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    第一次月考难点特训(二)与平面直角坐标系中的三角形全等有关的压轴题-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版)

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    第一次月考难点特训(二)与平面直角坐标系中的三角形全等有关的压轴题-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版)

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    这是一份第一次月考难点特训(二)与平面直角坐标系中的三角形全等有关的压轴题-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版),文件包含八年级数学上册第一次月考难点特训二与平面直角坐标系中的三角形全等有关的压轴题原卷版docx、八年级数学上册第一次月考难点特训二与平面直角坐标系中的三角形全等有关的压轴题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共35页, 欢迎下载使用。


    
    第一次月考难点特训(二)
    与平面直角坐标系中的三角形全等有关的压轴题
    1.如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在坐标轴上,A,B两点关于y轴对称,点C是y轴正半轴上一个动点,AD是角平分线.
    (1)如图1,若∠ACB=90°,直接写出线段AB,CD,AC之间数量关系;
    (2)如图2,若AB=AC+BD,求∠ACB的度数;
    (3)如图2,若∠ACB=100°,求证:AB=AD+CD.

    【解答】解:(1)如图1,过D作DM⊥AB于M,
    ∵A,B两点关于y轴对称,
    ∴CA=CB,
    ∵∠ACB=90°,AD是角平分线,
    ∴CD=MD,∠ABC=45°,
    ∴∠BDM=45°,
    ∴BM=DM,
    ∴BM=CD,
    在RT△ADC和RT△ADM中,,
    ∴RT△ADC≌RT△ADM(HL),
    ∴AC=AM,
    ∴AB=AM+BM=AC+CD,
    即AB=AC+CD;
    (2)设∠ACB=α,则∠CAB=∠CBA=90°﹣α,
    在AB上截取AK=AC,连接DK,
    ∵AB=AC+BD,
    ∴BK=BD,
    ∵AD是角平分线,
    ∴在△CAD和△KAD中,,
    ∴△CAD≌△KAD(SAS),
    ∴∠ACD=∠AKD=α,
    ∴∠BKD=180°﹣α,
    ∵BK=BD,
    ∴∠BDK=180°﹣α,
    在△BDK中,
    180°﹣α+180°﹣α+90°﹣α=180°,
    ∴α=108°,
    ∴∠ACB=108°;
    (3)如图2,在AB上截取AH=AD,连接DH,
    ∵∠ACB=100°,AC=BC,
    ∴∠CAB=∠CBA=40°,
    ∵AD是角平分线,
    ∴∠HAD=∠CAD=20°,
    ∴∠ADH=∠AHD=80°,
    在AB上截取AK=AC,连接DK,
    由(1)得,△CAD≌△KAD,
    ∴∠ACB=∠AKD=100°,CD=DK,
    ∴∠DKH=80°=∠DHK,
    ∴DK=DH=CD,
    ∵∠CBA=40°,
    ∴∠BDH=40°,
    ∴DH=BH,
    ∴BH=CD,
    ∵AB=AH+BH,
    ∴AB=AD+CD.


    2.如图,A(﹣t,0)、B(0,t),其中t>0,点C在OA上一点,OD⊥BC于点D,且∠BCO=45°+∠COD.
    (1)求证:BC平分∠ABO;
    (2)求的值;
    (3)若点P为第三象限内一动点,且∠APO=135°,试问AP和BP是否存在某种确定的位置关系?说明你的理由.

    【解答】(1)证明:如图1中,∵AO=BO=t,∠AOB=90°,
    ∴∠OAB=∠OBA=45°,
    ∵∠BCO=45°+∠COD=∠BAO+∠ABC,
    ∴∠COD=∠ABC,
    ∵OD⊥BC,
    ∴∠CDO=90°,
    ∵∠DOC+∠DCO=90°,∠CBO+∠BCO=90°,
    ∴∠DOC=∠CBO,
    ∴∠ABC=∠CBO.
    (2)解:中图1中,作DE=DO,
    ∵∠ODE=90°,
    ∴∠DEO=45°=∠EBO+∠EOB,
    ∵∠ABC=∠CBO=∠ABO=22.5°,
    ∴∠EOB=∠EBO=22.5°,
    ∴EB=EO,
    ∵∠ECO=∠EOC=67.5°,
    ∴EC=EO,
    ∴BC=2EC=2(DE+DC)=2DO+2DC,
    ∴==2.
    (3)结论:PB⊥AP,如图2,理由如下:
    解:方法一:作OM⊥OP交PB于M,交AP的延长线于N,
    ∵∠APO=135°,
    ∴∠OPN=∠N=45°,
    ∴OP=ON,
    ∵∠AOB=∠PON=90°,
    ∴∠BOP=∠AON,
    在△OBP和△OAN中,

