专题复习 一次函数章末重难点题型-《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练（苏科版）


《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》
专题复习 一次函数章末重难点题型
【题型目录】
考点一 函数的概念
考点二 函数自变量的取值范围
考点三 一次函数的概念
考点四 求一次函数的自变量或函数值
考点五 根据一次函数的解析式判断其象限
考点六 一次函数与坐标轴的交点问题
考点七 一次函数图象的平移问题
考点八 一次函数的增减性
考点九 求一次函数的解析式
考点十 用一次函数解决问题
考点十一 一次函数规律性问题探究
考点十二 一次函数的几何综合类问题

一次函数重难点题型配套训练

【考点一 函数的概念】
【例题1】已知某汽车耗油量为0.1L/km，油箱中现有汽油50L．如果不再加油，记此后汽车行驶的路程为xkm，油箱中的油量为yL．则此问题中的常量和变量是（    ）
A．常量50；变量x． B．常量0.1；变量y．
C．常量0.1，50；变量x，y． D．常量x，y；变量0.1，50．
【答案】C
【分析】求出油箱中的油量为yL与汽车行驶的路程为xkm之间的函数关系式，进而得出常量变量即可．
【详解】解：由题意得，
y=50-0.1x，其中常量有0.1，50；变量为x、y；
故选：C．
【点睛】本题考查常量与变量，理解常量、变量的定义，求出油箱中的油量为yL与汽车行驶的路程为xkm之间的函数关系式是正确解答的前提．

【变式1-1】如下平面直角坐标系中的曲线或折线中，能表示是的函数的是（    ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】函数是对于x的任意取值，y都有唯一确定的值和其对应，结合选项所给图形即可作出判断．
【详解】解：由图象可知，选项A、B、C的图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，
选项D图象满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，
所以选项D中的曲线表示y是x的函数，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的定义，理解函数的定义，结合数形结合解题是关键．

【变式1-2】科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下：

100
200
220
400

2.2
1.1
1
0.55

那么，当电阻时，电流________A．
【答案】4
【分析】由表格数据得到定值V，代入电阻值即可求解；
【详解】解：∵
∴V
∴当电阻时，A，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查变量间的关系，根据表格得到电压的值是解题的关键．



【变式1-3】如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中，①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是____．

【答案】①④##④①
【分析】直接利用变量间的关系，结合函数的定义判断①②③④的结论.
【详解】解：根据圆柱的体积公式的实际应用，
油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v，
对于①，w是v的函数；由于v确定，故h确定，w就确定，故①正确；
对于②，v是w的函数，由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故②错误；
对于③，h是w的函数，同②，w确定，所以有两个h（上下对称）故与函数的定义相矛盾，不是函数，故③错误；
对于④，w是h的函数，h确定，则w确定，故④正确．
故①④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查的知识要点：函数的定义的理解，实际问题中的函数关系，主要考查学生对基础定义的理解和应用，属于基础题．



【变式1-4】如图是小李骑自行车离家的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系.

(1)在这个变化过程中自变量是________，因变量是__________.
(2)小李出发几小时到达离家最远的地方，此时离家多少千米.
(3)小李骑自行车在时的速度为多少km/h，时速度为多少km/h.
(4)小李出发几小时与家相距20.
【答案】(1)t；s
(2)2；30
(3)20；5
(4)1.5或4

【分析】（1）在坐标系中横坐标是自变量，纵坐标是因变量，据此求解；
（2）根据图象可以得到离家最远时的时间，此时离家的距离，据此即可确定；
（3）根据图象可以得到从1时开始到2时自行车移动的距离和所用的时间，从2时开始到4时自行车移动的距离和所用的时间，据此即可求得；
（4）根据图象可以得到有两个时间点，据此即可确定．
（1）
解：根据图象可知，在这个变化过程中自变量是离家时间t，因变量是离家距离s；
故答案为：t；s
（2）
根据图象可知小李2h后到达离家最远的地方，此时离家30km；
（3）
当1＜t＜2时，小李行进的距离为30-10=20（km），用时2-1=1（h），
所以小李在这段时间的速度为：＝20（km/h），
当2＜t＜4时，小李行进的距离为30-20=10（km），用时4-2=2（h），
所以小李在这段时间的速度为：10÷2＝5（km/h）；
（4）
因为当1＜t＜2时，所以小李在这段时间的速度为：＝20（km/h），
∴s=20t-10，
当s=20时，有20t-10=20，
解得t=1.5，
由图象知，当t=4时，s=20，
故当t=1.5或t=4时，小李与家相距20km；
【点睛】本题主要考查了函数的图象，需要从图象分析出实际问题，解题的关键是理解横轴和纵轴表示的含义，转化为实际问题中的数据．



【考点二 函数自变量的取值范围】
【例题2】函数y＝﹣中自变量x的取值范围是（    ）
A．x＝3 B．x＜3且x≠2 C．x≤3且x≠2 D．x≠2
【答案】C
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零列不等式组求解．
【详解】解：由题意得： 3﹣x≥0且x﹣2≠0，
解得：x≤3且x≠2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数、分母不能为零列出不等式组是解答本题的关键．

【变式2-1】某学校要种植一块面积为60m2的长方形草坪，要求两边长均不小于3m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】x≥3，由于xy=60，所以y≤20，
【详解】解：∵草坪面积为60m2，
∴x、y存在关系y，
∵两边长均不小于3m，
∴x≥3，y≥3，
∴x≤20，
∴3≤x≤20．
故选：C．
【点睛】本题考查了自变量的取值范围和函数值的取值范围，解题的关键是根据函数解析式计算，

【变式2-2】函数中，自变量的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据分母不能为0得，即可求解；
【详解】解：根据题意，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查求自变量的取值范围，掌握相关知识是解题的关键．



【变式2-3】汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，则油箱的余油量（单位：升）随行驶时间（单位：时）变化的函数关系式是__，自变量的取值范围是___．
【答案】         
【分析】根据余油量原有油量用油量，可以列出函数解析式，然后根据时间应大于等于0，用油量不能超过原有油量，求出自变量的取值范围．
【详解】解：依题意有，
，用油量不能超过原有油量，
，
．
故函数关系式是，自变量的取值范围是：．
故答案为：，
【点睛】本题考查的是列函数关系式，不等式组的应用，理解题意，确定因变量与自变量之间的等量关系是解本题的关键．



【变式2-4】4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
(1)以（单位：元）表示标价总额，（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求关于的函数解析式；
(2)“世界读书日”这一天，当时，如何选择这两家书店去购书更省钱？
【答案】(1)甲书店：，乙书店：
(2)当时，甲乙书店所需费用相同；当时，甲书店更省钱；当时，乙书店更省钱．

【分析】（1）根据题意给出的等量关系即可求出答案．
（2）分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：甲书店：，
乙书店：当时，，
当时，，
所以乙书店：．
（2）解：当时，，此时甲乙书店所需费用相同；
当时，，此时甲书店更省钱；
当时，，此时乙书店更省钱
综上所述，当时，甲乙书店所需费用相同；当时，甲书店更省钱；当时，乙书店更省钱．
【点睛】本题考查一次函数和不等式的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系．




【考点三 一次函数的概念】
【例题3】当为何值时，函数是一次函数（    ）
A．2 B．－2 C．－2和2 D．3
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义列方程求解即可．
【详解】∵函数是一次函数，
∴3-|m|=1且m-3≠0，
∴m=±2且m≠3，
∴m的值为2或-2，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．

