新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 5.1 任意角与弧度制(2份打包，原卷版+教师版)

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§5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
学习目标　
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.
2.了解象限角的概念.
3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.

知识点一　任意角
1.角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
2.角的表示：
如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O.

3.角的分类：
名称
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角

负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角

零角
一条射线没有做任何旋转形成的角


知识点二　角的加法与减法
设α，β是任意两个角，﹣α为角α的相反角.
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α﹣β：α﹣β＝α＋(﹣β).
知识点三　象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
思考　“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？
答案为：锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角.
知识点四　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
思考　终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
答案为：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同.

1.第二象限角是钝角.(　 　)
2.终边与始边重合的角为零角.(　 　)
3.终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(　 　)

一、任意角的概念
例1　(多选)下列说法，不正确的是(　　)
A.三角形的内角必是第一、二象限角
B.始边相同而终边不同的角一定不相等
C.钝角比第三象限角小
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
反思感悟　理解与角的概念有关问题的关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.
跟踪训练1　经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　)
A.60°，720° B.﹣60°，﹣720° C.﹣30°，﹣360° D.﹣60°，720°




二、终边相同的角
例2　已知α＝﹣1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)﹣360°～720°之间的角.




反思感悟　终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
跟踪训练2　(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于(　　)
A.120°＋k·360°，k∈Z B.120°＋k·180°，k∈Z
C.240°＋k·360°，k∈Z D.240°＋k·180°，k∈Z

(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是(　　)
A.﹣37° B.143° C.379° D.﹣143°
三、象限角及区域角的表示
例3　(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　)
A.﹣200° B.100° C.220° D.420°

(2)如图所示.

①写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.






反思感悟　(1)象限角的判定方法
①根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.
②将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的.
(2)表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的﹣360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
跟踪训练3　已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.







确定nα及所在的象限
典例　已知α是第二象限角：
(1)求角所在的象限；
(2)求角2α所在的象限.







[素养提升]　分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n﹣1.然后方可下结论.几何法依据数形结合，简单直观.通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养.

1.与﹣30°终边相同的角是(　　)
A.﹣330° B.150° C.30° D.330°

2.2 020°是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

3.与﹣460°角终边相同的角可以表示成(　　)
A.460°＋k·360°，k∈Z B.100°＋k·360°，k∈Z
C.260°＋k·360°，k∈Z D.﹣260°＋k·360°，k∈Z

4.若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　)
A.120° B.﹣120° C.﹣60° D.60°

5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________________.


1.知识清单：
(1)任意角的概念.
(2)终边相同的角.
(3)象限角、区域角的表示.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.










1.(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是(　　)
A.160° B.480° C.﹣960° D.1 530°

2.与﹣457°角的终边相同的角的集合是(　　)
A.{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D.{α|α＝﹣263°＋k·360°，k∈Z}

3.下面各组角中，终边相同的是(　　)
A.390°，690° B.﹣330°，750° C.480°，﹣420° D.3 000°，﹣840°

4.若α是第四象限角，则180°﹣α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角

5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)

A.{α|﹣45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|﹣45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
D.{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}

6.50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________.

7.与﹣2 020°角终边相同的最小正角是________；最大负角是________.

8.在0°～360°范围内，与角﹣60°的终边在同一条直线上的角为________.


9.已知α＝﹣1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且﹣720°≤θ<0°.





10.写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合.







11.(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

12.若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　)
A.90°﹣α B.90°＋α C.360°﹣α D.180°＋α

13.终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　)
A.{α|α＝k·360°，k∈Z} B.{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°，k∈Z} D.{α|α＝k·90°，k∈Z}

14.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________.






15.设集合M＝{x|x=k×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x=k×180°＋45°，k∈Z}，那么(　　)
A.M＝N B.N⊆M C.M⊆N D.M∩N＝∅

16.已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小.



















5.1.2　弧度制
学习目标　
1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.
2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.

知识点一　度量角的两种制度
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的
弧度制
定义
以弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角

知识点二　弧度数的计算

思考　比值与所取的圆的半径大小是否有关？
答案为：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.
知识点三　角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数




知识点四　弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
思考　扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？
答案为：扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高.

1.18°＝________ rad.
答案为：
2.＝________.
答案为：54°
3.若α＝，则α是第________象限角.
答案为：一
4.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________.
答案为：6π
解析：扇形的面积为×62×＝6π.

一、角度制与弧度制的互化
例1　把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)﹣300°；(3)2；(4)﹣.
解：(1)72°＝72×＝；
(2)﹣300°＝﹣300×＝﹣；
(3)2＝2×°＝°；
(4)﹣＝﹣°＝﹣40°.
反思感悟　角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数.
跟踪训练1　已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.
解：α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝，∵<<1<，∴α<β<γ<θ＝φ.
二、用弧度制表示有关的角
例2　将﹣1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？
解：﹣1 125°＝﹣1 125×＝﹣＝﹣8π＋.
其中<<2π，因为是第四象限角，所以﹣1 125°是第四象限角.
延伸探究
若在本例的条件下，在[﹣4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合.
解：依题意与α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z，
由﹣4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z，知k＝﹣2，﹣1,0,1，
所以所求角的集合为.
反思感悟　用弧度制表示终边相同角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练2　(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　)
A.{β|β=﹣＋2kπ,k∈Z} B.{β|β=﹣＋k•360°,k∈Z}
C.{β|β=＋2kπ,k∈Z} D.{β|β=＋2kπ,k∈Z}
答案为：D
解析：150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为{β|β=＋2kπ,k∈Z}.
(2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合.

