专题05 全等三角形章末重难点题型专训-2023-2024八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

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题型一 全等图形的识别
题型二 全等三角形的概念
题型三 全等三角形的性质
题型四 全等三角形的判定
题型五 全等三角形的判定与性质综合
题型六 全等三角形中的动点问题
题型七 全等三角形中的旋转（翻折）问题
题型八 全等三角形中倍长中线模型问题
题型九 全等三角形中的多结论问题
题型十 全等三角形的综合问题
【经典例题一 全等图形的识别】
【例1】（2022秋·八年级课时练习）百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3个．
【详解】解：∵长为4、宽为3的长方形，
∴周长为2×（3+4）＝14
14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，
∴能围出不全等的长方形有3个，
故选：A．
【点睛】此题考查了平面图形的规律变化，通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）已知如图，、为的平分线上的两点，连接、、、；如图，、、为的平分线上的三点，连接、、、、、；如图，、、、为的平分线上的四点，连接、、、、、、、依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过观察分析，找出图形变换中，有全等三角形的对数规律：当有个点时，图中有个全等三角形，然后把n=17代入计算即可求解．
【详解】解：图中，当有点、时，有对全等三角形；
图中，当有点、、时，有对全等三角形；
图中，当有点时，有对全等三角形；
图中，当有个点时，图中有个全等三角形，
当时，全等三角形的对数是，
故选：D．
【点睛】本题考查图形变换规律，全等三角形的判定，找出图形变换规律是解题的关键．
2．（2022秋·八年级课时练习）如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与（1）是全等形的有__________．
【答案】(2)(3)(6)
【分析】根据全等形是可以完全重合的图形并观察对比图形，进行判定即可．
【详解】(6)以左下角顶点为定点逆时针旋转90°后，与(1)两个实线图形刚好重合，
(3)可上下反转成(1)的情况，与(1)两个实线图形刚好重合，
(2)以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后成图(3)，然后反转成(1)的情况，与(1)两个实线图形刚好重合，
(4)为平行四边形，而(1)为梯形，所以不能和(1)中图形完全重合，
(5)为直角梯形，而(1)不是，所以不能和(1)中图形完全重合，
故答案是：(2)(3)(6)
【点睛】本题主要考查学生对全等形的概念的理解及运用，认真对观察对比是正确解答本题的关键．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，沿着方格线，把下列图形分割成四个全等的图形．
【答案】见解析
【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．
【详解】解：如图所示：红色分割线即为所求．
【点睛】此题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键，
考点：作图—应用与设计作图．
【经典例题二 全等三角形的概念】
【例2】（2023·全国·八年级假期作业）已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是对应边B．与是对应边
C．与是对应边D．不能确定 的对应边
【答案】A
【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．
【详解】解：与是对应角，和是对应角，
和是对应角，
与是对应边，
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（ ）
A．25B．38C．70D．135
【答案】B
【分析】仔细观察图形，发现第个图形有个三角形，根据规律求解即可．
【详解】解：观察发现：
第一个图形有个全等三角形；
第二个图形有个全等三角形；
第三个图形有个全等三角形；
第四个图形有个全等三角形；
第个图形有个全等三角形；
当时，（个．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等的定义，图形类规律题，正确找到规律是解题的关键．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，按照什么规律变化的．
2．（2022春·黑龙江大庆·七年级统考期末）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的.若∠BAC＝145°，则∠α＝____.
【答案】70°
【详解】∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，
∴∠BAE=∠BAC=145°，∠DAC=∠BAC=145°，∠E=∠ACD=∠ACB，
∴∠DAE=∠BAC+∠BAE+∠DAC-360°=145°+145°+145°-360°=75°，
∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=145°-75°=70°，
∵∠E+∠α+∠EMD=180°，∠EAC+∠AMC+∠ACD=180°，∠EMD=∠AMC，
∴∠α=∠EAC=70°，
故答案为70°.
【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形的内角和是180度等，掌握翻折前后的两个三角形是全等的，对应角是相等的是解题的关键．
3．（2022春·上海杨浦·七年级统考期末）如图，在中，已知，，，试把下面运用“叠合法”说明和全等的过程补充完整：
说理过程：把放到上，使点A与点重合，因为 ，所以可以使 ，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于 ，因此， ；
由于 ，因此， ；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样 ．
【答案】见解析．
【分析】根据“叠合法”说明两三角形全等即可．
【详解】说理过程：把放到上，使点A与点重合，因为，所以可以使AB与重合，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于，因此， 射线AC与射线叠合 ；
由于 ，因此，射线BC与射线叠合；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样重合，即
全等．
【点睛】本题主要考查三角形全等的定义，掌握“叠合法”说明三角形全等，是解题的关键．
【经典例题三 全等三角形的性质】
【例3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得到，再根据平行线的性质，得到，利用，即可解答．
【详解】解：，，
，
，，
，，
，
，
化简得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，在锐角中，D，E分别是边上的点，，且，交于点F．若，则的大小是（ ）
A．90°B．95°C．100°D．110°
【答案】C
【分析】延长交于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明，再求出即可解决问题．
【详解】解：延长交于H．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键．
2．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，，的延长线交于F，，，，则______°．
【答案】20
【分析】由三角形内角和定理可求，由全等三角形的性质可得，由三角形外角求出性质，在和中，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，设与交于点M，
∵，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解决问题的关键．
3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知，点E在上，与相交于点F．
(1)当，时，求线段AE的长；
(2)已知，，求与的度数．
【答案】(1)3
(2)，
【分析】(1)根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案；
(2)根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可求得．
【详解】（1）解：，，，
，，
；
（2）解：，，，
，，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【经典例题四 全等三角形的判定】
【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在四边形与中，．下列条件中：①；②；③；④．添加上述条件中的其中一个，可使四边形≌四边形，上述条件中符合要求的有（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④
【答案】B
【分析】连接，通过证明，，故①符合要求，同理可得③④符合要求，即可得到结论．
【详解】解：连接，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形与中，
，
，，，
∴四边形≌四边形．
故①符合要求；
同理根据③④的条件证得四边形≌四边形．
综上所述，符合要求的条件是①③④，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等形，全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．
【变式训练】
1．（2023秋·八年级单元测试）如图，在中，，点D是底边BC上异于AC中点的一个点，，．运用以上条件（不添加辅助线）可以说明下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据SAS可证明，得出，，再根据，得出，根据AAS再证明，从而得出，．
【详解】解：在和 中，
，
（SAS），故A正确，不符合题意；
，
，故B正确，不符合题意，
在，
，
（AAS），
，故C错误，符合题意；
，
，，
，
，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、以及直角三角形的判定HL是解题的关键．
2．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件(点，，分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是__________(填写所有正确结论的序号)
①若第3轮甲添加cm，则乙获胜；
②若甲想获胜，第3轮可以添加条件；
③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为．
【答案】①③
【分析】根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可．
【详解】解：①∵如果甲添加cm，
又cm，cm，
∴（SSS），
∴乙获胜，故结论①正确；
②∵如果甲添加，
又，
∴是直角三角形，且，
∴这两个三角形的三边长度就确定下来，且必然对应相等，这两个三角形全等，故甲会输，故结论②错误，
③如果第二条条件修改为，甲在第三条填入，那么乙可能获胜，故结论③正确．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
3．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在中，，、是边上的点．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使得．