    ∴△BOP≌△AON,
    ∴∠BPO=∠N=45°,
    ∵∠OPN=45°,
    ∴∠BPN=∠BPO+∠OPN=90°,
    ∴BP⊥AP.
    证法二:∵∠APO=135°,∠ABO=45°,
    ∴∠APO+∠ABO=180°,
    ∴A、P、O、B四点共圆,
    ∴∠APB=∠AOB=90°,
    即BP⊥AP.


    3.如图1,在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点,且a,b满足(a﹣b)2+|a﹣4t|=0,且t>0,t是常数.直线BD平分∠OBA,交x轴于D点.
    (1)若AB的中点为M,连接OM交BD于N,求证:ON=OD;
    (2)如图2,过点A作AE⊥BD,垂足为E,猜想AE与BD间的数量关系,并证明你的猜想;
    (3)如图3,在x轴上有一个动点P(在A点的右侧),连接PB,并作等腰Rt△BPF,其中∠BPF=90°,连接FA并延长交y轴于G点,当P点在运动时,OG的长是否发生改变?若改变,请求出它的变化范围;若不变,求出它的长度.

    【解答】(1)证明:∵直线AB分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点,且a,b满足(a﹣b)2+|a﹣4t|=0,且t>0,
    ∴a=b=4t,
    当x=0时,y=4t,
    当y=0时,﹣x+4t=0,
    解得x=4t,
    ∴点A、B的坐标是A(4t,0),B(0,4t),
    ∴△AOB是等腰直角三角形,
    ∵点M是AB的中点,
    ∴OM⊥AB,
    ∴∠MOA=45°,
    ∵直线BD平分∠OBA,
    ∴∠ABD=∠ABO=22.5°,
    ∴∠OND=∠BNM=90°﹣∠ABD=90°﹣22.5°=67.5°,
    ∠ODB=∠ABD+∠BAD=22.5°+45°=67.5°,
    ∴∠OND=∠ODB,
    ∴ON=OD(等角对等边);
    (2)答:BD=2AE.
    理由如下:延长AE交BO于C,
    ∵BD平分∠OBA,
    ∴∠ABD=∠CBD,
    ∵AE⊥BD于点E,
    ∴∠AEB=∠CEB=90°,
    在△ABE≌△CBE中,,
    ∴△ABE≌△CBE(ASA),
    ∴AE=CE,
    ∴AC=2AE,
    ∵AE⊥BD,
    ∴∠OAC+∠ADE=90°,
    又∠OBD+∠BDO=90°,∠ADE=∠BDO(对顶角相等),
    ∴∠OAC=∠OBD,
    在△OAC与△OBD中,,
    ∴△OAC≌△OBD(ASA),
    ∴BD=AC,
    ∴BD=2AE;
    (3)OG的长不变,且OG=4t.
    过F作FH⊥OP,垂足为H,
    ∴∠FPH+∠PFH=90°,
    ∵∠BPF=90°,
    ∴∠BPO+∠FPH=90°,
    ∴∠FPH=∠BPO,
    ∵△BPF是等腰直角三角形,
    ∴BP=FP,
    在△OBP与△HPF中,,
    ∴△OBP≌△HPF(AAS),
    ∴FH=OP,PH=OB=4t,
    ∵AH=PH+AP=OB+AP,OA=OB,
    ∴AH=OA+AP=OP,
    ∴FH=AH,
    ∴∠GAO=∠FAH=45°,
    ∴△AOG是等腰直角三角形,
    ∴OG=OA=4t.

