初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形优秀习题

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第十二章全等三角形基础常考60题（20个考点）专练
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基础常考题一、全等图形的识别
1．（2023春·七年级课时练习）下列说法正确的是（    ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形
B．两个正方形是全等图形
C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形
D．两个全等图形的面积一定相等
【答案】D
【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．
【详解】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；
B、两个边长相等的正方形是全等图形，说法错误，不符合题意；
C、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；
D、两个全等图形的面积一定相等，说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等图形的性质和定义，掌握全等图形的性质和定义是解题的关键．
2．（2023春·七年级课时练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝．

【答案】
【分析】根据全等图形的性质，，再根据四边形的内角和为360º得到．
【详解】解：根据题意得：
所以,
故答案为：
【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键．
3．（2022秋·八年级课时练习）先观察猜想结论，再动手验证．

(1)如图．圆和圆哪个大？
(2)如图，两条线是否为直线？
【答案】(1)一样大；
(2)是直线；

【分析】先观察猜想得出结论，然后动手验证即可．
【详解】（1）观察猜想得出的结论：圆比圆大，
验证：用重叠法比较，圆和圆一样大；
（2）观察猜想得出的结论：不是两条直线，
验证：用支持比较，是两条直线；
【点睛】此题目主要考查了同学们能观察图形的形状和大小，培养识图能力．

基础常考题二、利用全等图形求正方形网格中角度之和
1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）．

A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解．
【详解】解：如图，则，，，
∴，
故选：B．

【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为.

【答案】/45度
【分析】观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解．
【详解】观察图形可知与所在的直角三角形全等，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．

基础常考题三、将已知图形分割成几个全等图形
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ）

A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案．
【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等．
故选：．
【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于．

【答案】7
【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度．
【详解】解：分割方案如图所示：

由图可得，最长分割线的长度等于7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质.
3．（2023·浙江·八年级假期作业）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．”
理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法．
请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来．

【答案】见解析
【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可．
【详解】依题意，如图

【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键．

基础常考题四、全等三角形的概念
1．（2023·浙江·八年级假期作业）下列说法正确的是（    ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积分别相等 D．所有的等边三角形是全等三角形
【答案】C
【分析】依据全等三角形的性质：能够完全重合的两个三角形．即可求解．
【详解】解：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；
B、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；
C、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故该选项正确；
D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故该选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，全等是指形状相同，大小相同，两个方面必须同时满足．
2．（2022秋·八年级单元测试）如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边:.

【答案】BC和BC,CD和CA,BD和AB
【分析】全等三角形就是能够完全重合的三角形，因而得出能重合的角就是对应角，重合的边就是对应边．
【详解】∵△ABC≌DBC，且∠A和∠D，∠ABC和∠DBC是对应角，
∴对应边是BC和BC，CD和CA，BD和AB，
故答案为：BC和BC，CD和CA，BD和AB.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，是需要识记并会应用的内容，找对应边时要根据已知条件.
3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，于点D，．完成下面说明的理由的过程．

解：（已知），
___________（垂直的定义）．
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC___________．
（___________）
点B与点___________重合，
与___________，
___________（全等三角形的定义），
（___________）．
【答案】；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形的定义，即可得到答案．
【详解】解：（已知），
（垂直的定义）．
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC重合．
（已知）
点B与点C重合，
与重合，
（全等三角形的定义），
（全等三角形的性质）．
故答案为：；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性质．
【点睛】本题主要考查证明三角形全等，掌握全等三角形的定义：能够完全重合的三角形叫做全等三角形，是关键．

基础常考题五、全等三角形的性质
1．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考期中）如图，，，，那么（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据三角形内角和定理可得的度数，再根据全等三角形对应角相等可得∠E的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理．解题的关键是掌握全等三角形对应角相等．
2．（2023春·江苏扬州·七年级校考期末）如图，，点B、F、C、E在同一条直线上，交于点M，，则的度数是．
  
【答案】
【分析】先由全等三角形的性质得到，再由三角形外角的性质可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．
3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上．

(1)求证：；
(2)若，，求边的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）由全等三角形的性质可得，等号两边同时减去即可得到；
（2）由全等三角形的性质可得，再利用三角形三边关系即可求出边的取值范围．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：，，
，
在中，，
，
即．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．

基础常考题六、用SSS证明三角形全等
1．（2023春·全国·七年级专题练习）2022年10月12日某中学八年级（4）班的同学在听了“天宫课堂”第三课，即我国航天员在中国空间站进行的太空授课后，组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，那么的依据是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由E，F分别是，的中点，，得出；根据三边对应相等，证明．
【详解】∵E，F分别是，的中点，
∴
在与中

∴
故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
2．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知，要使得，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是．

