【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--4.5.1 函数的零点与方程的解（课时教学设计）

第一课时 函数的零点与方程的解

（一）教学内容：函数零点的概念、函数零点存在定理

（二）教学目标

1.通过类比二次函数的零点的研究方法导出函数的零点的概念 ，能够数学地认识函数与方程的关系，形成将方程问题转化为函数问题、利用函数性质解决数学问题的习惯，发展学生数学抽象的数学核心素养；

2.通过观察对应二次函数在区间端点上的函数值的特征，能够导出函数零点存在定理，发展学生数形结合、将形转化为数的能力，发展学生数学抽象素养；

3.通过运算具体函数值的过程，感受指定区间内函数值的变化规律，寻找函数零点所在的区间，能够利用信息技术画出图象操作确认，尝试或转化的方法探索方程的有解区间，强化学生估算意识，培养近似计算的习惯，发展数学运算素养.

（三）教学重点及难点

1. 重点：函数零点的概念、函数零点存在定理

2. 难点：数学方式发现函数零点存在定理的理性思维方法

（四）教学过程设计

引导语   在“函数的应用（一）”的学习中，通过一些实例，我们已初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法，本单元将继续学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法，今天我们先类比二次函数零点的研究方法一起探究：形如“lnx+2x-6=0”的不能用公式求解的方程解的情况，大家思考以下问题：

问题1：类比二次函数的零点的研究方法，怎样从函数的观点导出函数零点的概念？

师生活动：教师安排学生阅读教科书第147页阅读与思考“中外历史上的方程求解”后，类比二次函数的零点的概念的研究方法，由学生自主画出二次函数的图象，并观察此图象函数值的变化规律，尝试说出一般函数零点概念？

追问：你能再举出几个例子说明函数的零点、方程的解、图象与x轴的公共点的关系吗？并用函数的图象和性质找出零点及方程的解？

学生举例、画图、观察熟悉的函数图象，体会函数零点、方程的解、图象与x轴的公共点之间的关系，深入理解函数零点的概念的内涵.

设计意图：安排学生完成阅读与思考“中外历史上的方程求解”，从高次代数方程解的探索历程，引导学生感受数学文化、体会逻辑的严谨性，理性认识函数与方程的关系，形成将方程的问题转化成函数问题、再利用函数性质解决问题的思维习惯，从具体例子出发，利用从具体到抽象的方法，导出一般函数零点的概念并得到相应的结论，发展学生的数学抽象素养.

问题2：观察，如图，二次函数的图象，发现函数在区间[2,4]上有零点，此时函数图象与x轴有什么关系？  

师生活动：教师提出问题，学生观察函数在给定区间内的图象部分与x轴有交点，体会此区间内自变量确定的函数值的变化特征，请说出函数的零点两侧函数值的变化情况.

追问1：计算在区间[-2,4]上是否也有这种特点？

学生运算函数得出 ，在区间[-2,4]上不满足，但函数存在零点，这一现象引发学生深入思考.

追问2：你能举出几个例子并画出函数的图象，观察函数零点所在的区间，并计算在区间端点的函数值的积，是否有同样的结论吗？

学生通过举例画图分析，函数零点所在区间的特征，能够得出若有区间端点的函数值乘积为负，此区间内一定存在零点，反之，不一定成立.

设计意图：观察“函数图象与x轴的关系”的角度，与x轴公共点（3,0），且“穿过”x轴，在“图象连续不断”的条件下，把这两点结合起来，那么在零点所在区间内，零点的两边函数值一定异号.理解“图象穿过x轴”（形）用“函数的取值规律”（数）来表示，在“x=3的两侧函数值异号”，可以取端点为代表，即.

追问3：请继续思考自己举出的函数例子，结合图象分析零点存在的条件，在此基础上归纳出零点存在的共同特征，能否概括出表达函数存在零点一个的命题？

学生分析举例存在零点的图象特征，归纳函数零点存在的结论，师生共完善，学生写在纸上，投影展示成果，再安排学生阅读教材第143页，“函数零点存在定理”的精准表达，学生思考，引导学生思辨其中关键语句的含义.

追问4：你怎样理解定理中的两个条件“在给定区间上连续”和“”？思考定理的用处是什么？

学生举反例说明函数在给定区间内连续，结合图象得出如果区间端点乘积为负，则函数在此区间上至少有一个零点，师生总结得出：零点存在定理为研究方程的解提供了理论依据.

设计意图：按“导出定理---了解定理---应用定理”途径展开定理的研究，从逻辑的角度对定理中两个条件的充分性、必要性的考察，发展学生的数学抽象的数学学科素养.