【变式3-1】新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先依据题意得到函数关系式，然后依据正比例函数的定义求得m的值，最后解一元一次方程即可．
【详解】解：∵[a，b]为一次函数y=ax+b（a，b为实数，且a≠0）的关联数，
∴关联数[1，m+2]所对应的一次函数是y=x+m+2．
又∵该函数为正比例函数，
∴m+2=0，解得m=-2．
∴方程可变形为：，
解得：x=1，
∴方程的解为x=1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，解一元一次方程，求得m的值是解题的关键．

【变式3-2】已知函数（m、n为常数）．当m、n分别为________、________时，y是x的正比例函数．
【答案】     -1     0
【分析】根据正比例函数的定义，可得答案．
【详解】解：由题意得：，且，．
解得，，
当、分别为、0时，是的正比例函数．
故答案为：，0．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如，、是常数）的函数，叫做一次函数；形如是常数，的函数叫做正比例函数．



【变式3-3】有下列函数：①；   ②；   ③；   ④；⑤ ；⑥；其中是正比例函数的有________________，是一次函数的有___________________（填代号即可）.
【答案】     ①③     ①③④⑤.
【分析】根据正比例函数与一次函数的定义对各个选项进行判断即可.
【详解】解：①是一次函数，也是正比例函数；
②不是一次函数；
③是一次函数，也是正比例函数；
④是一次函数，但不是正比例函数；
⑤是一次函数，但不是正比例函数；
⑥自变量次数是2，故不是一次函数；
故是正比例函数的有①③；是一次函数的有①③④⑤.
故答案为①③；①③④⑤.
【点睛】本题主要考查正比例函数与一次函数的定义，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.



【变式3-4】已知是关于的函数：.
（1）当，为何值时，是一次函数；
（2）当，为何值时，是正比例函数.
【答案】（1），取任何值时是一次函数；（2），时是正比例函数.
【分析】（1）直接利用一次函数的定义进而得出|m|-2=1，以及m-3≠0求出即可；
（2）直接利用正比例函数的定义进而得出|m|-2=1，以及m-3≠0，n-2=0求出即可．
【详解】解：（1）由得，，
∵，
∴，
所以，，取任何值时是一次函数；
（2）由得，，
∵，，
∴，，
所以，，时是正比例函数.
【点睛】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．



【考点四 求一次函数的自变量或取值范围】
【例题4】若点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数的定义得到，则，再把整体代入所求式子求解即可．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
∴，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，代数式求值，熟知一次函数图象上的点满足一次函数解析式是解题的关键．

【变式4-1】已知一次函数（k为常数，且），无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将一次函数解析式变形为，即可确定定点坐标．
【详解】解：∵，
当时，，
∴无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，将一次函数变形为是解题的关键．



【变式4-2】在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线上，点A关于y轴对称的点B恰好落在直线上，则k的值为___．
【答案】2
【分析】根据直线的解析式求出m，再求出点A关于y轴的对称点，再将对称点带入求出k．
【详解】解：点A（2，m）在直线上，
∴，
点 A（2，-3）关于y轴对称的点为（-2，-3），
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查一次函数和轴对称的性质，解题的关键是能够根据轴对称的性质求出对称点的坐标．



【变式4-3】定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，对于任意两点、称的值为、两点的“直角距离”．直线与坐标轴交于A、两点，为线段上与点A、不重合的一点，那么、两点的“直角距离”是___________．
【答案】5
【分析】根据“直角距离”的概念，设，判断出Q点横坐标和纵坐标的正负性，计算即得结果；
【详解】解：由题意知，设，
∴、两点的“直角距离”是：，
将代入得，，故；
将代入得，，解得：，故；
∵为线段上与点A、不重合的一点，
∴
∴
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握题目中的“直角距离”的概念，结合一次函数知识进行解题是关键．



【变式4-4】如图，直线y＝﹣x＋6与x轴交于C，与y轴交于A，过C、A分别作x轴，y轴的垂线交于点B，P是线段BC上的一个动点．

(1)求A，C坐标；
(2)若点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内，问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．
【答案】(1)A（0，6），C(8，0）
(2)能，4或

【分析】（1）分别将x＝0和y＝0代入即可求出A，C坐标；
（2）分两种情况：作辅助线，构建两个全等三角形，通过AE＝FQ列关于a的方程，解出即可．
（1）
解：当x＝0时，y＝6，
∴A（0，6），
当y＝0时，﹣x＋6＝0，
解得x＝8，
∴C（8，0）；
（2）
解：由题可知：点Q是直线y＝2x﹣6上一点，
如图1，过Q作EF⊥y轴，交y轴于E，交直线CB于F，

∵Q（a，2a﹣6），
∴AE＝2a﹣6﹣6＝2a﹣12，FQ＝8﹣a，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝PQ，∠AQP＝90°，
∴∠EQA＋∠PQF＝90°，
∵∠AEQ＝90°，
∴∠EAQ＋∠EQA＝90°，
∴∠PQF＝∠EAQ，
在△AQE和△QPF中，
∵，
∴△AQE≌△QFP（AAS），
∴AE＝FQ，
∴2a﹣12＝8﹣a，
解得a＝；
如图2，过Q作EF⊥y轴，交y轴于E，交直线CB于F，

∵Q（a，2a﹣6），
∴AE＝6﹣（2a﹣6）＝12﹣2a，FQ＝8﹣a，
同理得：△AQE≌△QFP，
∴AE＝FQ，
∴12﹣2a＝8﹣a，
解得a＝4；
综上所述，点A、P、Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值是4或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形、全等三角形的性质和判定、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，通过作辅助线构建两个全等三角形，并利用点Q的坐标表示线段AE和FQ的长，是解题的关键．




【考点五 根据一次函数的解析式判断其象限】
【例题5】如图中表示一次函数与正比例函数（m、n是常数，mn≠0）图象的是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m、n的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【详解】解：①当，过一，三象限，m，n同号，同正时过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限；
②当时，过二，四象限，m，n异号，则过一，三，四象限或一，二，四象限．
观察图象，只有选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
①当，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当时，函数的图象经过第二、三、四象限．

【变式5-1】对于函数，下列结论正确的是　　
A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当时， D．的值随值的增大而增大
【答案】C
【分析】把点代入到函数中看是否成立，据此判断选项A；根据直线中，，的符号判断其所经过的象限，据此判断选项B；把代入到函数中，求得的值，即可判断选项C；直接根据的符号判断选项D．
【详解】解：A、当时，，它的图象不经过点，故A错误；
B、，，它的图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C、当时，，故C正确；
D、，的值随值的增大而减小，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，对于一次函数来说，，直线过一三象限，在每个象限内，随增大而增大；，直线过二四象限，在每个象限内，随增大而减小．

【变式5-2】已知，则一次函数的图象不经过的象限是_______．
【答案】第三象限
【分析】首先根据非负数的性质确定a、b的值，然后确定其不经过的象限即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限
故答案为：第三象限．
【点睛】本题考查一次函数的性质、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．



【变式5-3】已知直线y＝（m-1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）．当m变化时，下列结论正确的有_________．
①当m=2，图象经过一、三、四象限；
②当m＞0时，y随x的增大而减小；
③直线必过定点（2，1）；
④坐标原点到直线的最大距离是．
【答案】①③④
【分析】根据一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：当m＝2时，y＝（2-1）x+3﹣2×2＝x－1，
此时一次函数y＝x－1，经过一、三、四象限，故①正确；
对于直线y＝（m-1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）来说，当m－1＞0时，即m＞1时，y随x的增大而减小；故②错误；
当x＝2时，y＝（m-1）x+3﹣2m＝2（m－1）＋3－2m＝2m－2＋3－2m＝1，
∴直线必过定点（2，1）；故③正确；
设原点到直线的距离为d，
∵由③知直线y＝（m-1）x+3﹣2m必过定点（2，1），
设点P（2，1），
∴d≤｜OP｜＝，
∴坐标原点到直线的最大距离是．故④正确．
故答案为：①③④
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．



