初中人教版17.1 勾股定理优秀课时练习

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17.1.1 勾股定理

勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么。
变式：，，,,.
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
勾股定理的证明方法：
方法一（图一）：，，化简可证．
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为，所以
方法三（图三）：，，化简得证

勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
常见的勾股数：如；；；等
扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：
1）（为正整数）；
2）（为正整数）
3）（，为正整数）
注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
 
【题型一】勾股数（树）问题
【典题】（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）下列各组数是勾股数的是（　　）
A．3，5，7 B．5，7，9 C．3，5，4 D．2，2，3
巩固练习
1．（ê）（2022秋·江苏·八年级期末）在下列各数中，不是勾股数的是（   ）
A．5，12，13 B．8， 12， 15 C．8， 15，17 D．9，40，41
2．（êê）（2022秋·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考期中）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（  ）

A．47 B．62 C．79 D．98
3 （ê）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为______．
【题型二】利用勾股定理解三角形
【典题】（2022春·山东滨州·八年级校考期中）如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(　　)
A．48 B．60
C．76 D．80
巩固练习
1．（êê）（2022秋·河南平顶山·八年级校联考期中）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（　　）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
2（ê）（2022春·福建福州·八年级福建省福州格致中学校考期中）已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长(   )
A．4 B．16 C． D．4或
3．（êê）（2022春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（    ）
A．1 B． C． D．
4．（ê）（2022春·安徽合肥·八年级校考期中）在中，若两直角边，满足，则斜边的长度是______．
5．（ê）（2022春·甘肃张掖·八年级校考期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．



6．（êê）（2022春·广东湛江·八年级雷州四中校考期中）细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；
，…
(1)直接写出：______．
(2)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律：______=______，______；
(3)求出的值．




【题型三】已知两点坐标利用勾股定理求两点距离
【典题】（2022秋·四川成都·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（　　）

A． B． C．13 D．5
巩固练习
1．（ê）（2022春·山东临沂·八年级统考期中）点P（－3，4）到坐标原点的距离是（    ）
A．3 B．4 C．－4 D．5
2．（êê）（2022春·贵州贵阳·八年级统考期中）如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标不可能是（  ）

A．（2，0） B．（4，0）
C．（－，0） D．（3，0）
3．（êêê）（2022秋·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期中）代数式的最小值为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．11
4．（ê）（2022春·广东阳江·八年级校考期中）在直角坐标系中，已知点，，则线段AB的长度为（     ）.
A．117 B． C．1 D．7
5．（êê）（2022春·山东临沂·八年级统考期中）已知a，b均为正数，且，求的最小值_______．
6．（êê）（2022秋·广东佛山·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，是轴上的一个动点，且三点不在同一条直线上．
(1)求的长；
(2)求的周长的最小值．



【题型四】计算以直角三角形三边为边长的图形面积
【典题】 （2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，字母B所代表的正方形的面积是（    ）

A．194 B．144 C．13 D．12
巩固练习
1．（ê）（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为3和4，则b的面积为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．7
2．（êê）（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（    ）

A．2 B．3 C． D．
3．（ê）（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．3 B． C． D．
4．（ê）（2022秋·四川成都·八年级石室中学校考期中）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形、若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是___．

5．（ê）（2022秋·江西抚州·八年级统考期末）根据勾股定理知识迁移，完成下列应用．

(1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________；
(2)应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，分别以三边为直径作半圆，若，，求图中阴影部分的面积．


6．（êêê）（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，

(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）
(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个．
(3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______．



【典题】（2022春·广西钦州·八年级统考期中）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中，将连接任意两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能为（    ）

A． B． C． D．5
巩固练习
1．（ê）（2022春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是ABC的高，则BD的长为（    ）

A． B． C． D．
2．（ê）（2022春·四川绵阳·八年级统考期中）如图，各小方格的边长为1，△ABC的各顶点都在个点上，则BC边上的高等于（  ）

A．2.5 B．2.6 C．1.7 D．1.6
3．（ê）（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，在的方格纸中，小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，在图中格点上找一点C，使得的面积为，满足条件的点C有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（ê）（2022秋·重庆南岸·八年级统考期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么n次操作后的图形中所有正方形的面积和为_____．

5（ê）（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则ED的长是____．

6．（ê）（2022秋·陕西宝鸡·八年级统考期中）如下图，已知每个小正方形的面积都为1，给出点C，请你按要求设计△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC．
(1)AB的长为无理数，AC，BC的长均为有理数；
(2)AB的长为有理数，AC，BC的长均为无理数；
(3)三边的长均为无理数．
【题型六】勾股定理与折叠问题
【典题】（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（    ）

A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm
巩固练习
1．（ê）（2022秋·江苏·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ）

A． B．3 C． D．
2．（êê）（2022春·重庆大足·八年级重庆市大足中学校考期中）如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
3．（êê）（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在中，，cm，cm，点、分别在、边上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值为（    ）

A．0 B．2 C．4 D．6
4．（êê）（2022春·重庆江津·八年级校联考期中）如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是__________  

5．（ê）（2022春·河南洛阳·八年级统考期中）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．

6．（êê）（2022秋·福建三明·八年级统考期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝10，折叠纸片的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕，请回答下列问题：
（1）求线段DE的长度；
（2）若点P为线段AE上的一个动点，连接BP和FP，则线段BP+FP的最小值是 　 　．

【题型七】勾股定理的证明方法
【典题】（2022春·广西百色·八年级统考期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（ê）（2022春·广西南宁·八年级统考期末）下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（êê）（2022春·湖北十堰·八年级统考期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B． C． D．
【题型八】以弦图为背景的计算题
【典题】（2022春·广西钦州·八年级统考期中）如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么的值为（    ）

A．23 B．24 C．25 D．26
巩固练习
1．（ê）（2022秋·山西太原·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
2．（ê）（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：
①，②，③，④.其中说法正确的是(   )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
3．（ê）（2022春·广东湛江·八年级校考期末）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为____．

4．（ê）（2022春·江西上饶·八年级统考期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明：a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．

5．（ê）（2022春·安徽合肥·八年级统考期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．

6．（êê）（2022春·山东潍坊·八年级统考期中）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．

(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若，，此时空白部分的面积为__________；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积．




7．（êê）（2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十八中学校考期中）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．

【题型九】勾股定理与无理数
【典题】（2022春·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期中）如图，点A表示的实数是（    ）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
巩固练习
1（ê）（2022春·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期中）如图，点A表示的实数是（    ）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
2．（ê）（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（ ）

A． B． C． D．
3．（êê）（2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十八中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C表示的实数介于（    ）

A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
4．（ê）（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）（1）用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点A．（要求；不写作法，保留作图痕迹）
（2）若数轴上的另一点B与点A关于1所在的点对称，则点B对应的数是______．

5．（ê）（2022春·北京·八年级北京市陈经纶中学分校校考期中）利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足，使其中a，b都为正整数.你取的正整数a=____，b=________；
第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，，则斜边OF的长即为.
请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤：_______________________________________________________________.