(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明．
【答案】(1)①（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解即可；
（2）结合（1）进行求解即可．
【详解】（1）解：可选取①或③（只选一个即可），
故答案为：①（答案不唯一）；
（2）证明：当选取①时，
，
，
在与中，
，
，
；
当选取③时，
，
，
在与中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．
【经典例题五 全等三角形的判定与性质综合】
【例5】（2023春·重庆大渡口·七年级重庆市第三十七中学校校考期中）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】A
【分析】在上，截取，根据角平分线定义求出，求出，证明，得出，，求出，证明，得出，求出，根据三角形周长20求出，根据，求出结果即可．
【详解】解：在上，截取，如图所示：
∵，
∴，
∵和的平分线、相交于点O，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵周长为20，
∴，
∵，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明，．
【变式训练】
1．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且．若，则的长为( )
A．2cmB．C．D．
【答案】C
【分析】由，可得，由直角三角形两锐角互余，可得，由，由直角三角形两锐角互余，可得，根据同角的余角相等，可得，然后根据判断，根据全等三角形的对应边相等即可得到，由是的中点，得到，即可求解．
【详解】解：，可得，
在和中，
∵E是的中点，
，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，找准全等的三角形是解决本题的关键．
2．（2023春·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中）如图，在中，分别以为边向外作和，使，，，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有____（填序号）．
【答案】②③④
【分析】由不一定是直角三角形可判断（1）；由余角的性质可判断（2）；作，交于点H，，交延长线于点G，构造三对全等三角形，利用全等三角形的判定与性质可判断（3）和（4）．
【详解】解：∵为边上的高线，
∴是直角三角形，
∵不一定是直角三角形，
∴与不一定全等，故①错误；
∵，
∴，
∴，故②正确；
作，交于点H，，交延长线于点G，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故③正确．
∵，
∴
，
即，故④正确；
其中正确的结论有 ②③④．
故选：②③④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
3．（2023·江苏·八年级假期作业）问题：已知中，，点D是内的一点，且，．探究与度数的比值．请你完成以下探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．