    4.已知,平面直角坐标系中,A在x轴正半轴,B(0,1),∠OAB=30°.
    (1)如图1,已知AB=2.点C在y轴的正半轴上,当△ABC为等腰三角形时,直接写出点C的坐标为 (0,3) ;
    (2)如图2,以AB为边作等边△ABE,AD⊥AB交OA的垂直平分线于D,求证:BD=OE;
    (3)如图3,在(2)的条件下,连接DE交AB于F,求的值.

    【解答】(1)解:∵B(0,1),
    ∴OB=1,
    ∵AB=2,点C在y轴的正半轴上,△ABC为等腰三角形,
    ∴BC=AB=2,
    ∴OC=OB+BC=3,
    ∴点C的坐标为(0,3),
    故答案为:(0,3);
    (2)证明:连接OD,如图2所示:

    ∵△ABE是等边三角形,
    ∴AB=AE,∠BAE=60°,
    ∵∠OAB=30°,
    ∴∠OAE=30°+60°=90°,
    ∵AD⊥AB,
    ∴∠DAB=90°=∠OAE,∠OAD=90°﹣30°=60°,
    ∵MN是OA的垂直平分线,
    ∴OD=AD,
    ∴△OAD是等边三角形,
    ∴AO=AD,
    在△ABD和△AEO中,,
    ∴△ABD≌△AEO(SAS),
    ∴BD=OE;
    (3)解:作EH⊥AB于H,如图3所示:
    ∵△ABE是等边三角形,EH⊥AB,
    ∴AH=AB,
    ∵∠AOB=90°,∠OAB=30°,
    ∴OB=AB,
    ∴AH=OB,
    在Rt△AEH和Rt△BAO中,,
    ∴Rt△AEH≌Rt△BAO(HL),
    ∴EH=AO=AD,
    在△HFE和△AFD中,,
    ∴△HFE≌△AFD(AAS),
    ∴EF=DF,
    ∴DE=2DF,
    ∴=.

    5.如图1,已知A(a,0),B(0,b)分别为两坐标轴上的点,且a、b满足(a﹣b)2+=0,OC:OA=1:3.
    (1)求A、B、C三点的坐标;
    (2)若D(1,0),过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点,设E、F两点的横坐标分别为xE、xF.当BD平分△BEF的面积时,求xE+xF的值;
    (3)如图2,若M(2,4),点P是x轴上A点右侧一动点,AH⊥PM于点H,在HM上取点G,使HG=HA,连接CG,当点P在点A右侧运动时,∠CGM的度数是否改变?若不变,请求其值;若改变,请说明理由.

    【解答】解:(1)∵(a﹣b)2+=0,
    ∴a﹣b=0,b﹣6=0,
    ∴a=b=6,
    ∴A(6,0),B(0,6),
    ∴OA=OB=6,
    ∵OC:OA=1:3.
    ∴OC=2,
    ∴C(﹣2,0);
    (2)作EG⊥x轴于G,FH⊥x轴于H,如图1所示:

    则∠FHD=∠EGD=90°,
    ∵BD平分△BEF的面积,
    ∴DF=DE,
    在△FDH和△EDG中,,
    ∴△FDH≌△EDG(AAS),
    ∴DH=DG,即﹣xE+1=xF﹣1,
    ∴xE+xF=2;
    (3)∠CGM的度数不改变,∠CGM=45°;理由如下:
    如图2,连接MA、MC,过C作CT⊥PM于T,过M作MS⊥x轴于点S,
    ∵M(2,4),C(﹣2,0),A(6,0),
    ∴S(2,0),
    ∴MS垂直平分AC,
    ∴MC=MA,且MS=SC,
    ∴∠CMA=90°,
    ∴∠CMT+∠AMH=∠TCM+∠CMT=90°,
    ∴∠TCM=∠AMH,
    在△CMT和△MAH中,,
    ∴△CMT≌△MAH(AAS),
    ∴TM=AH,CT=MH,
    又AH=HG,
    ∴MT=GH,
    ∴GT=GM+MT=MG+GH=MH=CT,
    ∴△CGT是等腰直角三角形,
    ∴∠CGM=45°,
    即当点P在点A右侧运动时,∠CGM的度数不改变,其值为45°.


