初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角本节综合当堂检测题

专题02角度计算经典压轴大题专训

【精选最新30道角度计算经典压轴大题】

1．（2023春·北京怀柔·七年级统考期末）如图，直线与的两边交于，两点，，点是边上一个动点，连接．

(1)过点作，交射线于点，依题意补全图形，

①直接写出的度数（用含α的式子表示）；

②若点，在，的延长线上，并且直线，当平分时，求的度数（用含的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点作交射线于点，通过转化角可以求出的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出的度数．

(2)参考小林思考问题的方法，解决问题：若点，在，的延长线上，并且直线，当点在上运动时，直接用含的等式表示，，的数量关系．

2．（2023春·福建福州·七年级统考期末）在中，，点在射线上运动（点不与、重合），连接，过点作，垂足为，交射线于点．

(1)如图1，当点在线段上时，过点作交于．求证：；

(2)如图2，作的角平分线和的角平分线且相交于点，随着点的运动，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由．

(3)如图3，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于，的角平分线与的角平分线的反向延长线相交于点，的度数会变化吗？请说明理由．

3．（2023春·浙江宁波·七年级统考期末）【基础巩固】（1）如图1，已知，求证：；

【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，，求的度数；

【拓展提高】（3）如图3，在四边形中，，点E是线段上一点，若平分，．

①试求出的度数；

②已知，，点G是直线上的一个动点，连接并延长．

2.1若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，________；

2.2如图4，若是的平分线，与的延长线交于点F，与交于点P，且，则________（用含的代数式表示）．

4．（2023春·四川·七年级统考期末）如图，在四边形中，，，延长到点，是的平分线，是的平分线．

(1)如图1，当时，求证：；

(2)如图2，当时，直线交直线于点，问与，之间有何数量关系？写出你的结论并证明；

(3)如果将（2）中的条件改为，那么与，之间又有何数量关系？请直接写出结论，不用证明．

5．（2023春·浙江·七年级统考期末）如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．

(1)如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线（与光线平行，且，则_______°，______°；

(2)如图3，有三块平面镜，，，入射光线与镜面的夹角，镜面，的夹角，当光线经过平面镜，，的三次反射后，入射光线与反射光线平行时，请求出的度数；

(3)如图4，在（2）的条件下，在，之间再照射一条光线，经过平面镜，两次反射后反射光线与交于点，请探究与的数量关系．

6．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）已知，、直线分别交、于点，、．点在直线的左侧，射线平分．

(1)如图1，若，直接写出与的度数；

(2)点在直线的左侧，，，直线与直线相交于点．

①如图2，当点在直线上方时，设，用含的式子分别表示与；

②若，请直接写出此时的度数．

7．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）平面内有两个锐角与，点B在直线的上方．保持不动，且的一边，另一边与直线相交于点F．

(1)若，，且位置如图1，当点E，O，D在同一条直线上（即点O与点F重合）时， ________°；

(2)若，，，当点E，O，D不在同一条直线上，画出图形并求的度数（用含α，β的式子表示）．

8．（2023春·广东广州·七年级校考期中）如图1，已知直线，，射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后停止运动，此时也同时停止运动.其中，满足方程组

(1)求，的值；

(2)如图2，若与同时开始转动，在第一次到达之前，与交于点，过点作于点，交直线于点，则在运动过程中，若设的度数为，请求出的度数（结果用含的代数式表示）；

(3)若先运动30秒，然后一起运动，设运动的时间为，当运动过程中时，求的值.

9．（2023春·江苏常州·七年级校考期中）如图，直线，，分别交，于点、，射线、分别从、同时开始绕点顺时针旋转，分别与直线交于点、，射线每秒转，射线每秒转，，分别平分，，设旋转时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示：________°，________°；

(2)当时，________；

(3)试探索与之间的数量关系，并说明理由；

(4)若的角平分线与直线交于点，的度数是________．

10．（2023春·广东深圳·七年级统考期中）已知，点在直线、之间，连接、．

(1)探究发现：探究，，之间的关系．

如图1，过作，

（）

（已知）

（）

；

(2)解决问题：

①如图2，延长至点，作的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，试判断与的数量关系并说明理由；

②如图3，若，分别作，，、分别平分，，则的度数为（直接写出结果）．

11．（2023·全国·八年级假期作业）（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，请直接写出与的关系：　　．

（2）如图2，把分别沿、折叠，使点A落在点处，使点B落在点处，若，则　　°

（3）如图3，在锐角中，于点M，于点N，、交于点H，把沿折叠使点A和点H重合，则与的关系是　　．

A．    B．

C．    D．

（4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点A与点H重合，若，求的度数．

12．（2023春·湖北武汉·七年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）已知，点M、N分别在直线上，与的平分线所在的直线相交于点F．

(1)如图1，点E、F都在直线之间且时，的度数为___________；

(2)如图2，当点E在直线之间，F在直线下方时，若，求的度数；

(3)如图3，当点E在直线上方，F在直线与之间时，直接写出与之间的数量关系为___________．

13．（2023春·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）如图，直线，点E、F分别是、上的动点（点E在点F的右侧），点M为线段上的一点，点N为射线上的一点，连接且．

(1)如图1，若，则______；

(2)如图2，连接，且恰好平分，，求的度数；

(3)过点M作于H，G在射线上，连接，，若平分，，，求的度数．

14．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）如图1，直角与直角的斜边在同一直线上，，，平分，将绕点D按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中，