【答案】
【分析】要使，由于是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等．
【详解】解：添加．
在和中，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．
3．（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点在一条直线上，，求证：．
  
【答案】见解析
【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中

∴．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．



基础常考题七、全等的性质与SSS结合
1．（2023春·安徽宿州·七年级校联考期末）如图，在中，，D为中点，，则的度数是（　　）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明得到，，即可利用三角形内角和定理求出答案．
【详解】解：∵D为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键．
2．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）如图，中，，，若，，则．
  
【答案】20
【分析】由题意可直接利用“”证明，即得出，再结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定和性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键．
3．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）小明回顾了一下用尺规作一个角等于已知角的过程：
已知：．求作：．
作法如下：①作射线；
②以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D，交于点E；
③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
④以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点D'；
⑤过点作射线．就是所求作的角．

请你根据以上材料完成下列问题：
(1)完成下面说理过程(将正确答案填在相应的横线上)；
如图，分别连接，；

由作图可知，，______，______，
所以______，()
所以．(依据)
(2)上面说理过程中的依据是：________________．
【答案】(1)，，
(2)全等三角形的对应角相等

【分析】（1）根据题意可知这是尺规作图—作相等的角，，，，从而利用证明，继而得证；
（2）根据与是与的一组对应角即可得解．
【详解】（1）解：如图，分别连接，；

由作图可知，，，，
所以，()
所以．
故答案为：，，；
（2）解：∵与是与的一组对应角，
∴依据是：全等三角形的对应角相等．
故答案为：全等三角形的对应角相等．
【点睛】本题考查尺规作图—作相等的的角，全等三角形的判定与性质等知识，掌握画相等的角的依据是解题的关键．

基础常考题八、用SAS证明三角形全等
1．（2023春·上海浦东新·七年级校考阶段练习）如图，平分，，连接、，并延长交、于、点，则图中全等的三角形有(    )对．
  
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】B
【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，仔细寻找．
【详解】解：平分，
，
在与中，
，
，
，，，
又，
，
，，．
，，，，共对．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．（2023春·四川成都·七年级统考期末）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，现测得C，D之间的距离为，那么小口圆柱形瓶底部的内径．
  
【答案】75
【分析】根据题意证明进而求解即可．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：75．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握证明三角形全等是解题的关键．
3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在中，平分，，延长到点E，使得，连结，．
    
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再根据边角边证明即可；
（2）根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，最后利用三角形内角和定理得到．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，角平分线的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质的灵活运用．


基础常考题九、全等的性质与SAS结合
1．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得：，，利用已知条件判断出，得到，即可求出答案．
【详解】解：如图：
  
∵是和的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∴小明离地面的高度支点到地面的高度，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法．
2．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在四边形中，，，点E，F分别是上的点，且，连接．延长到点G，使，连接．若，则的度数为°．
  
【答案】55
【分析】先证明可得，再证明可得即可解答．
【详解】解：∵，,
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为55．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握运用和证明三角形全等是解答本题的关键．
3．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，，，点在上，．
  
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)与有什么关系？请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析

【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而证明即可；
（2）根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1），理由如下，
∵，
∴，
在与中，
,
∴;
（2）∵,
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

基础常考题十、用ASA(AAS)证明三角形全等
1．（2023春·广东揭阳·七年级校联考阶段练习）如图，D是上一点，交于点E，，，，，则的长度为（　　）

A．2 B．2.5 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由，得,，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明，则．
【详解】解：，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
的长度为4．
故选：C．
【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．
2．（2023春·江苏苏州·七年级校联考阶段练习）如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为．

【答案】110
【分析】根据，可得，再利用求证和全等即可．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，

．
故答案为：110．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
3．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图，点D在的边上，，，．
    
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据“”证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，，根据求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，．


基础常考题十一、全等的性质与ASA(AAS)结合
1．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）如图，强强想测量旗杆的高度，旗杆对面有一高为米的大楼，大楼与旗杆相距米（米），在大楼前米的点P处，测得，且，，则旗杆的高为（    ）
  
A．8米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】根据题意计算得，则，根据，得，则，根据得，则，利用可证明，
即可得．
【详解】解：由题意得，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形判定与性质．
2．（2023春·重庆九龙坡·七年级校考期末）如图，在中，过点A作于D，过点B作于F交于E，已知，，，则的长为．

【答案】3
【分析】先证，再由全等三角形的对应边相等得，再根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
在与中

∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是证明．
3．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．
  
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4

【分析】（1）直接利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，则．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．

基础常考题十二、用HL证明三角形全等
1．（2023秋·八年级单元测试）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．
2．（2023秋·福建莆田·八年级期末）如图，在中，，，，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，，要使与全等，则．