    6.如图1,已知A(a,0),B(0,b)分别为两坐标轴上的点,且a,b满足a2﹣24a+|b﹣12|=﹣144,且3OC=OA.
    (1)求A、B、C三点的坐标;
    (2)若D(2,0),过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点,且DF=DE,设E、F两点的横坐标分别为xE、xF,求xE+xF的值;
    (3)如图2,若M(4,8),点P是x轴上A点右侧一动点,AH⊥PM于点H,在HM上取点G,使HG=HA,连接CG,当点P在点A右侧运动时,∠CGM的度数是否改变?若不变,请求其值;若改变,请说明理由.

    【解答】解:(1)∵a2﹣24a+|b﹣12|=﹣144,
    ∴(a﹣12)2+|b﹣12|=0,
    ∴a﹣12=0,b﹣12=0,
    ∴a=b=12,
    ∴A(12,0),B(0,12),
    ∴OA=OB=12,
    ∵OC:OA=1:3.
    ∴OC=4,
    ∴C(﹣4,0);

    (2)作EG⊥x轴于G,FH⊥x轴于H,如图1所示:
    则∠FHD=∠EGD=90°,
    ∵DF=DE,
    在△FDH和△EDG中,

    ∴△FDH≌△EDG(AAS),
    ∴DH=DG,即﹣xE+2=xF﹣2,
    ∴xE+xF=4;

    (3)∠CGM的度数不改变,∠CGM=45°;
    理由如下:作MQ⊥x轴于Q,连接CM、AG、M,如图2所示:
    则MQ=8,OQ=4,
    ∴CQ=4+4=8,
    ∴MQ=QC=QA=8,
    ∴△MCQ是等腰直角三角形,
    ∴∠MCQ=45°,
    同理:△MQA是等腰直角三角形,
    ∴∠MAQ=45°,
    ∵AH⊥PM,HG=HA,
    ∴△AHG是等腰直角三角形,
    ∴∠AGH=45°=∠MCQ,
    ∴A、G、M、C四点共圆,
    ∴∠CGM=∠MAQ=45°.


    7.如图,平面直角坐标系xOy中,B(﹣6,0)、C(6,0),点A在y轴上,(AB>8),已点D为AB上一点,且BD=8,点P在线段BC上以2个单位/秒的速度由B点向C点运动,设运动时间为t,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
    (1)用含t的式子表示点P的坐标为 (2t﹣6,0) ;
    (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=2时,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
    (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,请求出点Q的运动速度是多少时,能够使△BPD与△CQP全等?

    【解答】解:(1)∵B(﹣6,0)、C(﹣6,0),
    ∴OB=OC=6,
    由题意得:BP=2t,则PO=OB﹣BP=6﹣2t,
    ∴点P的坐标为(2t﹣6,0);
    故答案为:(2t﹣6,0);
    (2)△BPD≌△CQP,理由如下:
    当t=2时,BP=CQ=2×2=4,
    ∵BD=8.
    又∵PC=BC﹣BP,BC=12,
    ∴PC=12﹣4=8,
    ∴PC=BD,
    ∵OB=OC,OA⊥BC,
    ∴AB=AC,
    ∴∠B=∠C,
    在△BPD和△CQP中,,
    ∴△BPD≌△CQP(SAS);
    (3)∵vP≠vQ,
    ∴BP≠CQ,
    又∵△BPD≌△CPQ,∠B=∠C,
    ∴BP=PC=6,CQ=BD=8,
    ∴点P,点Q运动的时间t==3,
    ∴VQ=,
    即点Q的运动速度是时,能够使△BPD与△CQP全等.
    8.在平面直角坐标系中,已知A(0,a)、B(b,0),且a、b满足:a2+b2﹣4a+4b+8=0.
    (1)求A、B两点的坐标;
    (2)如图,若点D为x轴正半轴上一动点,∠ADO的平分线交y轴于点C,点F为线段OD上一动点,过点F作CD的平行线交y轴于点H,且∠AFH=45°,判断线段AH、FD、AD三者的数量关系,并予以证明;
    (3)以AO为腰,A为顶角顶点作等腰△ADO,若∠DBA=30°,直接写出∠DAO的度数  30°或60°或150°. 