【变式5-4】问题：探究函数的图象与性质．
小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
在函数中，自变量可以是任意实数；
（1）下表是与的几组对应值．

…



0
1
2
3
…

…
1
0



0

…

①______；
②若，为该函数图象上不同的两点，则______；
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；

【答案】（1）①1；②；（2）见详解．
【分析】（1）①把x=3代入y=|x|2，即可求出m；②把y=8代入y=|x|2，即可求出n；
（2）根据（1）中的表格数据，画出该函数的图象即可
【详解】解：（1）①把x=3代入y=|x|2，
得m=32=1．
故答案为：1；
②把y=8代入y=|x|2，
得8=|x|2，
解得：x=10或10，
∵A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，
∴n=10．
故答案为：10；
（2）该函数的图象如图所示，

【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键．




【考点六 一次函数与坐标轴交点问题】
【例题6】点和点在直线上，已知直线与y轴交于正半轴，且，则m的值可能是（   ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据一次函数的增减性以及与轴的交点可得，进而得出结果．
【详解】解：∵点和点在直线上，
∴随增大而减小，即，
∵直线与y轴交于正半轴，
∴，
解得：，
则m的值可能是，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．



【变式6-1】已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，若将直线向右平移m（m>0）个单位得到直线，直线与x轴交于C点，若△ABC的面积为6，则m的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先求出点B（0，4），可得OB=4，再根据平移的性质，可得AC=m，再根据△ABC的面积为6，即可求解．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，
当x=0时，y=4，
∴点B（0，4），
∴OB=4，
∵将直线向右平移m（m>0）个单位得到直线，直线与x轴交于C点，
∴AC=m，
∵△ABC的面积为6，
∴，
解得：m=3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的平移问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．



【变式6-2】一次函数的图象与x轴的交点A的坐标为______，与y轴的交点为B的坐标为______，在x轴上有一点M，使得的面积为12，则M点的坐标为______．
【答案】     （3，0）     （0，-6）     （-1，0）或（7，0）
【分析】令y=0，即可求出与x轴的交点A坐标；令x=0，即可求出与y轴的交点B坐标；根据点B的坐标可知三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求出三角形的底AM的长度，分情况写出点M的坐标即可．
【详解】当y=0时，0=2x-6，解得：x=3，
∴A（3，0），
当x=0时，y=2×0-6，解得：y=-6，
∴B（0，-6），
∵B（0，-6），
∴的高为6，
∴，解得：AM=4，
当点M在点A左边时，M（3-4，0），即：M（-1，0），
当点M在点A右边时，M（3+4，0），即：M（7，0），
故答案为：（3，0），（0，-6），（-1，0）或（7，0）．
【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0是解题的关键．



【变式6-3】如图，一次函数与坐标轴分别交于两点，点分别是线段上的点，且，则点的坐标为_____．

【答案】##
【分析】根据解析式求得的坐标，进而可得是等腰直角三角形，过作于，则是等腰直角三角形，证明，得出，中，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：∵一次函数与坐标轴交于两点，
中，令，则；令，则，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过作于，则是等腰直角三角形，

∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．



【变式6-4】如图，直线l1：y＝﹣2x+6与过点B（﹣3，0）的直线l2交于点C（1，m），且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D．

(1)求直线l2的解析式；
(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．
【答案】(1)
(2)（3，6），（-6，-3）

【分析】（1）先根据点C（1，m）在直线l1上求出m的值，再根据点C和点B求出直线l2的解析式；
（2） 先分别计算出OA、OD的长度，再根据三角形全等的情况展开讨论，分别根据和两种情况进行计算即可得到答案．
（1）
解：∵C（1，m）在直线l1上，
∴，
∴点C的坐标为（1，4），
设直线的l2的解析式为,
∵点C（1，4）和点B（﹣3，0）在直线l2上，
∴，
解方程组得，
∴直线l2的解析式为：；
（2）
解：直线l1上，当时，；当时，
∴，，
当点M在轴下方时，设点M的坐标为（m，n）,如下图所示，

当时，,
∵点M在直线l2上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴点M（-6，-3）满足条件，
当时，,
得，
∵，
∴点M（-9，-6）不满足题意，舍去；
当点M在轴上方时，设点M的坐标为（m，n）,如下图所示，

当时，,
∵点M在直线l2上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点M（0，-3）不满足题意，舍去；
当时，,
∵点M在直线l2上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴点M（3，6）满足条件，
∴满足条件的点M的坐标为（3，6），（-6，-3）．
【点睛】本题考查一次函数和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意求出函数的解析式．



【考点七 一次函数图象的平移问题】
【例题7】将直线向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx＋b，则下列关于直线y＝kx＋b的说法正确的是（    ）
A．直线经过一、三、四象限 B．y随x的增大而减小
C．与y轴交于（2，0） D．与x轴交于（－4，0）
【答案】D
【分析】直线向上平移2个单位长度后得到的解析式为，再根据一次函数的图象性质逐一判断即可选出正确答案．
【详解】解：直线向上平移2个单位长度后得到的解析式为，
A．∵，b=2＞0，故经过第一、二、三象限，故A错误；
B．∵，故y随x的增大而增大，故B错误；
C．令y=0，则，所以与x轴交点为，故C错误；
D．令x=0，y=2，则与y轴的交点为，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握函数图象平移规律“上加下减”以及一次函数的性质是解题关键．



【变式7-1】已知直线，将直线向下平移a（a>0）个单位，得到直线，设直线与直线y＝x的交点为P，若，则a的值为（    ）
A．2 B． C． D．6
【答案】D
【分析】根据题意得到点P的坐标为（-2，-2），代入平移后的解析式即可求出a．
【详解】解：如图，
∵点P在直线y=x上，
∴OA=PA，
∵，
∴OA=PA=2，
∵直线，将直线向下平移a（a>0）个单位，得到直线的解析式为，
∴点P的坐标为（-2，-2），
将点P的坐标代入，得4-a=-2，解得a=6，
故选：D．

【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到P的坐标是解题的关键．



【变式7-2】将直线y＝﹣x+6向下平移2个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点O为坐标原点，则S△ABO＝_____．
【答案】16
【分析】直接根据“左加右减”的平移规律求解平移后的函数的解析式，然后求出OA、OB的值，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】解：直线y＝﹣x+6向下平移2个单位，所得平移后的直线为y＝﹣x+6﹣2＝﹣x+4，
把x＝0代入y＝﹣x+4得：y＝4，
把y＝0代入y＝﹣x+4得：x＝8，
即OA＝8，OB＝4，
∴S△AOB＝OA×OB＝×8×4＝16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积，解题关键是求出OA、OB的值．



【变式7-3】如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y=2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a，b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的周长为______．

【答案】12
【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长BC，AB的长，从而可以求得矩形的周长．
【详解】解：如图所示，过点B、D分别作y=2x+1的平行线，交AD、BC于点E、F．

由图象和题意可得AE=4-3=1，CF=8-7=1，BE=DF=，BF=DE=7-4=3，
则AB==2，BC=BF+CF=3+1=4，
∴矩形ABCD的周长为2×（2+4）=2×6=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．




【变式7-4】已知直线经过点与；

(1)求直线的函数解析式，并在图中画出该函数图象；
(2)将直线向上平移3个单位，得到直线，在图中画出该函数图象，并求出：
①直线的表达式为　　．
②直线与轴的交点坐标是：　　．
【答案】(1)，图象见解析
(2)①；图象见解析；②

