初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理优秀达标测试

17.2 勾股定理逆定理

勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边

【注意】

1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；

2)定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边

3)勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

直角三角形的性质与判定

性质：1）直角三角形的两个锐角互余。

2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3）直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。

判定：1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

【题型一】判断三边能否构成直角三角形

【典题】（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（     ）

A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4

C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5

巩固练习

1．（）（2022春·河南漯河·八年级统考期中）已知三角形的三边长a、b、c满足＋ ＋|c－|＝0，则三角形的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定

2．（）（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）若的三边长a、b、c满足，那么是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．钝角三角形

3．（）（2022春·山东济宁·八年级统考期末）△ABC的三边的长a、b、c满足：，则△ABC的形状为（    ）．

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

4．（）（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一三四中学校考期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ）

A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23

5．（）（2022春·山东济宁·八年级统考期中）若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是__________.

6．（）（2022春·广东江门·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：

（1）△ABC的周长；

（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？

【题型二】在网格中判断直角三角形

【典题】（2022秋·山西晋中·八年级统考期末）如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定

 巩固练习

1．（）（2022春·广西贺州·八年级统考期中）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　）

A．B．C． D．

2．（）（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上AD⊥BC于点D，则AD的长为（    ）

A．5 B．3 C．5 D．2

3．（）（2022春·广西南宁·八年级三美学校校考期末）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则与的大小关系为（    ）

A． B． C． D．无法确定

4．（）（2022秋·四川乐山·八年级统考期末）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．

（1）求△A的面积．

（2）通过计算判断的形状．

5．（）（2022春·福建福州·八年级福建省福州格致中学校考期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．

【题型三】利用勾股定理逆定理求解

【典题】（2022春·福建福州·八年级校考期中）在△ABC中，点D在边BC上，若AD2+BD2＝AB2，则下列结论正确的是（　　）

A．∠BAC＝90° B．∠BAD＝90° C．∠ABD＝90° D．∠ADB＝90°

巩固练习

1．（）（2022秋·福建三明·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD=，CD=2，BC=3，AB=5，求四边形ABCD的面积为(    )．

A． B． C． D．

2．（）（2022春·安徽六安·八年级统考期中）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）

A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3

C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5

3．（）（2022春·广东佛山·八年级校考期中）己知为的平分线，M为上一点，P为上一点，若，，，则点P到射线的距离为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．

4．（）（2022秋·陕西榆林·八年级统考期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．

（1）求证：△BDC是直角三角形；

（2）求AC的长．

【题型四】勾股定理逆定理的实际应用

【典题】（2022春·广东中山·八年级统考期中）在海面上有两个疑似漂浮目标． 接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行． 同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（    ）

A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°

 巩固练习

1．（）（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应沙区创文创卫，美化小区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D作垂直于AB的小路DE．经测量，米，米，米，米．

（1）求BD的长；

（2）求小路DE的长．

2．（）（2022秋·重庆黔江·八年级统考期末）如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积．

3．（）（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，把一块直角三角形（，）土地划出一个三角形（）后，测得米，米，米，米．

（1）求证：；

（2）求图中阴影部分土地的面积．

4．（）（2022春·河北保定·八年级统考期中）我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．

（1)求出空地ABCD的面积．

（2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？

5．（）（2022春·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，千米，千米．

(1)求小溪流AC的长．

(2)求四边形ABCD的面积．（结果保留根号）

6．（）（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？