解：终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，
即θ＝＋2kπ，k∈Z.
终边落在射线OB上的角为θ＝﹣30°＋k·360°，k∈Z，
即θ＝﹣＋2kπ，k∈Z，
故终边落在阴影部分的角θ的集合为{θ|﹣＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z}.
三、扇形的弧长、面积
例3　(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.
解：设扇形弧长为l，
因为圆心角72°＝72×＝ rad，
所以扇形弧长l＝|α|·r＝×20＝8π，
于是，扇形的面积S＝l·r＝×8π×20＝80π.
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.
解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
依题意有
①代入②得R2﹣5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去.
当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝(rad).
综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.
延伸探究
已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
则l＋2r＝4，所以l＝4﹣2r，
所以S＝l·r＝×(4﹣2r)×r＝﹣r2＋2r＝﹣(r﹣1)2＋1，
所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，
因此，θ＝＝＝2(rad).

(学生)
反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π).
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
跟踪训练3　若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积.
解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，
∵216°＝216×＝，∴l＝α·r＝r＝30π，解得r＝25，
∴S＝lr＝×30π×25＝375π.

1.下列说法中，错误的是(　　)
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案为：D
解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误.
2.若α＝﹣2 rad，则α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案为：C
3.时针经过一小时，转过了(　　)
A. rad B.﹣ rad C. rad D.﹣ rad
答案为：B
解析：时针经过一小时，转过﹣30°，又﹣30°＝﹣ rad.
4.与60°终边相同的角可表示为(　　)
A.k·360°＋(k∈Z) B.2kπ＋60°(k∈Z)
C.2k·360°＋60°(k∈Z) D.2kπ＋(k∈Z)
答案为：D
5.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为________.
答案为：
解析：设扇形的半径为r，弧长为l，
由题意可知所以所以S＝lr＝.

1.知识清单：
(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)扇形的弧长与面积的计算.
2.方法归纳：消元法.
3.常见误区：弧度与角度混用.


1.角终边所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案为：A
解析：π＝2π＋，是第一象限角，故是第一象限角.
2.若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则(　　)
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
答案为：B
解析：∵l＝αR，∴α＝.当R，l均变为原来的2倍时，α不变.
而S＝αR2中，∵α不变，∴S变为原来的4倍.



3.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°﹣315°(k∈Z) D.2kπ＋(k∈Z)
答案为：CD
解析：A，B中弧度与角度混用，不正确；＝2π＋，所以与终边相同.
﹣315°＝﹣360°＋45°，所以﹣315°也与45°终边相同，即与终边相同.
4.集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

答案为：C
解析：k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).
5.(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)
A. B. C. D.
答案为：AD
解析：设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角为2α或2π﹣2α，由于弦长等于半径，
所以可得2α＝或2π﹣2α＝，解得α＝或α＝.
6.﹣135°化为弧度为________，化为角度为________.
答案为：﹣　660°
解析：﹣135°＝﹣135×＝﹣；＝×180°＝660°.
7.在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________.
答案为：　48
解析：α＝＝＝，S＝l·r＝×12×8＝48.


8.若α为三角形的一个内角，且α与﹣的终边相同，则α＝________.
答案为：.
解析：﹣＝﹣4π＋，所以与﹣终边相同的角为＋2kπ，k∈Z，
又α∈(0，π)，故α＝.
9.已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[﹣4π，0]上找出与α终边相同的角.
解：(1)因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，所以角α与的终边相同，
又<<π，所以角α是第二象限的角.
(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，
所以由﹣4π≤2kπ＋≤0，得﹣≤k≤﹣.
因为k∈Z，所以k＝﹣2或k＝﹣1.
故在区间[﹣4π，0]上与角α终边相同的角是﹣，﹣.
10.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解：(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·AB＝×10×5＝25，
∴S＝S扇形﹣S△AOB＝25(﹣).

11.(多选)下列表示中正确的是(　　)
A.终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B.终边在第二象限角的集合为{α|＋2kπ<α<π＋2kπ,k∈Z}
C.终边在坐标轴上角的集合是{α|α=,k∈Z}
D.终边在直线y＝x上角的集合是{α|α=＋2kπ,k∈Z}
答案为：ABC
解析：A，B显然正确.对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α|α=＋kπ,k∈Z}，其并集为{α|α=,k∈Z}，故C正确；对于D，终边在y＝x上的角的集合为{α|α=＋2kπ,k∈Z}或{α|α=＋2kπ,k∈Z}，其并集为{α|α=＋kπ,k∈Z}，故D不正确.
12.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是(　　)
A. B. C. D.
答案为：B
解析：由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是×2π＝.
13.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为(　　)
A. B. C. D.
答案为：C
解析：如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R，

∴弧长l＝R，∴α＝＝＝.

14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________ m2(精确到1 m2).

答案为：9
解析：＝120°，根据题意，弦＝2×4sin ＝4(m)，矢＝4﹣2＝2(m)，
因此弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2).

15.若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x﹣有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)
A.α＋β＝0 B.α﹣β＝0
C.α＋β＝2kπ(k∈Z) D.α﹣β＝2kπ＋(k∈Z)
答案为：D
解析：因为α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x﹣＋2k2π(k2∈Z)，
所以α﹣β＝＋2(k1﹣k2)π(k1∈Z，k2∈Z).
因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1﹣k2∈Z.所以α﹣β＝＋2kπ(k∈Z).
16.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长.

解：如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒，

则t·＋t·|﹣|＝2π，所以t＝4，即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒.
P点走过的弧长为×4＝，Q点走过的弧长为×4＝.