【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式，再画出该函数图象即可；
（2）根据直线向上平移3个单位，得到直线的解析式，并画出函数图象即可，取，即可进一步求得直线与轴的交点坐标．
【详解】（1）解：直线经过点与，
，
解得，
直线的函数解析式为，
函数图象如下图所示：

（2）函数的图象如上图所示：
①将直线向上平移3个单位，得到直线，
直线的表达式为，即．
故答案为；
②，
时，，
解得，
直线与轴的交点坐标是．
故答案为．
【点睛】此题考查了待定系数法、一次函数的平移、一次函数的图像与x轴的交点等知识，熟练掌握待定系数法和平移的规律是解题的关键．



【考点八 一次函数的增减性】

【例题8】已知点，都在正比例函数的图像上．若，则k的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意和正比例函数的性质，即y随x的增大而减少，则k<0,可得．
【详解】解：∵点M（-1，a），N(3，b)都在正比例函数的图像上，且，
∴y随着x的增大而减小，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数的性质．



【变式8-1】已知一次函数的图像与轴的正半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则时，应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的图像与y轴正半轴相交且y随x的增大而减小，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，结合k为整数可确定一次函数的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出当时x的取值范围．
【详解】解：∵一次函数的图像与y轴正半轴相交，y随x的增大而减小，
∴，
解得：，
∵k为整数，
∴k＝－2，
∴一次函数的解析式为y＝−3x＋1，
当y＝－5时，即−3x＋1＝－5，
解得：x＝2；
当y＝4时，即−3x＋1＝4，
解得：x＝−1，
∴当时，x的取值范围为−1＜x＜2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的性质以及解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．



【变式8-2】已知一次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是________．
【答案】
【分析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】解：由已知得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象与系数的关系找出关于系数的不等式（或不等式组）是关键．



【变式8-3】已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是_____．

【答案】6
【分析】由点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上将P点坐标代入计算可得a，b，c之间的关系，再根据的面积是，可求解ab＝9，再结合勾股定理计算可求解．
【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，
∴，
即，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴ab＝9，
∴，
∵，
∴，
解得c＝6（舍去负值），
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的特征，三角形的面积，勾股定理等知识，利用一次函数图象上点的特征，求解a，b，c之间的关系式解题的关键．



【变式8-4】已知某一次函数的图象经过点（-3，2）和（1，-6）
(1)试确定该一次函数的表达式；
(2)若该一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，求△OAB的面积；
(3)若–5≤x≤3，求函数值y的最大值．
【答案】(1)y=-2x-4
(2)4
(3)6

【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先根据坐标轴上点的坐标特征求出A、B点的坐标，然后利用三角形面积公式计算；
（3）利用一次函数的性质计算x=-5所对应的函数值得到函数y的最大值．
（1）
设一次函数解析式为y=kx+b,
把（-3，2）和（1，-6）代入得
，
解得，
所以一次函数解析式为y=-2x-4；
（2）
由（1）得y=-2r-4， 当x=0时，y=-4，即点B坐标为(0，-4)，
当y=0时，-2x-4=0．，x=-2，即点A坐标为(-2，0)，
∴△OAB的面积=×|-2|×|-4|=4；
（3）
由（1）得y=-2x-4，
∵-2 < 0，
∴y随x增大而减小，
∵-5≤x≤3时，当x=-5时，函数值y有最大值，最大值为-2×(-5)-4=6．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求正比例函数，只要一对x,y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值．也考查了一次函数的性质．




【考点九 求一次函数的解析式】
【例题9】已知一次函数（），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（    ）
x
…

0
1
2
…
y
…
6
4
2
0
…

A．y随x的增大而增大
B．函数的图象向上平移4个单位长度得到的图象
C．函数的图象不经过第三象限
D．若，两点在该函数图象上，且，则
【答案】C
【分析】首先把、分别代入解析式，解方程组，即可求得一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】解：把、分别代入解析式，
得
解得
故该一次函数的解析式为，
故该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C正确；
，
y随x的增大而减小，故A错误；
若，两点在该函数图象上，且，则，故D错误；
将该函数的图象向上平移4个单位长度得到的图象，故B错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键．



【变式9-1】把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【详解】解：如图，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，

∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴，
而OB＝3，
∴AB•3＝5，
AB＝，
∴A点坐标为（，3），
设直线方程为y＝kx，
则3＝k，
∴k＝，
∴直线l解析式为y＝x．
故选：A．
【点睛】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．



【变式9-2】无论 m 取任何实数，一次函数必过一定点，此定点坐标为____ ；线段 AB 的端点分别为 A（1，3），B（3，0），一次函数图像与线段 AB 相交，则m 的取值范围是____．
【答案】          ##
【分析】将代入得：，即可求出定点坐标，画出图象，求出m的临界值，即可求出结果，
【详解】将代入得：，
∴此定点坐标为；
把A（1，3）代入得：，解得：，
把B（3，0）代入得：，解得：，
∴m 的取值范围是．

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据题意画出图象，求出m的临界值，是解题的关键．



【变式9-3】如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点，则__________，一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，则的值为____________.

【答案】     2     ，2或．
【分析】利用待定系数法将点代入的解析式中即可求解m的值，根据为正比例函数图象且过点得出具体解析式，再由的解析式得其恒过点，后根据图象移动变化可知当与，平行或经过点时符合题意，最后得出结论．
【详解】解：把点代入得，
，
，
如图，由题意得，

的解析式为，与相交于点，为正比例函数图象，
设的解析式为．
，解得．
的解析式为．
的解析式为，当时，，
恒过点．
、、不能围成三角形，
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当经过点时，、、不能围成三角形，．
当，2或时，、、不能围成三角形．
故答案为：2；，2或．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质的理解与综合应用能力．主要涉及一次函数图象上点的坐标特征，即经过函数的某点一定在函数的图象上；两直线平行，k值相等．恰当利用待定系数法求出一次函数与坐标轴的交点坐标，巧用“图象信息”进行分析是解本题的关键．



【变式9-4】如图，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接．

(1)求直线的解析式；
(2)点P为直线上一动点，若，求点P的坐标；
(3)在第二象限找一点M使得为等腰直角三角形，直接写出点M所有可能的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为；
(2)点P坐标为或；
(3)符合条件的点M的坐标为或或．

【分析】（1）由待定系数法可得出答案；
（2）设点，分两种情况，当点P在线段上时，当点P在的延长线上时，根据三角形面积关系可得出答案；
（3）分当时，当时，当时，三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解：∵直线交x轴和y轴于点A和点C，
∴点，点，
设直线的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵点，点，点，
∴，
∴，
设点，
当点P在线段上时，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴点；
当点P在的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴点，
综上所述：点P坐标为或；
（3）解：∵点，点，
∴，
当时，为等腰直角三角形，
作轴于点D，轴于点E，

∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴设，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
当时，为等腰直角三角形，
作轴于点F，

同理可证，，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
当时，为等腰直角三角形，
作轴于点F，

同理可证，，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
综上，符合条件的点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，三角形面积，坐标与图形的面积，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．






【考点十 用一次函数解决问题】
【例题10】甲、乙两人相约登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，根据信息，下列说法正确的个数为（     ）

（1）甲登山上升的速度是每分钟10米；
（2）乙在A地时距地面的高度b为30米；
（3）t的值为11；
（4）登山时间为4分钟，9分钟，15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值和t的值；找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：甲登山上升的速度是（米/分钟），
乙提速后的速度为：（米/分钟），
，
，
故（1）、（2）、（3）正确；
设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为，
∴，解得，
∴函数关系式为．
同理求得段对应的函数关系式为，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：．
故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故（4）正确．
综上，（1）、（2）、（3）、（4）均正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解（4）的关键是将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程．



