【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--4.5 函数的应用（二）（单元教学设计）

                          4.5 《函数的应用二》单元教学设计

一、内容及其内容解析

（一）内容

函数的零点与方程的解，二分法求方程近似解，函数模型的应用.

本单元知识结构框图     

（二）内容解析

1.内容本质：

在基本初等函数模型内容、性质的基础上，渗透模型思想、元思想、算法思想、数形结合思想等，运用基本初等函数模型解决具体问题.

2.蕴含的思想方法：

在一般函数的零点概念构建过程中，蕴含了化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想；二分法求方程近似解步骤提炼中，渗透了逼近思想和算法思想、特殊到一般的归纳思想；函数模型解决实际问题过程中，蕴含了模型思想、元思想，数形结合思想等.

3. 知识的上下位关系：

在函数的概念和性质基础上，类比一元二次函数与方程关系的研究方法及路径，结合基本初等函数的内容和性质，对本单元展开研究；也为后续内容的学习奠定了基础.

4. 育人价值：从函数的观点研究函数与方程的关系时，在构建函数零点概念、发现函数零点存在定理，经历二分法求方程近似值的程序和步骤中，渗透了等价转化思想、逼近思想和算法思想等；运用指数函数和对数函数等基本初等函数模型解决实际问题的过程中，感悟算法思想，积累活动经验，发展数学建模素养，帮助学生切实感受数学与现实世界的联系，认识数学在科学、社会、工程技术等领域的作用，进而提高用数学语言表达现实世界能力，进落实“四基”发展“四能”.

5. 教学重点：

（1）二分法与求方程的近似解

（2）函数与数学模型

二、 目标及其解析

（一） 单元目标

1.二分法与求方程近似值

（1）结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系；

（2）结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，体会用二分法求方程近似解的一般性.

2.函数与数学模型

（1）理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；

（2）结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；

（3）收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.

（二）目标解析

达成目标的标志

1. 能够类比一元二次函数的零点建立函数零点的概念，进一步体会函数零点与方程解之间的关系；
2. 能够利用基本初等函数的性质，获得函数零点存在定理；能用二分法求出简单的给定某个精确度的简单函数的零点，并能解决方程近似解的问题；
3. 能够在实际情境中，选择合适的函数模型解决现实问题；
4. 能够恰当选用对数函数、一元一次函数、指数函数模型解决实际问题，体会“对数增长”、“直线增长”“指数爆炸”等术语的现实含义；
5. 能够用基本初等函数模型解决一些简单的现实生活、生产实际或经济领域中的实际决问题，并理解给定数学模型参数的实际意义.

三、教学问题诊断分析  

问题1:学生由连续基本初等函数的性质理解函数零点定理时，对“函数图象在区间[a,b]内的f(a)f(b)<0”的理解存在困难.

破解方法：

绘制函数图象，适当的“情境+问题”引导学生经历已知函数在某个区间内函数的零点附近函数值的符号特征，结合图象，也可以让学生多举几个熟悉的函数实例，零点附近多算几组函数值，并观察此函数在区间的函数值正负变化情况，归纳出共性而概括出“零点附近函数值的特征”，为发现函数零点存在定理降低难度.

问题2:学习函数零点存在定理中，对“函数y=f(x)在[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线”的理解存在困难.

破解方法：

1.可以举例结合图象说明对于给定闭区间上的函数，“连续不异号”“异号不连续”“不连续不异号”等都不能断定该函数是否存在零点，进一步强化学生对函数零点存在定理的认识.

2.可以让学生适当了解函数零点定理的数学史背景：捷克数学家波尔察诺在1817年首

先证明函数零点存在定理在数学分析上“闭区间上连续函数的介值定理”的特例，但证明不严格，后由德国数学家魏尔斯特拉斯将这个证明严密化，让学生感受数学文化中加深对该定理的理解；

问题3：用二分法求方程近似解的步骤中对逼近思想的体会存在困难;

破解方法：

可以多举些学生熟悉的实例加深对二分法的理解，利用计算软件放开让学生经历计算、发现的过程，在近似计算中感受逼近思想，体会二分法的依据是方程所对应的函数的性质，关键是“通过缩小区间逼近零点”的认识.

教学难点：如何获得函数零点存在定理，理解二分法求方程的近似解的逼近思想.

四、  教学支持条件

1.   学过的基本初等函数模型、一元二次函数的零点、方程解与函数零点的关系为本单元学习提供了知识基础，在建立函数零点概念、发现函数零点存在定理及其应用、函数模型解决具体问题中，类比思想、模型思想、数形结合思想、算法思想等提供了学习的思维基础.

2.通过GGB软件绘制函数图象、数据表格，设置函数模型中的a,b,k的取值变化，为研究函数图象的增长变化情况提供了工具支持.

五、 课时分配.

课时安排4课时

第1课时，函数的零点与方程的解

第2课时，用二分法求方程的近似解

第3课时，函数模型的应用（一）

第4课时，函数模型的应用（二）

六、 课时教学设计