边△ABC,∠BAC的平分线交y轴于点D,C的坐标为(0,6).
(1)求D点的坐标;
(2)如图2,E为x轴上任一点,以CE为边在第一象限内作等边△CEF,FB的延长线交y轴于点G,求OG的长;
(3)如图3,在(2)的条件下,且∠CEO=30°,以CE为边在第一象限内作等边△CEF,EH⊥EC交OE的垂直平分线于H,连接FH交CE于P,求PF与PH的数量关系.
【解答】解:(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,CA=BC,
∵AD为∠BAC的平分线,OC⊥AB,
∴∠CAD=∠ACD=30°,
∴AD=CD,∠DAO=30°,
∴OD=AD,
∴3OD=6,OD=2,
∴D(0,2);
(2)∵△ABC与△CEF为等边三角形,
∴AC=AB,CE=CF,∠ACB=∠ECF=60°,
∴∠ACB+∠BCE=∠ECF+∠BCE,
∴∠ACE=∠BCF,
在△BCF与△ACE中,
,
∴△BCF≌△ACE(SAS),
∴∠CBF=∠CAE=60°,
∴∠OBG=180°﹣60°×2=60°,
在△ACO与△BGO中,
,
∴△ACO≌△BGO(ASA),
∴OG=OC=6;
(3)PF=PH,
证明:过点F作FD⊥CE于点D,连接OH,
∵∠CEO=30°,∠COE=90°,
∴∠OCE=60°,
∵△CEF为等边三角形,
∴∠FCD=60°,CF=CE,
又∵∠CDF=∠COE,
∴△CDF≌△COE(AAS),
∴DF=OE,
又∵点H在OE的垂直平分线上,
∴OH=EH,
∵EH⊥CE,
∴∠HEC=90°,
∴∠HEO=60°,
∴△OEH为等边三角形,
∴EH=OE,
∴DF=EH,
又∵∠DPF=∠EPH,∠FDP=∠PEH=90°,
∴△DFP≌△EHP(AAS),
∴PF=PH.