【变式10-1】如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过B、C两点直线的解析式为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过C作垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，证明与 全等，由全等三角形对应边相等得到，由求出的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点的直线对应的函数表达式．
【详解】解：对于直线，令，得到，即B（0，2），，
令，得到，即，
过C作轴，可得，
∴，
∵是等腰直角三角形，即，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，即，
∴，
设直线BC的解析式为，
∵B（0，2），
∴，解得 ．
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是．
故选：B．

【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，以及全等三角形的判定和性质．正确的求出一次函数与坐标轴的交点坐标，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．



【变式10-2】某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法正确的是____________（坑序号）．
①10分钟后，甲仓库内快件数量为90件；②乙仓库每分钟派送快件数量为8件；③甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：；④乙仓库时有快件360件；⑤时，甲仓库内快件数为480件；⑥时，两仓库快递件数相同．

【答案】①④⑥
【分析】根据图象可知10分钟后，甲仓库内快件数量为90件，根据50分钟内派送300件可判断②，进而得出关系式；由图象可知时，乙仓库有快件360件，时，快件数为0，待定系数法求解析式，令，可判断④，将代入③中的关系可判断⑤，令，解方程求得交点的横坐标即可判断⑥．
【详解】解：根据图象可知10分钟后，甲仓库内快件数量为90件，故①正确；
根据图象至，50分钟内派送快递数为300件，则乙仓库每分钟派送快件数量为件，故②错误，
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：，
将代入得，
，
解得，
∴乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：，
令，得，即乙仓库时有快件360件，故④正确，
设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：，
将点代入，得，
，
解得：，
∴甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：，故③不正确；
令，得，
即时，甲仓库内快件数为490件，故⑤不正确，
令，即，
解得，
即时，两仓库快递件数相同，故⑥正确．
故答案为：①④⑥．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据函数图像获取信息是解题的关键．



【变式10-3】甲、乙两名同学参加户外拓展活动，过程如下：甲、乙分别从直线赛道、两端同时出发，匀速相向而行．相遇时，甲将出发时在地抽取的任务单递给乙后继续向地前行，乙就原地执行任务，用时14分钟，再继续向地前行，此时甲尚未到达地．当甲和乙分别到达地和地后立即以原路原速返回并交换角色，即由乙在地抽取任务单，与甲相遇时交给甲，由甲原地执行任务，乙继续向地前行．抽取和递交任务单的时间忽略不计．甲、乙两名同学之间的距离（米与运动时间（分之间的关系如图所示．已知甲的速度为每分钟60米，且甲的速度小于乙的速度，现给出以下结论：
①两地距离1680米；
②出发10分钟，甲乙两人第一次相遇；
③乙的速度为每分钟100米；
④甲在出发后第44分钟时开始执行任务．
其中正确的是 __．（写出所有正确结论的序号）

【答案】①④
【分析】函数图象可看作是线段CD、DE、EF、FH、HI构成：CD对应两人从出发到第一次相遇，其中5分钟时，两人相距980米；DE对应乙在原地执行任务，甲继续前进；EF对应甲继续向B地走，乙继续向A地走；FH对应甲到达B地返回走，乙继续向A地走，其中x＝31时，两人相距1180米；HI对应两人都返回走到第二次相遇．设乙的速度为v米/分，AB两地距离为s米，根据两个确定的x和y值找等量关系列方程．
【详解】解：甲的速度为60米分，设乙的速度为米分，两地距离为米，
时，，此时两人相距980米，列方程得：
（1），
当时，甲走的路程为：（米，
图象中，时，，
即此时甲乙两人相距1180米，甲已经到达地并返回，乙还在前往地，
列方程得：（2），
（1）（2）联立方程组解得，
两地距离1680米，乙的速度为每分钟80米，故①说法正确，③说法错误；
（分，
故出发12分钟，甲乙两人第一次相遇，故②说法错误；
设甲出发分钟时开始执行任务，此时甲乙第二次相遇，两人走的总路程和为，列方程得：
，
解得：，
即甲在出发后第44分钟时开始执行任务，故④说法正确；

所以正确的是①④．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应x和y表示的数量关系．




【变式10-4】 小刚在大桥上看到锯齿状的伸缩缝(如图①)，通过查阅资料知道伸缩缝是为大桥热胀冷缩而设置，并且大桥伸缩缝的长度主要受气温的影响，于是他对此进行了进一步的探究．在一年中他对当地某大桥伸缩缝的长度进行了五次测量，每次对伸缩缝长度测三次取其平均值，使测量结果更为精确，并将所测数据制成下表：
日期
气温t(℃)
测量值l(mm)
第一次
第二次
第三次
平均值
1月8日
2
79.3
79.4
79.4
79.4
2月16日
0
80.1
80.0
79.9
80.0
5月5日
11
76.8
76.7
77
76.8
8月1日
30
71.0
70.9
70.6
70.8
10月6日
22
73.6
73.1
73.6
73.4

根据上面的信息，小刚提出了4个问题，请你帮他解答：

(1)在图②的直角坐标系内，描出五次测量的有序数对所对应的五个点；
(2)这些点是否近似地在一条直线上？如果是，请确定一个l与t的近似关系式；如果不是，请说明理由．
(3)若某时测得伸缩缝的长度为83.6mm，请估计此地当时的气温；
(4)当地气温一般在-15℃~40℃，估计该大桥伸缩缝长度的最大值与最小值分别是多少．
【答案】(1)见谢谢
(2)这些点是近似在一点直线上，
(3)估计当地的气温约为
(4)估计该大桥伸缩缝长度的最大值与最小值分别是84.6mm，67.7mm

【分析】（1）根据所给数据进行描点即可；
（2）根据（1）说描的点可知这些点近似在一条直线上，然后利用待定系数法求解即可；
（3）把代入（2）所求解析式进行求解即可；
（4）分别代入求出此时l的值即可得到答案
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：由（1）可知这些点是近似在一点直线上，
设这个直线的关系式为，把代入解析式得：
，
∴，
∴；
（3）解：当时，即，
解得，
∴估计当地的气温约为；
（4）解：当时，；
当时，，
∴估计该大桥伸缩缝长度的最大值与最小值分别是84.6mm，67.7mm．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，在坐标系中描点，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．



【考点十一 一次函数规律性探究问题】
【例题11】如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第个等腰直角三角形的直角边长，求出第个等腰直角三角形的面积，用同样的方法求出第个等腰直角三角形的面积，第个等腰直角三角形的面积，找出其中的规律即可求出第个等腰直角三角形的面积．
【详解】解：当时，，
根据题意，第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的面积为，
当时，，
第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的面积为，
当时，，
第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的面积为，
依此规律，第个等腰直角三角形的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出规律是解题的关键．



【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直线与轴的成角，可得，…，，，…，；根据等腰三角形的性质可知，，，…，；根据勾股定理可得，，…，，再由面积公式即可求解．
【详解】∵、…都是等边三角形，
∴,
∵直线与轴的成角，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，…，，
∴，，…，，
易得，…，，
∴，，…，，
∴，，…，；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键．



【变式11-2】如图，过点（1，0）作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为___________.

