初中数学2.2 圆的对称性精品习题

专题2.4 圆的对称性（垂径定理）（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】垂径定理

1.垂径定理
　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
    2.推论
　　平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
  特别指出：
　(1）垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
　　
　(2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

【知识点2】垂径定理的推论

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分线，并且平分弦所对的另一条弧.

特别指出：
     在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在  这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

【考点一】与圆相关的概念

【例1】垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（    ）

A．B．C． D．

【答案】C

【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断．

解：可以运用垂径定理解决问题的图形是

．

故选：C．

【点拨】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

【举一返三】

【变式1】．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（    ）

A．两人说的都对

B．小铭说的对，小熹说的反例不存在

C．两人说的都不对

D．小铭说的不对，小熹说的反例存在

【答案】D

【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．

解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：

小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；

故选D．

【点拨】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．

【变式2】如图，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝．当EO＝BE且∠OEC＝45°时，弦BC的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．

【答案】B

【分析】作OH⊥BC于H，连接OB，可知△OEH是等腰直角三角形，设EH＝OH＝a，则OE＝，  BE＝a，利用勾股定理得OB＝，从而解决问题．

解：作OH⊥BC于H，连接OB，

∵∠OEC＝45°，∠OHE＝90°，

∴∠OEC＝∠EOH＝45°，

∴EH＝OH，

设EH＝OH＝a，则OE＝，

∵EO＝BE，

∴BE＝a，

∴BH＝2a，

由勾股定理得，OB＝＝OA=，

∴a＝1， 

∴BH＝2，

∵OH⊥BC，

∴BC＝2BH＝4，

故选：B．

【点拨】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，判断出BH=2OH是解题的关键．

【考点二】垂径定理➼➻求值★★证明

【例2】弦心距：圆心到     的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．

在直角三角形中，由勾股定理得：         2＋半弦2＝半径2

【答案】     弦     弦心距

【分析】由垂径定理和勾股定理求解即可．

解：弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的长度）．

由题意得：，

，

在中，由勾股定理得：，

即弦心距半弦半径．

故答案为：弦，弦心距．

【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．

【举一返三】

【变式1】如图，已知中，弦，点是弦上一点，，．

(1)  求的长；

(2)  过点作弦与弦垂直，求证：．

【答案】(1)；(2)见分析

【分析】（1）过点作于，根据，在直角三角中，求得，勾股定理求得即可求解；

（2）过点作于，则，根据已知得出，进而根据角平分线的性质得出，连接，证明，得出，即可得证．

（1）解：如图，过点作于，        

则，

∵，

∴，

∴；

（2）证明：过点作于，

∵，            

∴，

∵，        

∴，

∴，    

∴平分，

∵，

∴，

连接，如图，

在与中，

∴，

∴

∴

∴．

【点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．

【变式2】已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结． 

（1）求证：；

（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．

【答案】（1）见分析；（2）见分析

【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质;

（2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形．

解：证明：（1）连结，

∵M、N分别是和的中点，

∴OM，ON为弦心距，

∴OM⊥BC，ON⊥AD，

，

在中，，

，

在Rt△OMG和Rt△ONG中，

，

，

∴，

;

（2）设OG交MN于E，

，

∴，

∴，即，

，

在△CMN和△ANM中

，

，

，

∵CN∥OG，

，

，

，

∴AM∥CN，

是平行四边形，

，

∴四边形ACNM是矩形．

【点拨】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．

【考点三】垂径定理的推论➼➻求值★★证明

【例3】如图，是的弦，根据下列条件填空：

（1）如果是的直径，且于点，那么有________，________，________；

（2）如果是的直径，且，那么有________，________，________；

（3）如果，且，那么有________，________，________．

【答案】（1）    ；（2）    ；（3）是 的直径    

【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可；

（2）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可；

（3）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可．

解：（1）∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于点E，

∴，    ，；

（2）AB是⊙O的直径，且CE=DE，

∴，    ，；

（3）∵AB⊥CD，且CE=DE，

∴AB是⊙O的直径，，．

【点拨】本题主要考查了垂径定理和垂径定理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

【举一返三】

【变式1】如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．

【答案】3

【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得△AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．

解：∵E点为AF中点，

∴OE⊥AF，

∵CO⊥EO，

∴OC∥AF，

∴∠OAE＝∠COD，

∵CD⊥AB，

∴∠AEO＝∠ODC，

在△AEO和△ODC中，

，

∴△AEO≌△ODC（AAS），

∴CD＝OE＝4，

∵OC＝5，

∴OD＝＝＝3．

【点拨】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．

【变式2】如图，点P是⊙O内一定点．

（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若⊙O的半径为13，OP=5， 

①求过点P的弦的长度m范围；   ②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条．

【答案】（1）见分析；（2）①过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②4

【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可；

（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB=24，即可得出答案；

②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论．

解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，

则弦AB即为所求；

（2）①过点P的所有弦中，直径最长为直径26，与OP垂直的弦最短，

连接OA，如图2所示：

∵OP⊥AB，

∴AP=BP===12，

∴AB=2AP=24，

∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；

②∵过P点最长的弦为直径26，

最短的弦24，

长度为25的弦有两条，

∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，

故答案为：4．

【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．

【考点四】垂径定理及其推论➼➻应用

【例4】如图，已知弓形的弦长AB＝12，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径的长．

【答案】⊙O的半径的长为10．

【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AD＝6，由于OD＝r−2，则利用勾股定理得到62＋（r−2）2＝r2，然后解方程即可．

解：设⊙O的半径为r，

∵CD⊥AB并经过圆心O，

∴AD＝BD＝AB＝×12＝6，OD＝OC﹣CD＝r﹣2，

在Rt△OAD中，62+（r﹣2）2＝r2，解得r＝10，

即⊙O的半径的长为10．

【点拨】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．

【举一返三】

【变式1】如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米．

(1)  求此下水管横截面的半径：

(2)  随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？

【答案】(1)米；(2)米

【分析】（1）过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，根据垂径定理可得米，设此下水管横截面的半径为r米，则米，可得米，在中，由勾股定理，即可求解；

（2）过点O作于点H，根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解．

（1）解：过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，

∴米，

设此下水管横截面的半径为r米，则米，

∴米，

在中，，

∴，

解得：，

即此下水管横截面的半径为米；

（2）解：如图，过点O作于点H，

∴，

根据题意得：米，米，

∴米，

∴米，

∴米，

∴此时水面的宽度增加了米．

【点拨】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂径定理的推论是解题的关键．

【变式2】赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥（如图1），因赵县古称赵州而的得名．赵州桥始建于硝代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米（即米，如图2），拱顶到水面的距离4米（即弧的中点C到的距离等于4米）．

(1)在图2中画出线段（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)问一艘宽12米，水面以上高1.87米的货轮能否顺利通过？

【答案】(1)见分析；(2)能顺利通过

【分析】（1）作线段的垂直平分线即可；

（2）设圆O的半径为，画出草图，结合勾股定理，即可求解．

解：（1）分别以A、B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于M、N两点，连接交于C，交于D，如图所示，线段即为所求，

（2）在上方作一个矩形，其中点在上，在上，交于，且

∵

∴

设圆心为，连接，设半径为，

在中，，，

∴

解得：

∴

在中，

∴

∴

∴一艘宽12米，水面以上高1.87米的货轮能顺利通过

【点拨】本题主要考查圆的实际应用，考查数形结合的能力，正确的画出图形结合垂径定理和勾股定理计算是解题的关键．