【同步知识讲义】人教版数学八年级下册-19.1 函数 知识点剖析讲义（原卷版+解析版）

        19.1 函数

变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。

常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。

【注意】1）变量可变，而常量不变。

2）常量和变量的区分：在某个变化过程中该量的值是否发生变化。

函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

【函数概念的解读】1）有两个变量。 

2）一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。

3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。

函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

确定函数定义域的方法： 1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；

4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

5）实际问题中函数定义域要和实际情况相符合，使之有意义。

函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。

函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围。

函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：

1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。

2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。

函数的三种表示法及其优缺点

解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

【题型一】理解函数

【典题】（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）下列表达式中，y不是x的函数的是（　　）

A． B． C． D．

巩固练习

1．（）（2022秋·安徽六安·八年级统考期中）如图，下列各曲线中，不是的函数的是（     ）

A．B．C．D．

2．（）（2022秋·浙江金华·八年级校联考期末）下列图形中，不能表示是函数的是（    ）

A．B．C． D．

3．（）（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）下列图象中表示y是x的函数的有几个（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【题型二】求自变量的取值范围

【典题】（2022秋·山西·八年级期末）函数的自变量的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

 巩固练习

1．（）（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）函数中，自变量x的取值范围是（    ）

A． B．且 C． D．且

2．（）（2022秋·全国·八年级期中）下列函数中，自变量取值范围是的是（   ）

A． B． C． D．

3．（）（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）函数的自变量x的取值范围是（    ）

A．且 B．且 C． D．且

【题型三】求自变量的值或函数值

【典题】（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）如图所示，表示了自变量x与因变量y的关系，当输入x的值是时，输出y的值是（    ）

A．2 B． C．4 D．

巩固练习

1．（）（2022秋·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）据史书记载，漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．研究发现水位与时间满足，当h为时，时间t的值为（　　）

A． B．

C． D．

2．（）（2022秋·辽宁本溪·八年级统考期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为和5时，输出的y的值相等，则b等于（    ）．

A．4 B． C． D．2

3．（）（2022春·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）若函数，则当自变量x＝4时，函数值是（     ）

A．18 B．8 C．18或8 D．无法判断

【题型四】用表格、关系式、图象表示变量之间的关系

【典题】（2022春·河北石家庄·八年级校联考期中）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的某一时刻数据显示牌，则其中的变量是（    ）

A．金额 B．金额和数量 C．数量 D．单价

 巩固练习

1．（）（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系，下列说法不正确的是（    ）

A．弹簧不挂重物时的长度为0cm

B．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量

C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm

D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为23.5cm

2．（）（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）一部电影的票价为每张35元，某日共售出张该电影的电影票，票房收入为元，在这个问题中，因变量是（    ）

A．35 B．和 C． D．

3．（）（2022春·西藏昌都·八年级统考期末）圆的周长公式是，那么在这个公式中，关于变量和常量的说法正确的是（    ）

A．2是常量，C、、r是变量 B．2、是常量，C、r是变量 

C． 2是常量，r是变量 D．2是常量，C、r是变量

4．（）（2022秋·浙江·八年级期末）如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AC自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（    ）

A．的度数 B．BC的长度 C．C的面积 D．AC的长度

【题型五】函数图象的识别

【典题】 （2022秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度与注水时间之间的函数图象大致是（    ）

A．B．C．D．

巩固练习

1．（）（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，水槽底部叠放着两个实心圆柱，现向无水的水槽中注水直至注满．水槽中水面上升高度y与注水时间x之间的函数关系，大致是下列图像中的（    ）．

A．B．C．D．

2．（）（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期中）石家庄客运总站有一辆客车从石家庄开往聊城，行驶一段时间后在服务区停留休息，第二次出发提速行驶，一段时间后又在服务区停留休息，再出发时速度与第二次的相同，最后到达聊城，设客车出发后所用的时间为（h），与聊城相距（km），则与的函数关系式大致是（　　）

A．B．C． D．

3．（）（2022春·四川眉山·八年级校考期中）小明骑车沿直线匀速前行，他前进了6千米后，原地休息了一会儿，又往回骑了3千米，接着又调头骑了9千米．下列能反映小明离开的距离与骑车时间的函数关系的大致图象是（   ）

A． B． C．D．

【题型六】从函数图象获取信息

【典题】 （2022秋·安徽六安·八年级统考期末）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：

①火车的长度为100米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为1050米．其中正确的结论是（    ）

A．②③ B．①② C．③④ D．①④

巩固练习

1．（）（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，小李先出发行驶后小陆出发，他们离出发地的距离s（）和行驶时间t（h）之间的关系图像如图所示，根据图中的信息，有下列说法：

①他们都行驶了；        ②小陆全程共用了；

③小陆出发后，小陆和小李相遇；    ④小李在途中停留了

其中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（）（2022秋·河北保定·八年级校考期中）如图，甲、乙两汽车从A城出发前往B城，在整个行程中与时间t的对应关系如图所示．下列结论：①A，B两城相距；②行程中甲、乙两车的速度比为2：3；③乙车于7：20追上甲车；④9：00时，甲、乙两车相距，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．（）（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考期中）如图是合肥某天的气温变化曲线，则这天合肥市的气温日温差是（    ）

A． B． C． D．

4．（）（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）第十七届省运会在金华隆重举行．一批射击运动员分别乘坐甲乙两辆大巴同时从居住地前往比赛场馆．行驶过程中，大巴甲因故停留一段时间后继续驶向比赛场馆，大巴乙全程匀速驶向比赛场馆．两辆大巴的行程随时间变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是（    ）

A．大巴甲比大巴乙先到达比赛场馆 B．大巴甲中途停留了

C．大巴甲停留后用追上大巴乙 D．大巴甲停留后的平均速度是