【答案】
【分析】先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标．
【详解】∵点坐标为（1，0），
∴，
过点作x轴的垂线交直线于点，可知点的坐标为（1，2），
∵点与点O关于直线对称，
∴，
∴，
∴点的坐标为（2，0），的坐标为（2，4），
∵点与点O关于直线对称．故同理可得点的坐标为（4，0），的坐标为（4，8），
依此类推便可求出点An的坐标为 ，点Bn的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．



【变式11-3】如图，点O是坐标原点，直线l：y＝x+1与y轴交于点，以为边向右构造正方形，使点落在x轴上，延长交直线l于点，再以为边向右构造正方形，使点落在x轴上，…，按此规律依次作正方形，则所在直线的解析式为 _____．

【答案】
【分析】根据一次函数的解析式分别求出、等点的坐标，继而得知、等点的坐标，从中找出规律，进而可求出点的坐标，进而用待定系数法求出所求解析式．
【详解】解：把x＝0代入直线y＝x+1，
得y＝1，（0，1），
点的坐标是（1，1），
把x＝1代入直线y＝x+1，
得y＝2，（1，2），
点的坐标是（3，2），
同理可得：点的坐标是（7，4）；
……
由以上得出规律是的坐标为，
∴的坐标为，
设所在直线的解析式为y＝kx+b，
得，
解得 ，
∴所在直线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式等知识，解此题的关键是分别计算一次函数中的点的坐标从而得出规律．



【变式11-4】已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1）

(1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ．
②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式；
(2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ．
(3)求的面积．
【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B(1，2)，(3，0)，y=-x+3
(2)，
(3)

【分析】（1）①由一次函数y=x+1即可求得A、B的坐标；
②先求出A(-1，0)关于y轴的对称点的坐标(1，0)．将x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到．再求出点A关于直线的对称点的坐标(3，0)．设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，把的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的函数关系式；
（2）先求出点A关于的对称点的坐标(7，0)．由的坐标规律可得点的横坐标为．再求出的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数关系式；
（3）由，可得，再利用三角形面积公式求出即可．
（1）
①∵一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B，
∴，
故答案为：(-1，0)，(0，1)；
②∵A(-1，0)，B(0，1)，
∴点A关于y轴的对称点是(1，0)．
当x=1时，y=2，
∴B(1，2)．
点A关于直线的对称点是(3，0)．
设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，
∴，解得，
∴直线的函数关系式是y=-x+3；
（2）
∵A(﹣1，0)，(3，0)．
由题意过点作x轴的垂线，点是点A关于的对称点得，
∴(7，0)．
由(1，0)，(3，0)，(7，0)，
可得点的坐标为(，0)，
直线的函数关系式为．
故答案为：；
（3）
∵，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，解决本题的关键是一次函数的图像和性质．



【考点十二 一次函数的几何综合类问题】
【例题12】如图，在平面直角坐标系中，将□ABCD放置在第一象限，且ABx 轴．直线y=－x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图像如图2所示，则□ABCD的面积为（　  　）

A．10 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】通过图象中（3，0），（7 ，），（8，）可得直线运动到A，D，B三点时所移动距离，从而求出AB长度，再通过添加辅助线构造直角三角形求出平行四边形的高从而求解．
【详解】解：由图象可知，直线经过A时移动距离为3，经过D时移动距离为7，经过B时移动距离为8，
∴AB=8-3=5，
如图，当直线经过点D时，交AB于点E，作DF垂直于AB于点F，
由图2可知，

∵直线与AB夹角为45°，
∴DF=EF=2，
∴□ABCD面积为AB·DF=5×2=10．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象与图形结合问题，解题关键是掌握k=-1时直线与x轴所夹锐角为45°．



【变式12-1】．如图，在矩形中，动点从点出发，沿，，运动到点停止，设点运动路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图（2）所示，则矩形的面积是（    ）

A．15 B．16 C．20 D．36
【答案】A
【分析】根据函数的图象、结合图形求出、的值，根据长方形的面积公式得出长方形的面积．
【详解】解：动点从点出发，沿、、运动到点停止，
而当点运动到点，之间时，的面积不变，
函数图象上横轴表示点运动的路程，
时，不发生变化，说明，
时，继续变化，说明，
，，
长方形的面积是：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的面积．



【变式12-2】如图，直线与轴、轴分别交于点、，以线段为直角边向右侧作等腰直角三角形，．

（1）线段的长为____．
（2）若该平面第二象限存在一点，使与的面积相等，则的值_____．
【答案】     5    
【分析】（1）先求出、两点的坐标，利用勾股定理得到的长；
（2）连接，分别求得，，，根据，再利用建立含的方程，通过解方程求得答案．
【详解】解：（1）令中，得点坐标为；
令，得点坐标为．
由勾股定理可得，
故答案为：5；
（2）连接，

．
，，
；
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形结合，求一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理求两点距离，等腰三角形的性质，坐标与图形，数形结合是解题的关键．



【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中直线与轴、轴分别交于点、，为上一点，且，点是线段上一点，连接并延长交于点，若时，则的长是______．

【答案】
【分析】过点作，交的延长线与点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，根据待定系数法确定直线BC的解析式，设，利用全等三角形的判定和性质得出，，得出点的坐标为，代入函数解析式确定点的坐标为，在确定直线AE的解析式，求解即可
【详解】解：过点作，交的延长线与点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，

直线与轴、轴分别交于点B、A，
当x=0时，y=6；
当y=0时，x=8；
，，
，，
为上一点，且，
，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将点B、C分别代入得：
，
解得：，
直线的表达式为，
设，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
则，，
则点的坐标为，
将点的坐标代入得，
解得，
故点的坐标为，
设直线AE的解析式为y=mx+n，由点、的坐标得，
，
解得：，
直线的表达式为，
令，
解得，
故，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，熟练掌握运用这些性质定理是解题关键．




【变式12-4】如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，且，点C是直线上一点，且在第一象限，满足关系式．

(1)请直接写出点A的坐标____________；
(2)点P是线段上的一个动点（点P不与点O重合），过点P的直线l与x轴垂直，直线l交边或边于点Q，交于点R．设点P的横坐标为t，线段的长度为m．当时，直线l恰好过点C．
①求直线的函数表达式；
②当时，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①； ②或或

【分析】（1）过A作轴于点D，根据等腰直角三角形的性质得出，即可得到A坐标为；
（2）①由，且，可得，在中，利用勾股定理求得的值，即可得到点C坐标，设出直线的函数表达式为y=kx，把代入 求出k的值，即可得到直线OC的函数表达式；②先求出直线AB的解析式，由题意点得 或，，列出方程，即可求得点P坐标；
【详解】（1）解：过A作轴于点D，
∵，
∴平分，且，
∴，
∴，
∴A坐标为，
故答案为：；

（2）解：①连接，
∵，且，
∴，
当时，点P坐标为，
∵直线l恰好过点C，
∴，
，
，
，
点C坐标为，
设直线的函数表达式为，
把代入得：，
解得：，
故直线的函数表达式为；
②设直线与直线交于点H，直线AB的解析式为，

把点代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
∵直线l垂直x轴，，
∴，
∴，
∵点P的横坐标为t，点R在直线上，
∴点 或，，
∵线段的长度为m，
∴或，
当时，或，
解得：或或，
故点P坐标为或或．
【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、求一次函数函数解析式、一次函数的图象和性质，勾股定理的应用，作出相应的图形，分类讨论是解答此题的关键．