问题3：你能说出求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数研究方法吗？

师生活动：教师提出不能用公式解决的方程解的问题，学生可能回答：计算机软件画图，根据图象直接判断；取特殊值估计解的情况；转化为两个函数后，画图由交点个数确定；用零点存在定理进行判断.按学生的想法进行尝试操作：

方法一：GGB画图可得方程解的个数，如图

方法二：考察函数的单调性

，，，由函数的零点存在定理可知

函数存在零点

，又因为函数为单调增函数所以，方程lnx+2x-6=0有一个实数解；

方法三：方程lnx+2x-6=0可转化为lnx=6-2x,同一平面直角坐标系

上画出两个基本初等函数图象，由交点情况，判断方程解的个数问题

方法四：借助计算工具化出画出函数y=lnx+2x-6的图象或列出x,y的对应值表，如下表格，并画出图象

由以上表格和图象可知，，，由零点存在定理可知函数，可以用单调性定义容易证明函数是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程lnx+2x-6=0只有一个解.

追问1：为什么由图4.5-2和还不能说明函数只有一个零点？请举例说明；

学生举例说明对于给定区间上的函数，如，“连续不异号”“异号不连续”“不连续不异号”等都不能断定该函数是否存在零点；学生能够说出研究函数在某个区间上存在零点时，可借助函数的单调性来判断是否只有一个零点解决问题的方法.

追问2：你能证明函数是增函数吗？

学生能够给出两种思路：

方法一：函数单调性的证明思路，

类似方法二进行证明，可将其转化为两个基本函数的单调性的判断，令函数

，从而判断出函数，

方法二：用单调函数定义进行增函数的证明，略

设计意图：通过追问，让学生得出“函数在单调区间上最多有一个零点”的结论，进一步得到方程解的个数问题的转化方法，在后继学习中经常用到，有助于提升学生的数学抽象素养；探究解法的多样性，培养学生多角度思考问题的习惯，发展学生高阶思维及数学运算素养.

（5）  课堂小结

问题4：通过本节课函数零点概念及函数零点存在定理的学习，联系函数与方程的研究内容及方法，你能说出求方程近似值的一般路径吗？

本节研究了函数的零点与方程的解、函数的零点存在定理，利用定理建立求方程近似解的一般步骤，学生经历从“情境+问题”思维过程，抽象出一般规律和结构，使其学会以简驭繁，养成一般性的思考问题的习惯；研究路径：“概念—定理一应用”，有利于学生形成系统性、普适性的数学思维模式.

问题5：在解决问题时，用到了哪些数学思想？

本节课在函数的零点与方程的解的转换过程中，逐步渗透了化归与转化思想、函数与方程思想和数形结合思想，发展了直观想象、数学抽象、数学运算、数学建模等数学核心素养.

（6）  目标检测设计

必做题：

1.如图（1）（2）（3）分别为函数在三个不同范围的图象，能否仅根据其中一个图象，得出函数在某个区间只有一个零点的判断？为什么？

设计意图：本题通过函数图象加深对函数性质的深层理解，主要考查零点存在定理及单调性，观察不同函数区间的图象特征，加深理解函数存在零点理论，提升数形结合能力，发展学生数学抽象素养、直观想象等素养.

2.利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：

（1）    （2）

（2）     （4）

设计意图：通过信息技术绘制图象，能加深学生对零点存在定理的认识，对具体函数图象的实践操作，进一步理解数对形的定性刻画，对定理中的两个条件有了更深刻的思考，提升学生数形结合能力，发展直观想象素养.

3.已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：

函数在哪几个区间内一定有零点？为什么？

设计意图：通过对表格中的数据理解，由已知点的坐标确定了的图象的特征及变化规律，为零点存在定理的应用提供了数与形的实证依据，提升了数学抽象素养、逻辑推理素养.

4.已知函数，求证：方程在（-1,2）内至少有两个实数解.

设计意图：本题蕴含的转化思想，为学生提供了解决问题的一般方法，的实数解的问题可以转化为研究新函数的解的问题，先作出函数

的图象，由图象的特征确定函数的零点情况，为函数的零点存在定理的使用提供了载体，在解决问题的过程中，发展了学生的数学抽象、数学运算、数学模型等数学核心素养.

选做题：

5.观察函数的图象，借助计算工具，你能进一步缩小函数零点所在的范围吗？能否估算出此函数零点的近似值？若可以，请说出你的研究方法，并写出分析过程.

设计意图：通过信息技术绘制图象，在零点存在定理的运用基础上积累探索“二分法”活动经验，为学生提供独立思考机会，发展学生的创新思维.落实“四基”、发展“四能”.

（七）教学反思

本节课是在类比一次函数、二次函数、幂函数等图象与性质的实际应用的研究方法和一般路径，使学生体会一般观念下的数学学习，提升解决问题的本领；类比二次函数的零点的研究方法进行函数零点的概念的探究，学生很容易做到，但对零点存在定理的两个条件“在规定区间上连续”和“”的理解有些困难，可以安排学生对教材第147页的“阅读与思考”进行学习，补充定理的证明思路，或者学生自主学习课外读物，在应用环节可以多举例子，利用计算机软件画出图象，结合图象的特征对函数的性质进行深入学习.