【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（1）（单元教学设计）

《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》单元-课时教学设计

一  内容和及其解析

（一）内容

一元二次不等式的定义、解法和应用，二次函数与一元二次方程、不等式的联系

（二）内容解析

函数、方程和不等式都是中学数学中非常重要的内容，用函数理解方程和不等式是数学的本思想方法，用二次函数观点看一元二次方程、一元二次不等式，可以让学生在初中的相关内容的基础上，进一步理解函数、方程与不等式之间的联系，逐步形成用函数统领方程和不等式的意识，进而体会数学的整体性.

1.内容本质：

从函数的观点来看一元二次方程，当二次函数值为0时就得到一个一元二次方程，解方程就是求“自变量为何值时，函数值为0”，如果二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点，从函数的角度来看，交点的横坐标就是函数的零点，从方程的角度来看，交点的横坐标就是一元二次方程ax“+bx+c=0的根.同时，函数图象与x轴的交点又将x轴分成几部分，每一部分(不含交点)对应的函数图象都在x轴同侧，也就是函数值都为正或者都为负，即ax+bx+c＞0或者axr+bx+c＜0.因此，从函数的观点看一元二次不等式，当二次函数值大于0(或者小于0)就得到一个一元二次不等式，不等式的解集就是使函数值大于0(或者小于0)的自变量x的取值范围.因此，可以利用二次函数的图象来判断一元二次方程根的存在性和根的个数，以及求解一元二次不等式.

2.蕴含的思想方法 

借助二次函数的图象研究一元二次方程与一元二次不等式，使研究方程和不等式的方法更其般性和代表性，因此，从函数的角度来研究方程和不等式，体现数学的整体性，凸显函数的重地位，其中涉及的数形结合、函数思想等都是数学中重要的思想方法.

3. 知识的上下位关系：

本节从一元二次不等式的定义讲起.为了体现一元二次不等式的现实意义，教科书设计了一个实际问题——求花圃的矩形栅栏的边长.为了解决这个问题，需要把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来，再解数学模型.学生在初中学过了用一元一次不等式表示不等关系，在本章

的第一节又练习了用不等式或不等式组表示不等关系，因此教科书在这里直接利用不等关系“围成的矩形区域的面积要大于20 m?”建立了一个不等式“(12-x)x＞20”.这就是一个一元二次等式，教科书接下来给出了一般的一元二次不等式的定义和一般形式.要回答上述问题，就需这个不等式，这就引出了对一元二次不等式解法的研究.

4. 育人价值：培养学生直观想象和数学建模能力

5. 教学重点：用二次函数的观点统一认识一元二次方程和一元二不等式，根据三者的联系，利用数形结合推导出求解一元二次不等式的方法.

二 目标及其解析

（一）单元目标

1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.

2.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性.

3.能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题，提升数学运算素养.

（二）目标解析

达成目标的标志

1.通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，能说出一元二次不等式的定义.

2.能类比“一次函数与一次方程、一次不等式”的研究经验，得到二次函数与一元二次方程、不等式的关系，体会运动变化、特殊与一般，以及数形结合等数学思想方法，体会数学的整体性.

3.能通过具体实例的归纳与概括得到用函数方法求一元二次不等式解集的基本过程；能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养.

三 教学问题诊断分析  

本节用二次函数的观点看一元二次方程、不等式，需要借助二次函数图象，数形结合地理解二次函数与一元二次方程、不等式的联系，涉及从联系的角度看待所学知识，因此是学生学习的一个难点.此外，对于解一元二次不等式，学生会借助解方程的经验，有意识地进行降次，将解一元二次不等式问题转化为一元一次不等式(组)问题.因此学生对于利用二次函数来解一元二次不等式，会产生疑问.

教学难点：建立二次函数与一元二次不等式的联系

四 教学支持条件

     可以利用信息技术，动态呈现二次函数图象，帮助学生从运动变化的角度去理解函数与方程、不等式的联系.

五 课时分配.

（一）课时安排 2课时