【亮点训练】
1．已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把点代入计算即可得解．
【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行，
∴，
∵一次函数过点，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为．
故选：D．
【点睛】本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的k值相等求出一次函数解析式的k值是解题的关键．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P从顶点D出发沿正方形的边运动，路线是D→C→B→A，设P点经过的路程为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据动点从点D出发，在向点C运动过程中，y随x的增大而增大；当点P在CB上运动时，y不变，结合所给的图象即可作出判断．
【详解】解；当点P由点D向点C运动时，y随着x的增大而增大，最大值为8，此时x＝4，故排除B和D；
当点P在CB上运动时，y＝AD•DC＝×4×4＝8，即当4≤x≤8时，y＝8，值不变，故排除C；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点的函数图象问题，数形结合并分析起点阶段、中间某个特殊阶段的变化趋势是解决此类习题的关键．
3．如图①，在△ABC中，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A的路径匀速运动到点A停止．图②是点P运动时线段AP的长度y随点P的运动时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边BC的长度为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】根据图象可知点P沿匀速运动到点A，此时AP在BC边上先变小后变大，从而可求出BC上的高，从图象可以看出点P运动到点C时AP=AB=5，可知△ABC是等腰三角形，进而得出结论．
【详解】解：由图象可知：点P在B上时，AP=AB=5，
点P在BC上运动时，在图象上有最低点，即AP⊥BC时，AP有最小值，为4，
点P与点C重合时，AP即 AC的长，为5，
所以，△ABC是等腰三角形，
∴BC的长=2×
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象和勾股定理，等腰三角形三线合一定理，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度．
4．直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则b的值为（      ）
A．4 B．-4 C．±4 D．±2
【答案】C
【分析】由直线y=-2x+b与x轴的交点为（，0），与y轴的交点是（0，b），然后根据三角形的面积公式可得，再求出b即可．
【详解】解：∵直线y=-2x+b与x轴的交点为（，0），与y轴的交点是（0，b），直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4，
∴，
解得：．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征．在计算平面直角坐标系中的三角形面积时，用不确定的未知字母来表示线段长时，应该使用该字母的绝对值表示．
5．下图中表示一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx（a，b是常数，且ab＜0）图像的是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据每个一次函数及正比例函数的图像依次分析a及b的符号，然后再确定其所在的象限即可解答．
【详解】解：A、一次函数中a<0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项符合题意；
B、一次函数中a＞0，b＜0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；
C、一次函数中a>0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项不符合题意；
D、一次函数中a＜0，b＞0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数与正比例函数的图像，熟记一次函数与正比例函数图像与各字母系数的关系是解题的关键．
6．已知一次函数y＝ax＋b（a≠0），a，b满足关系式a2＝4（b－1）－2b（b－a），若P（m，－1），Q（n，3）在一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象上，则下列正确的是（  ）
A．m＜0＜n B．m＞0＞n C．m＞n＞0 D．m＜n＜0
【答案】A
【分析】先把a2＝4（b﹣1）﹣2b（b﹣a），变形为（a﹣b）2＋（b﹣2）2＝0，得出b＝2，a＝2，再把P（m，﹣1），Q（n，3）代入一次函数解析式求解即可．
【详解】解：∵a2＝4（b﹣1）﹣2b（b﹣a），
∴a2＝4b﹣4﹣2b2+2ab，整理得：（a﹣b）2＋（b﹣2）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴（a﹣b）2＝（b﹣2）2＝0，
∴b＝2，a＝2，
∴y＝2x+2，
当y＝﹣1时，﹣1＝2m+2，得：m，
当y＝3时，3＝2n+2，得：n，
∴m＜0＜n，
故选：A．
【点睛】本题考查了非负数的性质、公式法进行因式分解、一次函数的解析式、求函数值或自变量的值，根据题意求出a，b的值是解题的关键．
7．已知正比例函数y＝（m﹣1）的图象在第二、四象限，则m的值为_____，函数的解析式为_____．
【答案】         
【分析】根据正比例函数的定义条件：k为常数且，自变量次数为1，即可列出有关m的方程，解出即可得出答案．
【详解】解：根据正比例函数的定义可得：，
解得：，
又该正比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴.
故答案为：，
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．
8．一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为________．
【答案】c＞a＞b
【分析】依据条件画出一次函数图像可直观判断．
【详解】解：∵＞0，＜0，
点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）纵坐标相等
∴ y＝n﹣1是一条水平线
画出满足题意位置关系的函数图像如下，
由图像易得：c＞a＞b，
故答案为：c＞a＞b．

【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，依据性质去画出图像是解题关键．
9．周日，小康从家骑自行车去图书馆借了一本美术图书，接着去学校办板报，办完板报后因有急事就坐车回到了家（小康家、图书馆、学校在同一条直线上，所有停车、等车时间忽略不计），如图所示的图象反映的是小康离的距离（米）与所用时间（分钟）之间的对应关系，根据图象提供的信息，有以下四种说法：①小康从图书馆去学校的速度为140米/分钟；②小康在学校办板报用了85分钟；③图书馆在小康家与学校的中点处；④小康从学校回到家的速度是从家到图书馆的速度的2倍．其中正确的说法有______（填序号即可）．

【答案】③④
【分析】①小康从图书馆去学校的速度是图书馆离学校的距离除以走完这段路程的时间就可以解决此问；②小康在学校办板报时间是90-40=50分钟；③图书馆离小康家与学校的距离都是1750米；④比较小康从学校回到家的速度和从家到图书馆的速度即可解决此问．
【详解】解：①、小康从图书馆去学校的速度为：（米/分钟），故选项错误，不符合题意；
②、小康在学校办板报时间为：（分钟），故选项错误，不符合题意；
③、图书馆离小康家的距离是1750米，图书馆与学校的距离都是（米），故选项正确，符合题意；
④、小康从学校回到家的速度为：（米/分钟），
小康从家到图书馆的速度为：（米/分钟），
，所以小康从学校回到家的速度是从家到图书馆的速度的2倍．
故选项正确，符合题意．
故答案为：③④．    
【点睛】本题考查了分析函数图像的知识，正确的对函数图像进行分段分析是解决本题的关键．
10．如图，直线l1：分别与x轴、y轴交于点A、点B，且与直线l2：y2＝x交于点C（2，m）．则

（1）b＝________；
（2）若点P在直线l1上，且△OPC的面积为3，点P的坐标为________．
【答案】     3     （0，3）或（4，1）
【分析】（1）由直线l2：y2=x求得C的坐标，然后把C的坐标代入直线l1：y1＝−x+b，即可求得b的值；
（2）分两种情况讨论，依据△OPC的面积为3，即可得到点P的坐标．
【详解】解：(1) ∵直线过点C(2，m)，
∴m=2，
将C(2，2)的坐标代入直线，
∴b=3，
故答案为: b=3；
(2)∵，
∴A(6，0)，B(0，3)，
∴，
当点P与点B重合时，△OPC的面积为3，
此时，P(0，3)；
当点P在射线CA上时，点C为PB的中点，
设点P的坐标为(a，b)，
则，
解得a=4，b=1，
∴P(4，1)，
综上所述，点P的坐标为(0，3)或(4，1)；
故答案为：(0，3)或(4，1)．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用三角形的面积的和差关系列方程是解题的关键．
11．甲乙两地相距450千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，折线OAB表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，线段CD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，C（1，0），则在轿车追上货车后至到达乙地前，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为______小时．

【答案】4或
【分析】先用待定系数法求出CD、OA、AB的函数关系式，再根据已知列方程，可解得答案．
【详解】解：设线段CD解析式为y＝kx＋b，
将C（1，0），D（7，450）代入得：，
解得，
∴线段CD的解析式为y＝75x−75（1≤x≤7），
∵线段OA过点（5，150），
∴线段OA的解析式为y＝30x（0≤x≤5），
设线段AB的解析式为y＝mx＋n，
将（5，150），（8，450）代入得：，
解得，
∴线段AB的解析式为y＝100x−350（5≤x≤8）；
由（75x−75）−30x＝105，解得：x＝4，
由（75x−75）−（100x−350）＝105，解得：x＝，
综上所述，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为4或小时，，
故答案为：4或．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，掌握待定系数法并求出函数关系式．
12．如图，直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A、B两点，点C的坐标是（1，0），DE分别是AB、OA上的动点，当△CDE的周长最小时，点E的坐标是 _____．

