人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质达标测试

专题09 角的多个等分线求角

类型一  角的多个等分线求角

1．已知，在中，∠A=60°，

（1）如图①，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC=      ；

（2）如图②，∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，则；

（3）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，……，（内部有个点），则      ；

（4）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，……，，若，求n的值．

2．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（　　）

A．120° B．60° C．140° D．无法确定

3．如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（       ）

A． B． C． D．

4．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，以此类推，∠ABD2与∠ACD2的平分线交于点D，则∠BDC的度数是__．

5．如图，，且和，则（       ）

A． B．

C． D．不能确定，具体由三角形的形状确定

类型二   多个等分线求角进阶

6．如图，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A＝72°，则∠BOC＝______°．

7．如图，在四边形中，，，，则的度数为（       ）

A． B．

C． D．

8．如图，∠MON=90°，在△ABO中，∠ABC=∠ABN，∠BAD=∠BAO，则∠D=___°（用含n的代数式表示）．

9．如图，已知△ABC中，∠A=60°，点O为△ABC内一点，且∠BOC=140°，其中O1B平分∠ABO，O1C平分∠ACO，O2B平分∠ABO1，O2C平分∠ACO1，…，OnB平分∠ABOn-1，OnC平分∠ACOn-1，…，以此类推，则∠BO1C =______ °，∠BO2021C=______°．

10．如图①，在中，若，则，叫做的三分线，其中，是邻的三分线，是邻的三分线．

（1）如图②，在中，，，的三分线交于点，求的度数；

（2）如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，且，垂足为，求的度数．

11．（1）如图①在ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=       （用α表示）；如图②∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，则∠BOC=        （用α表示）

扩展探究：

（2）如图③，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用α表示），并说明理由．

类型三  综合解答

12．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．

【问题解决】

（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；

（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；

【延伸推广】

（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）

13．（1）如图①，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；

（2）如图②，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角∠ACM，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；

（3）如图③，在锐角△ABC中，BD和BE三等分外角∠PBC，CD和CE三等分外角∠QCB，请分别直接写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系．

14．（1）如图1，已知，平分外角，平分外角．直接写出和的数量关系，不必证明；

（2）如图2，已知，和三等分外角，和三等分外角．试确定和的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据）

（3）如图3，已知，、和四等分外角，、和四等分外角．试确定和的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据）

（4）如图4，已知，将外角进行分，是临近边的等分线，将外角进行等分，是临近边的等分线，请直接写出和的数量关系，不必证明．