专题07 与三角形角度有关的新定义问题-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）

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专题07 与三角形角度有关的新定义问题
1．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“标准三角形”，其中α为“标准角”，如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°，那么这个“标准三角形”的最小内角度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．
【详解】
解：由题意得：α＝2β，α＝100°，则β＝50°，
180°﹣100°﹣50°＝30°，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形内角和，拓展了新的定义，按照新定义获取有用信息是解题关键.
2．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为（　　）
A．108°或27° B．108°或54°
C．27°或54°或108° D．54°或84°或108°
【答案】D
【解析】
【分析】
分类讨论，①，②，③既不是也不是，根据“友好三角形”的定义及三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】
①，则这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为，
②，则，
，
③既不是也不是，
则，
，
解得，
综上所述：这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为或或．
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．
3．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是_____．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据新定义分三种情况：①当99°的内角是另一个角的两倍时，直接可得α的度数；②当一个内角α是的两倍时，不符合三角形的内角和关系，舍去；③当三角形中另两个角是“倍角”关系时，列方程得到，求解即可．
【详解】
解：分三种情况：
①当99°的内角是另一个角的两倍时，倍角α的度数是；
②当一个内角α是的两倍时，则，不符合三角形的内角和关系，故舍去；
③当三角形中另两个角是“倍角”关系时，得到，得α=，
故答案为：或．
【点睛】
此题考查了三角形的内角和定理，新定义计算，一元一次方程，正确理解新定义并列式计算是解题的关键．
4．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．
【答案】15
【解析】
【分析】
根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．
【详解】
解：由题意得：α=2β，α=110°，则β=55°，
180°-110°-55°=15°，
故答案为：15°．
【点睛】
此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．
5．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“实验三角形”.如果一个“实验三角形”有一个角为108°，那么这个“实验三角形”的其它两个内角的度数分别为_______.
【答案】36°、36°或18°、54°
【解析】
【分析】
根据“实验三角形”的定义，分108°的角是另一个角的3倍和另两个角中一个角是另一个角的3倍两种情况，根据三角形内角和定理分别求出另两个角的度数即可.
【详解】
①当108°的角是另一个角的3倍时，
108÷3=36°，
180°-108°-36°=36°，
②当另两个角中一个角是另一个角的3倍时，
180°-108°=72°，
72°÷（3+1）=18°，
18°×3=54°，
综上所述：其它两个内角的度数分别为36°、36°或18°、54°.
故答案为：36°、36°或18°、54°
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，理解“实验三角形”的定义并掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键．
6．设三角形三内角的度数分别为，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数对是的和谐数对，当时，对应的和谐数对有一个，它为；当时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对有三个时，请写出此时的范围_______．
【答案】     （38，76），（33，81）    
【解析】
【分析】
根据“和谐数对”的定义求出当x=66时的两组数对；再分当时，当时，当时，三种情况讨论，从而得出结论．
【详解】
解：当时，
180-66=114，
则114÷3=38，38×2=76，此时和谐数对为（38，76），
或66÷2=33，114-33=81，此时和谐数对为（33，81），
若对应的和谐数对有三个，
当时，它的和谐数对有，，，；
当时，它的和谐数对有，，，
当时，它的和谐数对有，，
对应的和谐数对有三个时，此时的范围是，
故答案为：（38，76），（33，81）；．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．
7．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”，如果一个“梦想三角形”有一个角为132°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_____________________.
【答案】4°或12°
【解析】
【分析】
根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为132°，可得另两个角的和为48°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°-132°-132÷3°=4°，48°÷（1+3）=12°，由此比较得出答案即可．
【详解】
当132°的角是另一个内角的3倍时，最小角为180°-132°-132÷3°=4°，
当180°-132°=48°的角是另一个内角的3倍时，最小角为48°÷（1+3）=12°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为4°或12°．
故答案是：4°或12°．
【点睛】
考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键．
8．当三角形的一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“特异三角形”，其中称为“特异角”．若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异角”的度数为_______．
【答案】30°或22.5°
【解析】
【分析】
结合题意，若一个“特异三角形”为直角三角形，根据三角形的性质，分两种情况分析；再通过求解二元一次方程方程组，即可完成求解．
【详解】
结合题意，若一个“特异三角形”为直角三角形
则：有两种情况，第一种是，第二种是直角为
假设时，得