    【解答】解:(1)∵a2+b2﹣4a+4b+8=0,
    ∴(a﹣2)2+(b+2)2=0,
    ∵(a﹣2)2≥0,(b+2)2≥0,
    ∴a﹣2=0,b+2=0,
    ∴a=2,b=﹣2,
    ∴A(0,2),B(﹣2,0).

    (2)结论:AH+FD=AD
    理由:连接AK,在AD上取K使AH=AK,连接FK.

    设∠HFO=α,
    ∴∠OAF=45﹣α,
    ∵HF∥CD,
    ∴∠CDO=∠ADC=α,
    ∴∠FAD=45﹣α,
    ∴△AHF≌△AKF,
    ∴∠AFK=45°,
    ∴∠KFD=90﹣α,∠FKD=90﹣α,
    ∴FD=DK,
    ∴AH+FD=AD.

    (3)如图2中:①当D1在△ABO内部时,当BD1=OD1时,过点D1作D1M⊥OA于M,D1N⊥OB于N.则四边形D1MON是矩形,设OM=D1N=m.在BN上取一点J,连接JD1使得D1J=BJ.


    ∵∠ABO=45°,∠ABD=30°,
    ∴∠JBD1=∠JD1B=15°,
    ∴∠D1JN=∠JBD1+∠JD1B=30°,
    ∴BJ=JD1=2m,JN=m,
    ∵D1B=D1O,D1N⊥OB,
    ∴BN=ON=2m+m,
    ∴AM=3m+2a,MD1=ON=2m+m,OA=OB=4m+2m,
    ∴AD1===4m+2m,
    ∴AD1=AO,
    此时∠D1BO=∠D1OB=15°,∠AOD1=∠AD1O=75°,
    ∴∠D1AO=30°.
    ②当D3在BD1的延长线上时,可得∠OAD3=60°,
    ③当D2在AB上方时,同法可得∠OAD2=60°,∠OAD4=150°
    ∴∠DAO=60°或30°或150°.
    故答案为60°或30°或150°.
    9.如图所示,直线AB交x轴于点A(a,0)交y轴于点B (0,b),且a、b满足=0,P为线段AB上的一点.
    (1)如图1,若AB=6,当△OAP为AP=AO的等腰三角形时,求BP的长.
    (2)如图2,若P为AB的中点,点M、N分别是OA、OB边上的动点,点M从顶点A、点N从顶点O同时出发,且它们的速度都为1cm/s,则在M、N运动的过程中,S四边形PNOM的值是否会发生改变?如发生改变,求出其面积的变化范围;若不改变,求该面积的值.
    (3)如图3,若P为线段AB上异于A、B的任意一点,过B点作BD⊥OP,交OP、OA分别于F、D两点,E为OA上一点,且∠PEA=∠BDO,试判断线段OD与AE的数量关系,并说明理由.

    【解答】解:(1)∵a、b满足=0,
    ∴b=6=a
    ∴点A(6,0),点B(0,6)
    ∴AO=BO=6
    ∵PA=AO=6
    ∵BP=AB﹣AP
    ∴BP=6﹣6
    (2)如图:连接OP

    ∵OA=OB,∠AOB=90°,
    ∴△AOB是等腰直角三角形,∠BAO=45°
    ∵点是AB中点
    ∴OP=AP=BP,∠BOP=∠AOP=45°=∠BAO
    ∵点M、N分别是OA、OB边上的动点,点M从顶点A、点N从顶点O同时出发,且它们的速度都为1cm/s,
    ∴AM=ON,且ON=AM,∠BOP=∠BAO
    ∴△PNO≌△PMA(SAS)
    ∴S△OPN=S△APM
    ∵S四边形PNOM=S△POM+S△OPN=S△POM+S△APM
    ∴S四边形PNOM=S△AOP=S△AOB=××6×6=9
    (3)相等
    如图:过点A作AM⊥OA,延长OP交AM于点M

