专题03 三角形章末重难点题型专训-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

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专题03三角形章末重难点题型专训【题型目录】题型一三角形的识别与个数问题题型二三角形的分类题型三确定三角形第三边的取值范围题型四三角形三边关系的应用题型五与三角形的高有关的计算问题题型六根据三角形中线求长度、面积题型七三角形角平分线的应用题型八三角形内角和定理的应用题型九三角形外角性质的应用题型十直角三角形性质的应用题型十一多边形的内角与外角综合题型十二角度计算探究题【经典例题一三角形的识别与个数问题】【例1】（2021春·全国·七年级专题练习）根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(    )A．6(n-1) ； B．6n； C．6(n+1) ； D．12n；【变式训练】1．（2022·江西萍乡·统考一模）由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7个三角形．以下去掉3根的方法正确的是（    ）A． B． C． D．2．（2023·全国·八年级假期作业）已知：如图，试回答下列问题：（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．（2）以线段为公共边的三角形是___________．（3）线段所在的三角形是_______，边所对的角是________．3．（2020秋·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）题情景：在三角形纸片内部给定－些点，满足这些点连同三角形三个顶点没有三个点在一条直线上，以这些点为顶点，将纸片剪成－些小三角形纸片，一共能得到几个小三角形？问题解决：甲同学绘制了如下三个图，分别在三角形内部取1个点、2个点，如下图所示：继续探究：在三角形内部取三个点，画出分割的图形，并经过观察计数完成表格：拓展联系：当纸片是四边形时，探究此时内部所取点的个数与得到三角形个数的关系，完成表格：概括提升：设纸片的边数为m，内部点的个数为n，得到三角形的个数是x，请直接写出x与m、n的关系：______________．【经典例题二三角形的分类】【例2】（2022秋·八年级课时练习）下列说法：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③等腰三角形是特殊的等边三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；其中，说法正确的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（     ）个A．1 B．2 C．3 D．42．（2022秋·八年级课时练习）已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是______.（只填序号）3．（2023春·全国·七年级专题练习）满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．(1)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；(2)三个内角的度数之比为1:2:3.【经典例题三确定三角形第三边的取值范围】【例3】（2022秋·广东中山·八年级校考阶段练习）一个三角形的3边长分别是、，，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式训练】1．（2021秋·江苏盐城·七年级统考期末）已知线段AB＝9cm，AC＝5cm，下面有四个说法：①线段BC长可能为4cm；②线段BC长可能为14cm；③线段BC长不可能为3cm；④线段BC长可能为9cm．所有正确说法的序号是（    ）A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④2．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）小朦同学从五根长为，，，，的木条中挑选三根组成三角形，她已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取_____．3．（2023春·七年级单元测试）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．(1)求a的取值范围；(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【经典例题四三角形三边关系的应用】【例4】（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（　　）  A．7 B．8 C．9 D．10【变式训练】1．（2023·河北沧州·统考三模）有四根长度分别为2，4，5，（为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能围成一个三角形，则围成的三角形的周长（    ）A．最小值是8 B．最小值是9 C．最大值是13 D．最大值是142．（2022春·广东清远·七年级统考期末）已知a，b，c为△ABC的三边，且a，b满足关系式，若的周长为偶数，则的周长为__________．3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点．(1)试探究与的大小关系；(2)试探究与的大小关系；(3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系．【经典例题五与三角形的高有关的计算题】【例5】（2023·江苏·七年级假期作业）如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（　　）A．5 B．3 C．4 D．6【变式训练】1．（2023·江苏·七年级假期作业）如图中，，，，，是的角平分线，是边的中线，于点E，下列结论正确的有（　　）个①为中边上的高②线段、、中，线段的长度最短③若，则④D到的距离为．A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023春·江苏南京·七年级南京市第一中学校考阶段练习）在中，点，分别在，上，且与相交于点，已知的面积为，的面积为，的面积为，则四边形的面积为__．  3．（2023春·上海宝山·七年级校考期中）如图，在中，按下列要求画图并填空：  (1)画边上的高；(2)在上，连接，使得，请画出点；(3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______．【经典例题六根据三角形中线求长度、面积】【例6】．（2023春·河南驻马店·七年级校考阶段练习）如图，在中，是的中线，是的中线，，，垂足分别为，．若的周长为43，，，，则的长为（　　）  A．5 B． C．9 D．【变式训练】1．（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考阶段练习）如图，点A是直线l外一点，点B、C是直线l上的两动点，且，连接，点D、E分别为的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为5，则的最小值为（    ）  A．2 B．3 C．4 D．52．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，在中，是边上的中线，，与相交于点F，四边形的面积是18，则的面积为_______________3．（2023春·七年级单元测试）如图，已知，分别是的高和中线，，，，．试求：(1)的长；(2)的面积；(3)和的周长差．【经典例题七三角形角平分线的应用】【例7】（2023春·江苏·七年级期末）如图，为直角三角形，，为的平分线，与的平分线交于点E，是的外角平分线，与相交于点G，则与的和为（    ）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（   ）个．A．2 B．3 C．4 D．52．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）在中，，是的高，，的平分线交于点E，则____________°3．（2023春·河南驻马店·七年级校考阶段练习）综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在中，平分，于点D，过点D作分别交，于点E，F．  (1)问题解决：如图1，若，求的度数．(2)如图1，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．(3)问题拓展：如图2，若过点D作交于点G，连接，交于点O，试探究是否平分，并说明理由．【经典例题八三角形内角和定理的应用】【例8】（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）如图，将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（    ）  A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　）  A．或或 B．或或C．或或 D．或或2．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，一张三角形纸片中，，点在边上，先将纸片沿折叠，点落在点处，交于点（如图1），再将沿折叠，点恰好落在折痕上的点处，此时（如图2），则的度数是______．  