(1)当时，依问题中的条件补全上图；观察图形，与的数量关系为 ；当推出时，可进一步推出的度数为 ；可得到与度数的比值为 ；
(2)当时，请你画出图形，研究与度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
【答案】(1)见解析，相等，，1：3
(2)与度数的比值与（1）中结论相同，见解析
【分析】（1）利用题中的已知条件，计算出，所以（等角对等边）；由等腰三角形的性质知，再根据三角形内角和是，找出图中角的等量关系，解答即可；
（2）根据旋转的性质，作，过B点作交于点K，连接，构建四边形是等腰梯形，根据已知条件证明≌（SAS），再证明是正三角形，最后根据是等腰梯形与正三角形的性质，求得与的度数并求出比值．
【详解】（1）解：补全图形如下：

①当时，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（等角对等边）；
②当时，
，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴的度数为；
③∵，，
∴，，
∴，
∴与度数的比值为．
（2）猜想：∠DBC与度数的比值与（1）中结论相同．
证明：如图2，作，过B点作交于点K，连接．

∴四边形是等腰梯形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴≌，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴与度数的比值为．
【点睛】本题综合考查了是等腰梯形的判定与性质、正三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形的内角和．
【经典例题六 全等三角形中的动点问题】
【例6】（2022春·七年级单元测试）现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点E是边的中点，小狗汪汪从点B出发沿以的速度向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（ ）

A．B．C．或D．无法确定
【答案】C
【分析】设它们运动时间为，妞妞的运动速度为，则，，，分两种情况，当时，当时，求出结果即可．
【详解】解：∵点E是边的中点，
∴，
设它们运动时间为，妞妞的运动速度为，则，，，
当时，，，
∴，
解得：；
当时，，，
∴，
解得：；
综上分析可知，妞妞的运动速度为或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，注意分类讨论．
【变式训练】
1．（2023秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，，，，点在线段上以1cm/s的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为（ ）cm/s时，在某一时刻，、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等．
A．1或B．1或C．2或D．1
【答案】A
【分析】设点的运动速度是cm/s，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可．
【详解】设点的运动速度是cm/s，
∵，
∴、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等，有两种情况：
，，则
，
解得：，
∴，
解得：，
，，则
，，
解得：，，
故选：A
【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
2．（2023春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动______秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．
【答案】1或或12
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，P在上，Q在上，则，，
，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
②如图2，P在上，Q在上，则，，
由①知：，
，
；
因为此时，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在上时，如图4，，时，解得．
，符合题意；
⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在上的情况不存在；
综上，点P运动1或或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或或12．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
3．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）在直角三角形中，，直线l过点C．