∴
假设直角为时，得

∴
故答案为：30°或22.5°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和、直角三角形、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、直角三角形、二元一次方程组的性质，从而完成求解．
9．当三角形中一个内角是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为15°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为____．
【答案】135°##135度
【解析】
【分析】
根据 “半角三角形”的定义及已知条件求得β的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可．
【详解】
解：∵α=15°，
∴β=2α=30°，
∴最大内角的度数=180°-30°-15°=135°．
故答案为：135°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解决问题的关键．
10．当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为________．
【答案】54°或84°或108°
【解析】
【分析】
分54°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】
解：①54°角是α，则希望角度数为54°；
②54°角是β，则α=β=54°,
所以，希望角α=108°；
③54°角既不是α也不是β，
则α+β+54°=180°，
所以，α+α+54°=180°，
解得α=84°，
综上所述，希望角度数为54°或84°或108°．
故答案为54°或84°或108°．
【点睛】
本题考查了希望角的定义以及三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键．
11．如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．若是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=20°，则∠B=_______．
【答案】35°或50°
【解析】
【分析】
根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题．
【详解】
解：∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，
∴2∠B＋∠A＝90°或2∠A＋∠B＝90°，
解得，∠B＝35°或50，
故答案为：35°或50°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
三、解答题
12．定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”.

（1）判断（对的打“√”，错的打“×”）
①等边三角形存在“和谐分割线”（　 　）
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”（　 　）
（2）如图2，Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，请用尺规画出“和谐分割线”，并计算“和谐分割线”的长度．
【答案】（1）①×，②√；（2）和谐分割线”的长度为4．
【解析】
【分析】
（1）根据“和谐分割线”的定义即可判断；
（2）如图作∠CAB的平分线，只要证明线段AD是“和谐分割线”即可,并根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半和CD+BD=BC=6，求出CD的长度即可.
【详解】
（1）①因为过等边三角形任意一顶点，分割的两个三角形都有一个角小于60°，即不可能是等边三角形，故等边三角形不存在“和谐分割线”，不正确，是假命题；
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，
则这个三角形必存在“和谐分割线”，理由如下：
如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的平分线交AC于D.
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC=,
∵∠ABC=2∠C
∴∠ABD=∠DBC=∠C，
∴BD=DC，△BDC为等腰三角形
∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C=∠ABC.
故BD为△ABC的和谐分割线.

正确，是真命题，
故答案为×，√；
（2）如图2，作∠CAB的平分线AD，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴DA＝DB，
∴△ADB是等腰三角形，且∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC
∴线段AD是△ABC的“和谐分割线”，
设CD＝x，则BD＝6﹣x，
∵ ，
∴x＝2，
即AD＝BD＝6﹣2＝4；
即和谐分割线”的长度为4．

【点睛】
本题考查直角三角形30°角所对边是斜边一半，等腰三角形的判定.理解“和谐分割线”的定义，会根据定义判断一个三角形是否存在“和谐分割线”是解决此题的关键.
13．如果三角形满足一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.如图1，在中，，，，∵，∴是智慧三角形.