3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）【延伸学习】学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：已知：如图1，D为三角形的边的延长线上一点，射线．求证：．  请你完成证明过程．【总结应用】①请用一句话概括以上证明的结论：；②如图2，D为三角形的边的延长线上一点，且，，求的度数．  【拓展推广】如图3，在三角形中，平分，，，，求的度数．  【经典例题九三角形外角性质的应用】【例9】（2023春·广西贵港·七年级统考期末）如图，和是由分别沿着，翻折后形成的，若，则的度数是（    ）  A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在中，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考阶段练习）如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q，延长线段，交于点E．在中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，则的度数为___________．  3．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，在中，比大．点是线段上任意一点，点分别在线段上．将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点都在射线上．  (1)______，______，_______．(2)如图1，当点都落在的延长线上时，与有什么数量关系？请说明理由．(3)如图2，当点落在线段上，点落在的延长线时，请直接写出与的数量关系．【经典例题十直角三角形性质的应用】【例10】（2022春·贵州贵阳·七年级校联考期末）如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是（　　）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022春·福建厦门·七年级厦门双十中学校考期中）如图，四边形中，，，点在线段上，平分，交于点，交延长线于点，若，，设，，则与的数量关系是（    ）A． B． C． D．2．（2022春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1＋∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①ABCD；②∠AEB＋∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠MAF＋∠NDA＝135°；⑤∠F＝135°，其中正确的有________（填写序号）3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在中，，交的延长线于D，于E，(1)如图1，若，，求的度数；(2)如图2，若平分，交的延长线于F，直接写出与相等的角（除外）．【经典例题十一多边形的内角与外角综合】【例11】（2022春·七年级单元测试）正五边形按如图所示的方式叠放在正六边形上，边互相重合，延长交于点，则的度数为（     ）A．141 B．144 C．147 D．150【变式训练】1．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图1，作平分线的反向延长线，现要分别以为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，而是 (多边形外角和)的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案．如图2所示，图2中的图案外轮廓周长是14．在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是（   ）A．14 B．16 C．19 D．212．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4对应的邻补角和等于220°，则∠BOD等于________．3．（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．  (1)该五边形广场的内角和是度；(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是度；(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）．【经典例题十二角度计算探究题】【例12】（2023春·江苏无锡·七年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论：①；②；③，④；其中正确的有（   ）个．A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练】1．（2023春·七年级课时练习）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：；；；；．其中正确的结论有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2023春·江苏盐城·七年级统考期末）如图，，，且，，则的度数为______°．  3．（2023春·福建龙岩·七年级统考期末）如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．  (1)求证：；(2)点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设，．①如图2，当点G在点F的右侧时，若，求的值，并说明理由；②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？并说明理由．【重难点训练】1．（2023春·河南郑州·七年级统考期末）如图，有一个角为的直角三角板放置在一个长方形直尺上，若，则的度数是（    ）  A． B． C． D．2．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）如图，在中，平分，于点，若，，则的度数为（       ）  A． B． C． D．3．（2023春·河北邢台·七年级校联考阶段练习）如图，沿折叠使点A落在点处，、分别是、平分线，若，，则（    ）  A． B． C． D．4．（2023春·福建福州·七年级统考期中）如图，，点E在上，，点O，M，N分别在，，上，，，则不可能取到的度数为（    ）  A． B． C． D．5．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如果一个多边形的内角和为，那么这个多边形是_______边形．6．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知，是的平分线，，，点、分别在、上，当______°时，恰有．  7．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）黑板上有一个数学问题如图8所示：如图，交于点C，平分交于E，，，M，N分别是，延长线上的点，和的平分线交于点F.  （1）直线和的位置关系是_________.（2）的值为________，的值为________.8．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）如图，中，点D、E分别是、的中点，连接、交于点F．当的面积为时，的面积为________．  9．（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考期末）如图，已知，．  (1)求证：；(2)连接，若，，，则___________．10．（2023春·广东梅州·八年级统考期末）研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？  【回顾】如图①，请直接写出与、之间的数量关系：______．【探究】如图②，是四边形的外角，求证：．【结论】若边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则，与的数量关系是______．11．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？  如图1，在五边形中，是它的两个外角，则．下面是该结论的证明过程（部分）：∵五边形的内角和为，∴．……(1)按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分．(2)知识应用：如图2，在五边形中，分别是和的平分线，若，求的度数；(3)拓展提升：如图3，，，则_______．12．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）已知，，点E为射线上一点．  (1)如图1，若，，则______°；(2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点H，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；(3)如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，，求的度数．内部点的个数123n得到三角形个数35内部点的个数123n得到三角形个数