(1)如图2，当等于多少时，？

(2)如图2，当________________时，与的一边平行；

(3)如图3，当顶点C在内部时（不包含边界），边分别交的延长线于点M、N，

①与度数的和是否变化？若不变，求出与的度数和；若变化，请说明理由；

②若使得，求的度数范围（直接写出结论）．

15．（2022春·江西抚州·七年级临川一中校考期中）已知：，平分，点分别是射线、、上的动点（不与点重合），连接交射线于点.设．

(1)如图1，若，则：

①的度数是________；

②如图2，当时，试求的值（要说明理由）；

(2)如图3，若，则是否存在这样的的值，使得中有两个相等的角？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．（自己画图）

16．（2022秋·湖南衡阳·七年级统考期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．

【概念理解】

(1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°；

(2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°；

(3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由；

【应用拓展】

(4)如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是开心中的一个开心角，设，求的度数．

17．（2023春·辽宁大连·七年级校联考期中）（1）已知，如图，直线，点在和之间，点在上，点在上，直接写出，，之间的数量关系；

（2）已知直线，点，在直线上，点、在直线上，和交于点，、的平分线交于点，如图．

①若，，则 ______ ；

②探究与的数量关系；

（3）在（2）条件下，将线段向左平移，使点移动到点的左侧，如图，其它条件不变，若，，求的度数（用含的式子表示）．

18．（2023春·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）图1，线段相交于点O，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于．试解答下列问题：

(1)在图1中，请直接写出与之间的数量关系为；

(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；

(3)图2中，和为任意角时，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系？说明理由

(4)应用：如图2，当时，直接说出的度数．

19．（2023春·江苏·七年级期中）【概念认识】如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．

(1)如图②，在中，，，若的三分线交于点D，则　　°；

(2)如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；

【延伸推广】

(3)在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，，直接写出的度数．(用含m、n的代数式表示)

20．（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）如图1，的平分线与的平分线交于点E，，则的大小是　　；

（2）如图2，的平分线与的平分线交于点E，，求的大小；（用含的代数式表示）

（3）如图3，在中，，是的角平分线，点E是延长线上一点，作与点F，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．

21．（2023春·七年级课时练习）如图，，相交于点，，.

(1)求证：；

(2)若，求的度数；（用含的式子表示）

(3)若点在上，连接，平分交于点，如图所示，直接写出、、的数量关系　　.

22．（2023春·辽宁大连·七年级校考阶段练习）如图1是一张长方形的纸片，将这张长方形的纸片沿折叠成图1的形状．

张明同学发现折叠之后，四边形与四边形是完全相同的图形，因此折痕恰好是的平分线．

(1)图1中，若时，求的值；

(2)将长方形纸片的右边沿着折叠，左边沿着折叠，如图2所示，若两条折痕形成的夹角，求与形成的夹角的度数．

(3)将长方形纸片的右边沿着折叠，左边沿着折叠，如图3所示，试探究两条折痕形成的夹角与、形成的夹角之间的数量关系．

23．（2023春·江苏·七年级期末）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

【问题再现】

(1)如图1，在中，、的角平分线交于点P，，则______°；

【问题解决】

(2)如图2，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，求的度数；

【问题推广】

(3)如图3，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，直接写出______°；

【拓展提升】

(4)在四边形中，，点F在射线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点Q，若，，直接写出和α，β之间的数量关系．

24．（2023春·江苏·七年级期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．

（1）①如图1，中，，则的三条高所在的直线交于点；

②如图2，中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写面法，保留作图痕迹）．

【综合应用】

（2）如图3，在中，，平分，过点作于点．

①若，则；

②请写出与，之间的数量关系；

【拓展延伸】

（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比．如图，是上一点，则有．如图，中，M是上一点＝，N是的中点，若三角形的面积是m，请直接写出四边形的面积．（用含的代数式表示）

25．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知：如图，直线，于点C，连接且分别交直线a、b于点E、F．

(1)如图①，若和的角平分线、交于点M，请求的度数；

(2)如图②，若的角平分线分别和直线及的角平分线的反向延长线交于点N和点M，试说明：；

(3)如图③，点M为直线a上一点，连接，的角平分线交直线a于点N，过点N作交的角平分线于点Q，若记为，请直接用含的代数式来表示．

26．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）如图，，点，分别在直线，上，点在直线和之间．

(1)求证：．

(2)如图，，点在直线上，且，求证：．

(3)如图，平分，平分，且．若，，求的度数．

27．（2023秋·八年级单元测试）【阅读理解】

三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于．

如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

【初步应用】

如图③，点D，E分别是的边延长线上一点，

（1）若，则______；

（2）若，则______；

（3）若，则______．

【拓展延伸】

如图④，点D，E分别是的边延长线上一点，

（4）若，分别作和的平分线交于点O，则______；

（5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______；

（6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______．

28．（2023春·七年级单元测试）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补．

(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；

(2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：；

(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请直接写出其值．

29．（2023春·七年级课时练习）【认识概念】如图1，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“近三分线”，是“远三分线”．

【理解应用】

(1)在中，，，若的三分线与的角平分线交于点，则　　；

(2)如图2，在中，、分别是的近三分线和近三分线，若，求的度数；

【拓展应用】

(3)如图3，在中，、分别是的远三分线和远三分线，且，直线过点分别交、于点、，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．

30．（2023春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知，直线，点、分别在直线、上，点是直线与外一点，连接、．

(1)如图1，若，，求的度数；

(2)如图2，过点作的角平分线交的延长线于点，的角平分线交的反向延长线交于点，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由；

(3)若点在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点，请直接写出与的数量关系．