【答案】12或者6/6或12
【分析】分、两种情况讨论即可作答．
【详解】∵，
∴，
∴是直角三角形，
分情况讨论：
∵，，
∴当时，结合，利用“”即有；
当时，结合，利用“”即有；
即的值为12或者6，
故答案为：12或者6．
【点睛】本题主要考查了全等直角三角形的判定的知识，掌握利用“”证明两个直角三角形全等是解答本题的关键．
3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，四边形中，，，，，与相交于点F．

(1)求证：
(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析

【分析】（1）根据即可证明．
（2）根据得到，结合得到，即可得结论．
【详解】（1）解：
在和中，
∴．
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

基础常考题十三、全等的性质与HL结合
1．（2023春·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，在中，8．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在中，，E是上的一点，且，过E作交于D，如果cm，则等于（    ）
  
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【答案】B
【分析】证明，得到，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴cm，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明是解题的关键．

2．（2023春·七年级课时练习）如图，点D、A、E在直线m上，，于点D，于点E，且，若，，则．

【答案】8
【分析】根据垂直得到直角三角形，利用判定证明，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查直角三角形判定：一条直角边与斜边对应相等三角形全等．
3．（2023秋·八年级单元测试）如图所示，点O在一块直角三角板上（其中），于点M，于点N，若，求度数．

【答案】
【分析】证明，得到，即可得出结果．
【详解】解：∵
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．


基础常考题十四、灵活选用判定方法证全等
1．（2023春·上海浦东新·七年级上海市进才中学校考期末）给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小都是不能确定的，在下列给定的条件下，再增加一个“”的条件后，所画出的三角形形状和大小仍不能完全确定的是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据三角形全等的判定方法即可解答.
【详解】解：A．，，增加“”后，类似，不能判定两三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定，故选项A符合题意.
B．，，增加“”后，属于用来判定三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小确定，故选项B不符合题意.
C．，，增加“”后，属于用来判定三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小确定，故选项C不符合题意.
D．，，增加“”后，属于用SSS 来判定三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小确定，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题关键是不能用来判定三角形全等.
2．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有个．
  
【答案】6/六
【分析】根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可．
【详解】解：如图所示，
以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等；
以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等；
以为公共边不可以画出三角形和原三角形全等；
所以共有6个三角形和原三角形全等，
故答案为：6．
  
【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点，分别在和上，，点是上一点，的延长线交延长线于点．
  
(1)若，，求的度数；
(2)若点是的中点，与全等吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不全等，理由见解析

【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）只有一边一角不能证两个三角形全等．
【详解】（1）解：，，
，
又，，
；
（2）不全等，理由如下：
点是的中点，
，
，
只确定了这两个条件，无法证明全等．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，利用平行线性质得出是解答本题的关键．

基础常考题十五、全等三角形的动点问题
1．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动，连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为（    ）
  
A．2或4 B．2或 C．2或 D．2或
【答案】D
【分析】设t秒后，与全等，表示出相应边长，再分，两种情况，根据对应边相等列出方程，解之即可．
【详解】解：设t秒后，与全等，
由题意可得：，，，，
∵与全等，，
∴当时，，，
∴，，
∴，；
当时，，，
∴，，
∴，；
∴a的值为2或，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形综合问题，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解．
2．（2023春·湖南长沙·七年级校考期末）如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为．

【答案】1或
【分析】设点的运动速度为，则，，，由于，则当，时，根据“”判断，即，；当，时，根据“”判断，即，，然后分别解方程求出即可．
【详解】解：设点的运动速度为，则，，，
，
当，时，根据“”判断，
即，，解得，；
当，时，根据“”判断，
即，，解得，，
综上所述，点的运动速度为1或．
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
3．（2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期末）如图，做一个“U”字形框架，其中，、足够长，，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？
  
【答案】或
【分析】设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当，时，列方程解得，可得；情况二：当，时，列方程解得，可得．
【详解】解：设，则，
∵，使与全等，可分两种情况：
情况一：当，时，
，，
，
解得：，
；
情况二：当，时，
，，
，
解得：，
，
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质并利用分类讨论思想是解答此题的关键．

基础常考题十六、角平分线的性质定理
1．（2023春·甘肃兰州·七年级校联考期末）如图，平分，点P是射线上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．4
【答案】D
【分析】根据垂线段最短可得时，最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．
【详解】当时，的值最小，
∵平分，，
∴，
∵，
∴的最小值为5，
∴的长度不可能是4．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为2时，的长为．

【答案】1
【分析】过E作于F，根据角平分线性质得到，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】解：过点E作于点F，如图所示．

∵平分，且，
∴．
∵，
即，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，平分，，垂足为D，其中，，

(1)求的长度；
(2)求的面积．
【答案】(1)4.5
(2)22.5

【分析】（1）直接由角平分线的性质即可解答；
（2）直接根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：∵平分，，，
∴，
∴的长度为4.5；
（2）解：∵，，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，利用角平分线性质转化线段进行求解是解题的关键．