(1)当时，
①如图1，分别过点A和B作直线l于点D，直线l于点E．求证：；
②如图2，过点A作直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，连接交直线l于E，连接．求证：．
(2)当，时，如图3，点B与点F关于直线l对称，连接、．点M从A点出发，以每秒1 cm的速度沿路径运动，终点为C，点N以每秒的速度沿路径运动，终点为F，分别过点M、N作直线l于点D，直线l于点E，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当与全等时，求t的值．
【答案】(1)见解析
(2)或5或6.5
【分析】（1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可；
②由对称及可知，，，结合即可证明结论；
（2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
②证明：点与点关于直线对称，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，
由（1）可得，，
∴当时，，
当点沿路径运动时，，
解得，，不合题意，
当点沿路径运动时，，
解得，，
当点沿路径运动时，，
解得，，
当点沿路径运动时，，
解得，，
综上所述，当或5或6.5时，．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
【经典例题七 全等三角形中的旋转（翻折）问题】
【例7】（2022秋·福建厦门·九年级厦门双十中学校考期中）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（ ）
A．110°B．90°C．70°D．20°
【答案】B
【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=，
由旋转得≌，
∴∠FAB=∠EAD，
∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴∠FAE=∠BAD=，
∴旋转角的度数是，
故选：B．
【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
【答案】C
【分析】连接BD，根据旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝60°，可证△ABD为等边三角形，由“SSS”可证△ABE≌△DBE，可得∠ABE＝∠DBE＝30°，由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，AB＝BD，且AE＝DE，BE＝BE，
∴△ABE≌△DBE（SSS）
∴∠ABE＝∠DBE＝30°
∴∠ABE＝∠DBE＝30°，且∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝15°，
∴∠BED＝135°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握三角形全等的判定方法，能够根据题意对图形进行旋转.
2．（2023春·七年级课时练习）如图，在纸片中，，，且，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将、分别沿AB、AC向外翻折至、，连接DE，则面积的最小值为______．
【答案】
【分析】由将、分别沿AB、AC向外翻折至、可得：AP=AD=AE,由易得∠DAE=90°，面积=AD×AE=，当x取最小值时面积的最小即可求解．
【详解】解：∵、分别沿AB、AC向外翻折至、
∴，
∴AP=AD=AE,∠BAD=∠BAP，∠CAP=∠CAE，
∵
所以∠DAE=∠DAP +∠PAE =2（∠BAP +∠PAC）=2∠BAC =90°，
面积=AD×AE=，当AP取最小值时的面积最小，
在中，当AP为BC边的高，即AP垂直BC时，AP最小，
此时，，
，解得：AP=，
面积的最小值为：．
【点睛】本题考查了三角形的折叠问题、全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小．
3．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点且，直接写出图中线段、、之间的数量关系，不必证明．
（2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以65海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）220海里
【分析】（1）如图1，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论；
（2）如图2，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论；
（3）如图3，连接，延长、相交于点，根据题意得到，，，根据图2的结论计算．
【详解】解：（1），
理由如下：如图1，延长到点．使．连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）结论仍然成立；
理由如下：延长到点．使．连接，如图2，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）如图3，连接，延长、相交于点，
，，
，
又，，
符合（2）中的条件，
结论成立，
即（海里）．
两舰艇之间的距离为220海里．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形．
【经典例题八 全等三角形中倍长中线模型问题】
【例8】（2023春·黑龙江绥化·七年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，从而得到的取值范围．
【详解】如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，
∵是边上的中线，
∴，
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD△CDE（SAS），
∴AB＝CE=5，AD＝DE，
∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，
∴4＜AE＜14，
∴2＜AD＜7．
故选：C．
【点睛】本题主要考查倍长中线法解题，能够做出辅助线证出三角形全等再结合三角形三边关系是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山东日照·八年级期中）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边的中线，则AD的长的取值范围( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】要求AD的范围，看到AD为中线，为此利用中线加倍的方法，构造全等三角形，AD的2倍线段在△AEC中，利用任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可求2AD的范围即可．
【详解】延长中线AD到E，使DE=AD，连结CE，
∵AD为BC中线，
∴BD=CD，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB=5，
∵AE=2AD，
在△AEC中，CE-AC即2<2AD<8，
∴1故选择：C．
【点睛】本题考查求线段的取值范围问题，关键是把与AD有关的线段和AB与AC构成一个三角形，为此延长AD，构造全等实现转化，掌握构成三角形的条件．
2．（2022秋·江苏南通·八年级校联考阶段练习）已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D为AC的中点，则中线BD的取值范围为___________.
【答案】2.5【分析】延长BD到E，使BD=DE，连接AE，可证明，根据全等三角形的性质可得AE=BC=15，在中利用三角形三边关系可求得BE的范围，可求得BD的取值范围．
【详解】解：如图，延长BD到E，使BD=DE，连接AE，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
在和中，
∵
∴（SAS），
∴AE=BC=15，
在中，由三角形三边关系可得，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了添加辅助线，全等三等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，辅助线——中线倍长是本题的关键．
3．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使
请根据小明的方法思考：

（1）求得的取值范围是___________；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题
如图，已知，，，为的中点．