【答案】10
【分析】作点C关于OA的对称点（-1，0），点C关于直线AB的对称点（7，6），连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段．
【详解】解：如图，点C关于OA的对称点（-1，0），点C关于直线AB的对称点，
∵直线AB的解析式为y=-x+7，
∴直线C的解析式为y=x-1，
由，得

∴F（4，3），
∵F是C中点，
∴可得（7，6）．
连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，
△DEC的周长=DE+EC+CD=E+ED+D===10．
故答案为10．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．

13．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为，其中，满足．
(1)求，两点的坐标；
(2)当的面积为时，求点C的坐标；
(3)当时，则点的横坐标的取值范围是 ．
【答案】(1)；
(2)或
(3)或

【分析】（1）根据非负数的性质即可得到点的坐标为，点的坐标为；
（2）延长交轴于点；于是得到，列方程求解即可；
（3）根据已知条件列不等式求解即可；
【详解】（1）解：∵
∴
解得：
∴点的坐标为；点的坐标为
（2）解：如图，延长交轴于点；

设直线的表达式为：
将，代入得：

解得：
∴直线的表达式为：
令得：
解得：
∴
∵
∴
化简得：
解得： ，
故点的坐标为：或
（3）解：由（2）可知：
∴
当时，该不等式可化为 ；
解得：
当时，该不等式可化为；
解得：
故答案为：或

【点睛】考查三角形的面积、非负数的性质、坐标与图形的性质；解题的关键构造三角形面积的和差关系．
14．互联网时代，一部手机就可搞定午餐是新零售时代的重要表现形式，打包是最早出现的外卖形式，虽然古老，却延续至今，随着电话、手机、网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某知名外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种日工资方案：
方案一：每日底薪50元，每完成一单外卖业务再提成3元；
方案二：每日底薪80元，外卖业务的前30单没有提成，超过30单的部分，每完成一单提成5元．
设骑手每日完成的外卖业务量为x单（x为正整数且），方案一、方案二中骑手的日工资分别为、（单位：元）．
(1)分别写出、 关于x的函数关系式；
(2)若小强是该外卖平台的一名骑手，从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？并说明理由．
【答案】(1)；；
(2)从日工资收入的角度考虑，当 时，他应该选择方案二；当 时，他应该选择方案一；当时，他选择两个方案均可

【分析】（1）根据题意，可以直接写出、关于x的函数解析式；
（2）分别令，并解出x的取值范围即可根据x的情况来选择方案．
【详解】（1）

（2）令，即：
，解得：
当每日业务量大于30但小于60时，选择方案一；
令，即：
，解得：
当每日业务量大于60时，应选择方案二；
综上所述，从日工资收入的角度考虑，当 时，他应该选择方案二；当 时，他应该选择方案一；当时，他选择两个方案均可．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
15．（1）如图1，等腰直角三角形的直角顶点在直线上． 过点作交于点， 过点作交于点， 求证：；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B， 将直线绕点顺时针旋转得到， 求的函数表达式；
（3）如图3，在平面直角坐标系，点， 过点作交于点， 过点作交于点， 为线段上的一个动点，点位于第一象限． 问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出的值； 若不能， 请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）能，
【分析】
（1）先说明，然后再根据即可证明结论；
（2）先由题意确定、点坐标，根据全等三角形的判定与性质确定点C的坐标，然后运用根据待定系数法求得的解析式；
（3）作线段的中垂线记为，由等腰三角形的性质可知，若点存在， 则一定在上；然后分点在的上方和下方两种情况，分别根据全等三角形的性质列出关于的方程求解即可．
【详解】解：（1）由题意可知，
为等腰直角三角形

∴
，

在中

．
（2）由题意意可知点坐标为，点坐标为
过点作交于点， 过点C作轴交轴于点，

由（1）的证明可知

点坐标为          
设
过点
解得
．
（3）如图：作线段的中垂线记为，由等腰三角形的性质可知，若点存在， 则一定在上．
①当点在下方时
过点作轴交于点， 则交于点，

由（2）的证明不难得出，
， 即
解得， 则点与点位于第一象限相矛盾，
故舍去
②当点在上方时
过点分别作轴交于点， 则的延长线交于点，          

由（2）的证明不难得出，                   
， 即
解得， 则点符合题意．
综上，．
【点睛】
本题主要考查了一次函数综合题、全等三角形的判定、全等三角形的性质、用待定系数法求函数解析式等知识点，利用全等三角形的性质得出关于的方程是解题关键．
16．探究活动：探究函数的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整．
(1)下表是与的几组对应值．

…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…

…
3

1
0
1
2
3
…

直接写出的值是_________；
(2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请你先描出点，然后画出该函数的图象：

(3)观察图象，写出函数的一条性质：___________．
【答案】(1)2
(2)见详解
(3)的图象关于y轴对称

【分析】（1）根据负数的绝对值是其相反，即可求解；
（2）根据所描的点依次连接即可；
（3）根据函数图象的对称性即可作答．
（1）
当x=-2时，有，
即m的值为2；
（2）
点(-2,2)如图A点所示，

函数图象如图折线AO-OB所示；
（3）
由图以及（1）中表格x和y的值，可知：的图象关于y轴对称，
故答案为：的图象关于y轴对称．
【点睛】本题考查了函数的图象与性质，根据图表数据画出函数图象是解答本题的关键．
17．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E．

(1)求证：；
(2)模型应用：
①已知直线：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点，将直线绕着A点逆时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)①y＝﹣x﹣4；②（4，﹣2）或（，﹣）或（，﹣）

【分析】（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC＝45°可知△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可；②分三种情况考虑：如图3所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，设D点坐标为（x，2x+6），利用三角形全等得到，得D点坐标；如图4所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14m，m8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图5所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理求出D的坐标．
（1）
证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△EBC（AAS）；
（2）
解：①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2，

∵∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD＝AO，CD＝OB，
∵直线：y＝x4，
∴A（0，4），B（3，0），
∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，
∴OD＝4+3＝7，
∴C（7，3）
设的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴
∴，
∴的解析式：；
②如图3，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，
∵，
∴，
∴
∵点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，
∴设D点坐标为（x，2x6），
∵B的坐标为（8，﹣6），
∴
∴，
即
解得，
∴D点坐标（4，2）；

如图4，当∠APD＝90°时，AP＝PD，同理可得，

过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设点P的坐标为（8，m），
则D点坐标为（14m，m8），
由m8＝2（14m）+6，得m＝，
∴D点坐标（，）；
如图5，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，

同理可求得D点坐标（，），
综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4，2）或（，）或（，），
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
18．对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．对于分段函数，在自变量不同的取值范围内，对应的函数表达式不同，例如：是分段函数，当时分段函数表示为．

(1)当时，
①直接写出此分段函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出相应的函数图象；
②当时，直接写出函数值的取值范围；
③当时，直接写出自变量的取值范围；
(2)已知点的坐标，点的坐标．当函数的图象与线段有两个公共点时，求的取值范围．
【答案】(1)①，图见解析；②；③或
(2)

【分析】（1）①将代入求解即可；②将和分别代入对应解析式求解即可；③结合图象，将和代入对应解析式求解即可；
（2）结合图象得当函数的图象与线段有两个公共点时，与直线交点在线段上方，与直线交点在上或线段上方，即可．
（1）
解：①当时，分段函数表示为，
在平面直角坐标系内画出相应的函数图象如下：

②当时，函数随增大而增大，
当时，，当时，，
∴，
当时，函数随增大而减小，
当时，，当时，，
∴，
综上所述，当时，；
③∵时，，
时，，
时，，
∴结合图象可得时，或；
（2）
解：如图，

当函数的图象与线段有两个公共点时，
与直线交点在线段上方，
与直线交点在上或线段上方，
∴，解得．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，根据图象分类讨论求解．