基础常考题十七、角平分线的判定定理
1．（2023春·广东佛山·八年级九江初中校考阶段练习）小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
已知：如图，点P在上，于点D，于点E，且．

求证：是的平分线．
证明：通过测量可得，．
∴．
∴是的平分线．
关于这个证明，下面说法正确的是（    ）
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
【答案】D
【分析】根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的推理过程即可求解
【详解】小强通过测量得，，得出，这种测量的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故选：D
【点睛】本题考查角平分线的判定，解题的关键是能够严谨的证明结论．
2．（2023·全国·八年级假期作业）如下图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”这样说的依据是．

【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【分析】根据角的内部到角两边的距离相等的点在这个角平分线上，可得平分．
【详解】
解：如图，过点P作，，垂足分别为和，
两把完全相同的长方形直尺宽度相同，
，
平分．
故答案为：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，熟知角平分线的性质是解题的关键．
3．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E，F，，求证：是的角平分线．
  
【答案】见解析
【分析】首先可证明，再根据三角形角平分线的逆定理即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴和是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
  
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，直角三角形全等的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并灵活运用全等三角形的性质和判定定理．


基础常考题十八、角平分线性质的实际应用
1．（2023春·四川成都·八年级校考期中）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】B
【分析】根据题意，凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，据此即可求解．
【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等，
∴凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
2．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是．
  
【答案】12
【分析】过点O作于点E，于点F，连接，然后根据角平分线的性质定理及三角形的面积计算公式可求解．
【详解】解：过点O作于点E，于点F，连接，如图所示：
  
∵平分，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．

【答案】见解析
【分析】作的角平分线，与的交点到的两边，的距离相等．
【详解】如图所示：作的平分线交于点，点即为该超市的位置．

【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．


基础常考题十九、尺规作图画角平分线
1．（2023·河南周口·统考三模）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（    ）

A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
【答案】B
【分析】根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
2．（2023秋·江苏南京·八年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）作∠AOB的角平分线的作图过程如下，

作法：（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使；（2）分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（3）作射线OC，OC就是∠AOB的平分线，用三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是．
【答案】SSS/边边边
【分析】利用基本作图得到OD=OE，DC=EC，然后根据全等三角形的判定与性质即可获得答案．
【详解】解：如图，连接EC，DC，

在和中，
，
∴，
∴，
∴OC平分∠BOA．
故答案为：SSS．
【点睛】本题主要考查了作图-基本作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．（2023春·上海浦东新·六年级校联考期末）已知，如图，点C在的内部，且，是的角平分线．
  
(1)尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若射线分别表示从点O出发的正东、正北两个方向，则射线表示的方向是___________；
(3)在图中找出互补的角是___________．
【答案】(1)见解析
(2)南偏东
(3)；

【分析】（1）利用尺规作出的角平分线即可．
（2）根据方向角的定义判断即可．
（3）根据互补的角的定义，判断即可．
【详解】（1）如图，射线即为所求．
  
（2）∵，
∴射线表示南偏东的方向上，
故答案为：南偏东；
（3）∵，平分，
∴，
∴与互补的角是
故答案为：．
【点睛】此题考查了角平分线的作图，方向角的表示，利用角平分线的计算，互补角的定义，正确掌握角平分线的作图及计算以及余角补角的定义是解题的关键．

基础常考题二十、角平分线的常见全等证明
1．（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（　　）

A．10 B．16 C．8 D．5
【答案】D
【分析】证明，则，，由题意知，，则，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
又∵，
∴，
∴，，
由题意知，，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，CD是ABC的角平分线，AE⊥CD于点E．BC=9，AC=6．已知ABC的面积是18，则AEC的面积是．

【答案】6
【分析】延长AE交BC于F，根据全等三角形的性质得到CF=AC=4，得到BF=2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：延长AE交BC于F，

∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠FCE，
∵AE⊥CD于E，
∴∠AEC=∠CEF=90°，
∵CE=CE，
∴ACEFCE（ASA），
∴CF=AC=6，
∵BC=9，
∴BF=3，
∵ABC的面积是18，
∴，
∴AEC的面积=×12=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）如图1，在中，，是的角平分线．
  
(1)写出图中全等的三角形______，线段与线段的位置关系是______；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点B，作，垂足为E，交于点F，且，请说明的理由．
  
【答案】(1)；垂直（或线段）
(2)见解析

【分析】（1）利用可证明，即可根据全等的性质得到；
（2）利用证明即可．
【详解】（1）解：∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：；垂直（或线段）；
（2）由（1）得，
所以．
所以．
因为，
所以．
所以．
所以
又因为，，
所以．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟记全等三角形的判定定理．