（2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；
（3）如图2，若，，不共线，求证：；
（4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）
【分析】（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；
（2）延长交延长线于点，证即可；
（3）延长至点，使得，连接、、，证即可；
（4）过点作交于点，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可．
【详解】（1）为边上的中线，
，
在和中
，
，
，
，
即，
，
，
，
故答案为：
（2）如下图，交延长线于点

，
（同旁内角互补，两直线平行），
，，
为的中点
，
，
，，
又，
，即，
在和中
，
（全等三角形的对应角相等），即平分
（3）延长至点，使得，连接、、

由（1）同理易知，
，，
，且，
，
，，
，
，
，
，
（4）过点作交于点，由（3）可得，，，，

，
，
和互余，，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，画出辅助线推理论证是解题的关键．
【经典例题九 全等三角形中的多结论问题】
【例9】1（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】先证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明，得出，同理，得出，，则，证明，得出．则可得出④正确，由可得出结论③正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤正确．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
又∵与所交的对顶角相等，
∴与所交角等于，即等于，
∴，故②正确；
过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故④正确，
∵，
∴．
故③正确．
∵，，，
∴，故⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，在直角三角形中，，的角平分线相交于点O，过点O作交的延长线于点F，交于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长交于H，通过证明，，利用全等的性质来判断②是否正确；通过证明，利用性质判断③是否正确；根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比，直接判断④是否正确；从而得解．
【详解】解：的角平分线相交于点O，
，，
===
故①正确；
延长交于H，如图所示：
，
又，
，
，
，
，
，，
，
故②正确；
，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
故③错误；
同高的两个三角形面积之比等于底边长之比，
，
故④正确；
因此正确的有：①②④；
故选A．
【点睛】此题是直角三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、同高的两个三角形面积之比等于底边长之比等知识，熟练运用这些性质进行推理是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，于点，于点，与交于点，连接并延长交于点，延长至点，若平分，平分，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有______（写序号）．
【答案】①②③⑤
【分析】根据三角形三条高交于一点可得，即可利用三角形内角和定理证明，则①正确；根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，再由三角形外角的性质得到，进而得到，则，则②正确；证明，得到，则③正确；证明，得到，得到，再由，得到，则④错误；根据全等三角形的性质即可证明，则⑤正确．
【详解】解：于点，于点，与交于点，连接并延长交于点，
，
，，
；
故①正确．
，，平分，平分，
，，
，
，
，
，
；
故②正确．
在和中，
，
，
；
故③正确．
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
故④错误．
，
，
，
，
，
；
故⑤正确．
综上所述，正确的结论有①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，和的平分线、相交于点，交于点，交 于点，过点作于点，则下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是______．
【答案】①②
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，进而判定②；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可判定③．
【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，③错误．
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．
【经典例题十 全等三角形的综合问题】
【例10】（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，、是的角平分线，、相交于点F，已知，则下列说法中正确的个数是（ ）
①；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】当AF=FC、△AEF≌△CDF时，需要满足条件∠BAC=∠BCA，据此可判断①②；在AC上取AG=AE，连接FG，即可证得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再证得∠CFG=∠CFD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得结论，据此可判断③④．
【详解】解：①假设AF=FC．则∠1=∠4．
∵AD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，
∴∠BAC=∠BCA．
∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；
故①不一定正确；
②假设△AEF≌△CDF，则∠2=∠3．
同①，当∠BAC=∠BCA时，该结论成立，
∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；
故②不一定正确；
③如图，在AC上取AG=AE，连接FG，

∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△AGF中
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°，
则∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°；
∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，
则∠CFG=60°，
∴∠CFD=∠CFG，
在△GFC与△DFC中，
，
∴△GFC≌△DFC（ASA），
∴DC=GC，
∵AC=AG+GC，
∴AC=AE+CD．
故③正确；
④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；
故④正确；
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江宁波·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是（ ）
A．B．1C．3D．2
【答案】B
【分析】由垂直于，垂直于，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用得到三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，由，即即可求出的长．
【详解】解：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
则．
故选：B．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
2．（2023秋·河北邯郸·八年级校考期末）如图，在中，，，，为边上的高，在直线上.
（1）若，则_____________°；
（2）若点从点出发，在直线上以每秒2cm的速度向一个⽅向移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动____________秒时，.
【答案】 40 2或5
【分析】（1）由已知条件和直角三角形的性质可得，进而可得答案；
（2）分点E沿射线BC方向运动和点E沿射线BG方向运动两种情况，利用AAS证明△ABC≌△CFE，可得，再利用线段的和差求出BE，即可解决问题.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）若点E沿射线BC方向运动，如图1，
∵，
∴，
由（1）知，
此时若，
则△ABC≌△CFE（AAS），
∴cm，
∴cm，
则点E运动的时间为=5秒；
若点E沿射线BG方向运动，如图2，
∵，
∴，
∵，，
∴，
此时若，
则△ABC≌△CFE（AAS），
∴cm，
∴cm，
则点E运动的时间为=2秒；
故答案为：2或5.
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键.
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）如图1，是中边上的高，点D是上一点，连接交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，延长至点G，连接，，若，，求线段的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先根据高的意义得出，，再结合已知条件可得到，据此得出结论；
（2）首先根据高的意义及（1）的结论可得出，然后再结合已知条件可得出，据此可证明和全等，进而可得出结论；
（3）首先根据四边形的面积的面积面积可得出，过点作交的延长线于点，再证和全等，从而得，由（2）可知，据此可得，然后根据可求出的长，进而可得出的长．
【详解】（1）证明：是中边上的高，
，
，
，
，
，
即：；
（2）证明：由（1）知：，，
，，
，
又∵，
，
即：，
，
即：，
∵，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：∵是中边上的高，
，
，，
∵，
，
，
即：，
，
由（2）知：，
，
，
过点作交的延长线于点，
则，
由（1）知：，
，
，
由（2）知：，
即：，
在和中，
，
，
，
由（2）知：，
，
，
∵，
，
即：，
，
．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算公式等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解全等三角形的性质，难点是在解答（3）时，过点作交的延长线于点，从而构成全等三角形．
【重难点训练】
1．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B，然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴判定的理由是．
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．
2．（2023·河北保定·统考二模）如图，要判断一张纸带的两边a，b是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：
对于方案I，II，下列说法正确的是（ ）
A．I可行，II不可行B．I不可行，II可行
C．I，II都不可行D．I，II都可行
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：方案I：
，
（内错角相等，两直线平行），
方案II：
在和中，
，
，
，
,
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟记全等三角形的判定与性质、平行线的判定是解题的关键．
3．（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，的周长为26，点D，E都在边上，的平分线垂直于，垂足为Q，的平分线垂直于，垂足为P．若，则的长为（ ）
A．2B．3C．6D．8
【答案】C
【分析】证明，得到，同法得到，，再根据的周长为26，列式求出的长即可．
【详解】解：∵的平分线垂直于，垂足为Q，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵的平分线垂直于，垂足为P，
同法可得：，
∴，
∴的周长，
∵，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．
4．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，点C在线段上，于点B，于点D．，且，，点P以的速度沿向终点E运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，点P，Q同时停止运动．过点P，Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值不可能是（ ）
A．15B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质可得，然后分三种情况根据分别得出关于t的方程，解方程即得答案．
【详解】解：当点P在上，点Q在上时，如图，
∵以P，C，M为顶点的三角形与全等，
∴，
∴，
解得：；
当点P在上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与全等，
∴，
∴，解得： ；
当点P在上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与全等，
∴，
∴，解得： ；
综上所述：t的值为1或或．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，正确分类、灵活应用方程思想、熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
5．（2023春·全国·七年级期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由全等三角形的判定及性质对每个结论推理论证即可．
【详解】∵
∴
∴
又∵，
∴
∴
故①正确
∵
∴
由三角形外角的性质有
则
故②正确
作于，于，如图所示：
则°，
在和中，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴
∴平分
故④正确
假设平分
则
∵
∴
即
由④知
又∵为对顶角
∴
∴
∴
∴在和中，
∴
即AB=AC
又∵
故假设不符，故不平分
故③错误．
综上所述①②④正确，共有3个正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，灵活的选择全等三角形的判定的方法是解题的关键，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．
6．（2023·江苏·八年级假期作业）在中，，是边上的中线，则的取值范围是__．
【答案】
【分析】延长到E，使，证明，则，根据三角形三边关系得到，即可得到的取值范围．
【详解】解：如图，延长到E，使，

∵是边上的中线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延长，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
7．（2023·江苏·八年级假期作业）如图所示，分别是锐角和中边的高，且，若要使，可补充的条件是___________（只需要填写一个你认为适当的条件即可）