    ∵BD⊥OP,∠AOB=90°
    ∴∠DBO+∠BOF=90°,∠BOF+∠AOM=90°
    ∴∠DBO=∠AOM且AO=BO,∠BOD=∠MAO=90°
    ∴△BOD≌△OAM(ASA)
    ∴∠BDO=∠AMO,OD=AM
    ∵AM⊥OA,∠BAO=45°
    ∴∠BAM=∠BAO=45°
    ∵∠BDO=∠AEP,∠BDO=∠AMO
    ∴∠AEP=∠AMO,且∠BAM=∠BAO=45°,AP=AP
    ∴△APM≌△APE(AAS)
    ∴AM=AE,且AM=OD
    ∴AE=OD
    10.如图,点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,点C(2,﹣2),CA、CB分别交坐标轴于D、E,CA⊥AB,且CA=AB.
    (1)求点B的坐标;
    (2)如图2,连接DE,求证:BD﹣AE=DE;
    (3)如图3,若点F为(4,0),点P在第一象限内,连接PF,过P作PM⊥PF交y轴于点M,在PM上截取PN=PF,连接PO、BN,过P作∠OPG=45°交BN于点G,求证:点G是BN的中点.

    【解答】解:(1)作CM⊥x轴于M,如图1,
    ∵C(2,﹣2),
    ∴CM=2,OM=2,
    ∵AB⊥AC,
    ∴∠BAC=∠AOB=∠CMA=90°,
    ∴∠BAO+∠CAM=90°,∠CAM+∠ACM=90°,
    ∴∠BAO=∠ACM,
    在△BAO和△ACM中,

    ∴△BAO≌△ACM,
    ∴AO=CM=2,OB=AM=AO+OM=2+2=4,
    ∴B(0,4).

    (2)证明:在BD上截取BF=AE,连AF,如图2,

    ∵△BAO≌△CAM,
    ∴∠ABF=∠CAE,
    在△ABF和△ACE中,

    ∴△ABF≌△CAE(SAS),
    ∴AF=CE,∠ACE=∠BAF=45°,
    ∵∠BAC=90°,
    ∴∠FAD=45°=∠ECD,
    由(1)可知OA=OM,OD∥CM,
    ∴AD=DC,(图1中),
    在△AFD和△CED中,

    ∴△AFD≌△CED(SAS),
    ∴DE=DF,
    ∴BD﹣AE=DE;
    (3)如图3,作EO⊥OP交PG的延长线于E,连接EB、EN、PB,
    ∵∠EOP=90°,∠EPO=45°,
    ∴∠OEP=∠EPO=45°,
    ∴EO=PO,
    ∵∠EOP=∠BOF=90°,
    ∴∠EOB=∠POF,
    在△EOB和△POF中,

    ∴△EOB≌△POF,
    ∴EB=PF=PN,∠1=∠OFP,
    ∵∠2+∠PMO=180°,
    ∵∠MOF=∠MPF=90°,
    ∴∠OMP+∠OFP=180°,
    ∴∠2=∠OFP=∠1,
    ∴EB∥PN,
    ∵EB=PN,
    ∴四边形ENPB是平行四边形,
    ∴BG=GN,
    即点G是BN中点.

    11.已知在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,2),点P是第一象限内一动点.
    (1)①:如图①.若动点P(a,b)满足|3a﹣9|+(3﹣b)2=0,且PA⊥PB,求点B的坐标.
    ②:如图②,在第(1)问的条件下,将∠APB逆时针旋转至如图∠CPD所示位置,求OD﹣OC的值.
    (2)如图③,若点A与点A'关于x轴对称,且BM⊥PA′,若动点P满足∠APA′=2∠OBA',问:的值是否发生变化?若变化,请说明理由,若不变化,请求出其值.

    【解答】解:(1)①如图①中,作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.