（1）如图2，，，证明是智慧三角形；
（2）已知是智慧三角形，其中且，求和.
【答案】（1）证明见解析；（2）和的度数为，或，．
【解析】
【分析】
（1）根据平角的定义即可分别求出∠ABC和∠ACB，利用三角形的内角和定理即可求出∠A，从而证出结论；
（2）根据“智慧三角形”的定义分类讨论，分别利用三角形的内角和定理即可求出结论．
【详解】
解：（1）∵，，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是智慧三角形．
（2）∵是智慧三角形，，
∴或或，
①当时，
∵，
∴，
∵，
∴．
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴．
③当时，，
∵，
∴，
∴不存在．
综上，和的度数为，或，．
【点睛】
此题考查的是新定义类问题和三角形的内角和，掌握“智慧三角形”的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
14．如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，这条直线称为该“活三角形”的“生命线”．
（1）小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，若∠BAC = 3∠C时，这个△ABC一定是“活三角形”．点D在BC边上一点，联结AD，他猜测：当∠DAC = ∠C时，AD就是这个三角形的“生命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由．

（2）如小明研究结果可以总结为：有一个内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”．
请通过自己操作研究，并根据上诉结论，总结“活三角形”的其他特征．
（注意从三角形边、角特征及相互间关系总结）
，该三角形是一个“活三角形”．
，该三角形是一个“活三角形”．
（3）如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为： 度．（直接写出结果即可）
【答案】（1）详见解析；（2）有一个内角是另一个内角2倍时；有一个内角为直角时；（3）90°，108°，36°，
【解析】
【分析】
（1）证明△ADC和△ABD为等腰三角形即可；
（2）作∠CAD=∠C，则∠ADB=2∠C，当∠ABD=2∠C时，∠ABD=∠ADB，则△ABC为“活三角形”；由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易证直角三角形为“活三角形”；
（3）分四种情况讨论，根据三角形内角和为180°建立方程，解方程求出顶角即可．
【详解】
解：（1）∵∠DAC =∠C，
∴∠ADB=2∠C，△ADC为等腰三角形，
又∵∠BAC=3∠C，
∴∠BAD=2∠C=∠ADB，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AD是△ABC的“生命线”；
（2）∠ADB=2∠C，当∠ABD=2∠C时，∠ABD=∠ADB，则△ABC为“活三角形”，
即：有一个内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“活三角形”；
当∠BAC=90°，AD为斜边BC的中线，则△ABC为“活三角形”，
即：有一个内角为直角时，该三角形是一个“活三角形”，
故答案为：有一个内角是另一个内角的2倍时；有一个内角为直角时
（3）①由（2）可知，直角三角形为“活三角形”，故等腰直角三角形也为“活三角形”，即顶角为90°；
②如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，

则有，
解得：，
顶角∠BAC=108°；
③如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，

则有，。，
解得：，
顶角∠BAC=36°；
④如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，

则，
解得：，
即顶角∠BAC=，
综上：顶角为90°，108°，36°，．
【点睛】
此题为几何图形新定义问题，主要考查等腰三角形的证明，一元一次方程在几何图形中的应用，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，读懂题目的新定义是解题关键．
15．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”．

（1）如图1，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”；
（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：
①在中，若，，，则是“准互余三角形”；
②若是“准互余三角形”，，，则；
③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
其中正确的结论是___________（填写所有正确说法的序号）；
（3）如图2，，为直线上两点，点在直线外，且．若是直线上一点，且是“准互余三角形”，请直接写出的度数．
【答案】（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB的度数是10°或20°或40°或110°
【解析】
【分析】
（1）由和是的角平分线，证明即可；
（2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角形”的定义，分类讨论：①2∠A+∠ABC=90°；②∠A+2∠APB=90°；③2∠APB+∠ABC=90°；④2∠A+∠APB=90°，由三角形内角和定理和外角的性质结合“准互余三角形”的定义，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵在中，，
∴，
∵BD是的角平分线，
∴，
∴，
∴是“准互余三角形”；
（2）①∵，
∴，
∴是“准互余三角形”，
故①正确；
②∵， ，
∴，
∴不是“准互余三角形”，
故②错误；
③设三角形的三个内角分别为，且，
∵三角形是“准互余三角形”，
∴或，
∴，
∴，
∴“准互余三角形”一定是钝角三角形，
故③正确；
综上所述，①③正确，
故答案为：①③；
（3）∠APB的度数是10°或20°或40°或110°；
如图①，