【答案】（答案不唯一）
【分析】根据推出，根据全等三角形的性质得出，根据推出全等即可．
【详解】解：，
理由是：
∵分别是锐角和中边的高，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟练地掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
8．（2023秋·湖南益阳·八年级校联考期末）如图，在矩形中，cm，cm，点从点B出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为____________时，与全等．
【答案】2或
【分析】设运动时间为t，根据题意求出对应线段的长度，然后分两种情况讨论：①当，时；②当，时；利用全等三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：设点Q从点C出发ts，同时点P从点B出发ts，
①当，时，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：；
②当，时，，
解得：，
解得：；
综上所述，当或时，，
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及全等三角形的性质，一元一次方程的应用，理解题意，进行分类讨论，列出方程是解题关键．
9．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点在上，于点，交于点，，．若，则________________．
【答案】55°/55度
【分析】利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．
10．（2022春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 _____．
【答案】4
【分析】根据题意过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ=FN，连接PJ，进而利用全等三角形的性质证明EF=EM+EN，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ．
∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2EM＝2PM，
∵S△ABC＝•BC•AC＝（AC+BC+AB）•PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问．
11．（2023春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）已知：，，，，垂足分别为D，E．

(1)如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．
①线段CD和BE的数量关系是：；
②请写出线段，，之间的数量关系并证明．
解：①结论：．
理由：∵，，
∴，
∴，，
∴ （ ）
在ACD和CBE中， ，
∴，（ ）
∴．
②结论：．
理由：∵，
∴ ，
∵，
∴．
(2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①；同角的余角相等；，，；；②
(2)不成立，，见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理；
（2）根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理，注意观察图形，得出线段间的数量关系；
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，，
∴ （ 同角的余角相等 ）
在ACD和CBE中， ，， ，
∴，（ ）
∴．
②结论：．
理由：∵，
∴ ，
∵，
∴．
（2）不成立，结论：．

理由：∵，，
∴，
∴，，
∴
在和中，，
∴，（）
∴，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，能够由图形的位置关系得出线段之间、角之间的数量关系是解题的关键．
12．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，已知中厘米，厘米，点为的中点．

(1)如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动；
①若点点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
(2)若点以①中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间，点与点第一次在的哪条边上相遇？此时相遇点距到达点的路程是多少？
【答案】(1)①与全等，理由见解析；②当点Q的运动速度为4厘米/秒时，能够使与全等
(2)经过了秒，点与点第一次在边上相遇，此时相遇点距到达点的路程是厘米．
【分析】（1）①先求得，，然后根据等边对等角求得，最后根据SAS即可证明；
②因为，所以，又，要使，只能，根据全等得出，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和的长即可求得Q的运动速度；
（2）因为，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
【详解】（1）解：①与全等，理由如下：
∵（秒），
∴（厘米），
∵，D为中点，
∴（厘米），
又∵（厘米），
∴，
∵，
∴，
在与中，，
∴；
②∵，
∴，
又∵，
要使，只能，
∵，
∴．
∴点P的运动时间（秒），
此时（厘米/秒）．
∴当点Q的运动速度为4厘米/秒时，能够使与全等；
（2）解：因为，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走的路程，
设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得，
解得（秒），
此时P运动了（厘米），
又∵的周长为33厘米，，
∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在边上相遇，此时相遇点距到达点B的路程是6厘米．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质和一元一次方程的应用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
13．（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）（1）如图1，，E是的中点，平分，求证：平分．
（2）如图2，，和的平分线并于点E，过点E作，分别交于B、D，请猜想三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．
（3）如图3，，和的平分线交于点E，过点E作不垂直于的线段，分别交于B、D点，且B、D两点都在的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）过E作于F，根据角平分线的性质可得，从而求出，然后根据角平分线的判定证明即可；
（2）过E作于F，根据平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，证得，根据全等三角形的性质得到A，同理，等量代换得到结论；
（3）成立，在上截取，根据角平分线定义得到，推出，根据角平分线的性质得到，求得，证得，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，过E作于F，
∵，平分，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴平分；
（2）如图2，过E作于F，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴A，
同理，
∵，
∴；
（3）成立，如图3，在上截取，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
轮次
行动者
添加条件
1
甲
cm
2
乙
cm
3
甲
…
方案I：
沿图中虚线折叠并展开，
测量发现．
方案II：
先沿折叠，展开后再沿折叠，
测得．