    ∵|3a﹣9|+(3﹣b)2=0,
    又∵|3a﹣9|≥0,(3﹣b)2≥0,
    ∴3a﹣9=0,3﹣b=0,
    ∴a=b=3.
    ∴PE=PF=3,
    ∵∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°,
    ∴四边形PEOF是矩形,
    ∵PE=PF,
    ∴四边形PEOF是正方形,
    ∴∠EPF=∠APB=90°,PE=OF=3,
    ∴∠APE=∠BPF,
    ∵∠PEA=∠PFB=90°,
    ∴△PEA≌△PFB(ASA),
    ∴AE=FB,
    ∵A(0,2),
    ∴OA=3,
    ∴AE=BF=1,
    ∴OB=4,
    ∴B(4,0).

    ②如图②中,

    由①可知∠PAC=∠PBD,PA=PB,
    ∵∠APB=∠CPD,
    ∴∠APC=∠BPD,
    ∴△APC≌△BPD(ASA),
    ∴AC=BD,
    ∴OD﹣OC=OB+BD﹣(AC﹣OA)=BO+OA=4+2=6.

    (2)如图3中,作BE⊥AP交AP的延长线于E,AB交PA′于N.

    ∵OA=OA′,OB⊥AA′,
    ∴BA=BA′,
    ∴∠OBA=∠OBA′,
    ∵∠APA′=2∠OBA′,
    ∴∠APN=∠A′BN,
    ∠A′NB,
    ∴∠EAB=∠BA′M,
    ∵BM⊥PA′,BE⊥AE,
    ∴∠A′MB=∠E=90°,
    ∴△A′MB≌△AEB(AAS),
    ∴BE=BM,AE=A′M,
    ∵PB=PB,∠BMP=∠E=90°,
    ∴Rt△PBM≌Rt△PBE(HL),
    ∴PM=PE,
    ∴PA′﹣PA=PM+A′M﹣(AE﹣PE)=2PM,
    ∴=2.
    12.如图1,等边△ABC,∠BAC的平分线交y轴于点D,C的坐标为(0,6).
    (1)求D点的坐标;
    (2)如图2,E为x轴上任一点,以CE为边在第一象限内作等边△CEF,FB的延长线交y轴于点G,求OG的长;
    (3)如图3,在(2)的条件下,且∠CEO=30°,以CE为边在第一象限内作等边△CEF,EH⊥EC交OE的垂直平分线于H,连接FH交CE于P,求PF与PH的数量关系.

    【解答】解:(1)∵△ABC为等边三角形,
    ∴∠BAC=∠ACB=60°,CA=BC,
    ∵AD为∠BAC的平分线,OC⊥AB,
    ∴∠CAD=∠ACD=30°,
    ∴AD=CD,∠DAO=30°,
    ∴OD=AD,
    ∴3OD=6,OD=2,
    ∴D(0,2);

    (2)∵△ABC与△CEF为等边三角形,
    ∴AC=AB,CE=CF,∠ACB=∠ECF=60°,
    ∴∠ACB+∠BCE=∠ECF+∠BCE,
    ∴∠ACE=∠BCF,
    在△BCF与△ACE中,

    ∴△BCF≌△ACE(SAS),
    ∴∠CBF=∠CAE=60°,
    ∴∠OBG=180°﹣60°×2=60°,
    在△ACO与△BGO中,

    ∴△ACO≌△BGO(ASA),
    ∴OG=OC=6;

    (3)PF=PH,
    证明:过点F作FD⊥CE于点D,连接OH,

    ∵∠CEO=30°,∠COE=90°,
    ∴∠OCE=60°,
    ∵△CEF为等边三角形,
    ∴∠FCD=60°,CF=CE,
    又∵∠CDF=∠COE,
    ∴△CDF≌△COE(AAS),
    ∴DF=OE,
    又∵点H在OE的垂直平分线上,
    ∴OH=EH,
    ∵EH⊥CE,
    ∴∠HEC=90°,
    ∴∠HEO=60°,
    ∴△OEH为等边三角形,
    ∴EH=OE,
    ∴DF=EH,
    又∵∠DPF=∠EPH,∠FDP=∠PEH=90°,
    ∴△DFP≌△EHP(AAS),
    ∴PF=PH.


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