当2∠A+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠A=20°，
∴∠APB=110°；
如图②，当∠A+2∠APB=90°时，△ABP是“准直角三角形”，

∵∠ABC=50°，
∴∠A+∠APB=50°，
∴∠APB=40°；
如图③，当2∠APB+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，

∵∠ABC=50°，
∴∠APB=20°；
如图④，当2∠A+∠APB=90°时，△ABP是“准直角三角形”，

∵∠ABC=50°，
∴∠A+∠APB=50°，
所以∠A=40°，
所以∠APB=10°；
综上，∠APB的度数是10°或20°或40°或110°时，是“准互余三角形”．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题关键是理解题意，根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质，结合新定义进行求解．
16．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”
（1）如图，在中，是的角平分线，求证：是“奇妙互余角三角形”


（2）关于“奇妙互余三角形”，有下列命题：
①在中，若，则是“奇妙互余三角形”；
②若是“奇妙互余三角形”，，则；
③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形．
其中，真命题有______（填写序号）
（3）在中，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”请直接写出的度数．
【答案】（1）见解析；（2）①③；（3）109°或14°或38°
【解析】
【分析】
（1）只要证明2∠ABD+∠A=90°，即可判断．
（2）根据“奇妙互余三角形”的定义即可判断．
（3）根据“奇妙互余三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．
【详解】
解：（1）证明：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD，
∴2∠ABD+∠A=90°，
∴△ABD是“奇妙互余三角形”．
（2）①∵∠B=40°，∠C=10°，
∴∠B+2∠C=90°，
∴△ABC是“奇妙互余三角形”，故①正确；
②∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，
∴α与β只能是∠A和∠B，
∵2α+β=90°，∠A=60°，
∴2×60°+β=90°，解得：β=-30°，不合题意；
或2α+60°=90°，解得：α=15°，即∠B=15°，故②错误；
③∵三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”，
∴α+β＜90°，
∴三角形的第三个角大于90°，
∴“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形，故③正确；
故答案为①③；
（3）如图，当点P在线段BC上时，此时∠AP1B＞90°，
∵△ABP1为“奇妙互余三角形”，
∴2∠P1AB+∠ABP1=90°或∠P1AB+2∠ABP1=90°，
即2∠P1AB+52°=90°或∠P1AB+2×52°=90°，
∴∠P1AB=19°或-14°（舍），
∴∠AP1B=180°-52°-19°=109°；
当点P在BC的延长线上时，此时∠AP2B＜90°，∠BAP2+∠AP2B=∠ABC=52°，
∴2∠BAP2+∠AP2B=90°或∠BAP2+2∠AP2B=90°，
解得：∠AP2B=14°或38°，
综上：∠APB的度数为109°或14°或38°．


【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，“奇妙互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：；

（2）【性质应用】
如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数；
（3）【拓展提高】
如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）．

【答案】（1）见详解；（2）100°；（3）∠P=45°-
【解析】
【分析】
（1）由“对顶三角形”的性质得，从而得，进而即可得到结论；
（2）设=x， =y，则=x+20°，=y-20°，可得∠ABC+∠DCB=y-20°，根据三角形内角和定理，列出方程，即可求解；
（3）设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，可得x+y=90°-，结合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵在“对顶三角形”与中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴；
（2）∵比大20°，+=+，
∴设=x， =y，则=x+20°，=y-20°，
∵，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-=x+y，
∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-= x+y- x-20°=y-20°，
∵∠ABC+∠DCB+=180°，
∴y-20°+y=180°，解得：y=100°，
∴=100°；
（3）∵，是的角平分线，
∴设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，
∴2x+2y+=180°，即：x+y=90°-，
∵和的平分线和相交于点P，
∴∠CEP=(180°-2y-x)，∠CDP=(180°-2x-y)，
∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，
∴∠P=(180°-2y-x)+y-(180°-2x-y)= x+y=45°-，
即：∠P=45°-．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握“对顶三角形”的性质，是解题的关键．