初中2.3 确定圆的条件优秀课堂检测

专题2.10 确定圆的条件（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点一】确定圆的条件

不在同一条直线上的三个点确定一个圆

经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

【知识点二】相关概念——外心

经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。

三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。

三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点

特别提醒：

（1）一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形；

（2）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形的外部；直角三角形外心是斜边的中点；

（3）“接”说明三角形的顶点在圆上，即圆经过三角形的各个顶点；“内”与“外”是相对而言的，“外”是指在三角形外，“内”提指在圆内。
 

【考点一】三角形外接圆的理解与认识

【例1】如图，是的外接圆，则点O是的（    ）

A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点

【答案】B

【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案．

解 ：是的外接圆，

点O是的三条边的垂直平分线的交点，

故选：B．

【点拨】本题考查三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题的关键．

【举一反三】

【变式1】下列说法中，真命题的个数是（    ）

①任何三角形有且只有一个外接圆；

②任何圆有且只有一个内接三角形；

③三角形的外心不一定在三角形内；

④三角形的外心到三角形三边的距离相等；

⑤经过三点确定一个圆；

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆．

解 ：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题；

②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题；

③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题；

④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题；

⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题；

综上，真命题的个数为2个；

故选B．

【点拨】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键．

【变式2】三角形的外心具有的性质是（    ）

A．外心在三角形外 B．外心在三角形内

C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等

【答案】D

【分析】直接根据三角形的外心的定义判断即可

解 ：A．外心不一定在三角形外，错误；

B．外心不一定在三角形内，错误；

C．外心到三角形三角距离相等，错误；

D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确；

故选D．

【点拨】本题考查了三角形的外心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．

【考点二】三角形外心坐标

【例2】如图，，，，，则外心的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案．

解 ：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，

∴直线是线段的垂直平分线，

记，的交点为，则为的外心，

∵，，，

∴直线为，，，

设直线为，

∴，解得：，

∴直线为，

当时，，

∴，即的外心坐标为：．

故选C．

【点拨】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键．

【举一反三】

【变式1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可．

解 ：连接，作的垂直平分线，如图所示：

在的垂直平分线上找到一点，则满足：

，

点是过、、三点的圆的圆心，

即的坐标为，

故选：C．

【点拨】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置．

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（　　）

A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）

【答案】B

【分析】根据M为直角三角形的外心．∠ABC＝90°，得出点M为AC中点，利用中点坐标公式求出点C（-5，-2），根据AB⊥x轴，得出点A，B的横坐标相同都是3，根据BC∥x轴，得出点B、C的纵坐标相同都是-2即可．

解 ：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，

∴点M为AC中点，

∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），

设点C横坐标为（x,y）,

∴，

解得x=-5，y=-2，

∴点C（-5，-2），

∵AB⊥x轴，

∴点A，B的横坐标相同都是3，

∵∠ABC＝90°，

∴BC∥x轴，

∴点B、C的纵坐标相同都是-2，

∴点B（3，-2）．

故选：B．

【点拨】本题考查直角三角形的外心，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征，掌握直角三角形的外心的性质，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征是解题关键．

【考点三】特殊三角形外接圆的半径

【例3】直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（     ）

A．或 B．或 C． D．

【答案】B

【分析】分两种情况：①为斜边长；②和为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．

解 ：由勾股定理可知：

 ①当直角三角形的斜边长为时，这个三角形的外接圆半径为；

 ②当两条直角边长分别为和，则直角三角形的斜边长 因此这个三角形的外接圆半径为．

综上所述：这个三角形的外接圆半径等于或．

故选：B

【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键

【举一反三】

【变式1】已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形外接圆的半径长为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解出一元二次方程，利用勾股定理求出斜边的长度，根据圆周角定理，直角三角形的斜边是外接圆的直径，即可得解．

解 ：，

，

解得，；

所以直角三角形的两条直角边为：3、4，

由勾股定理得：斜边长；

所以直角三角形的外接圆半径长为2.5，

故选D．

【点拨】本题考查求直角三角形的外接圆的半径．正确的求出一元二次方程的根，掌握直角三角形的斜边是外接圆的直径是解题的关键．

【变式2】一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的外接圆的半径是（   ）

A．3.2 B． C．3.5 D．4

【答案】B

【分析】先利用因式分解法解方程求出的值，根据三角形三边关系得出三角形的三边长度，再根据等腰三角形的性质结合勾股定理构建方程即可求解．

解 ：解方程，得：或，

若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；

若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，

如图：

△ABC是等腰三角形，点O为△ABC 外接圆的圆心，AB=AC=5，BC=6，

作AD⊥BC于D，连接OB，

∵△ABC是等腰三角形，且AB=AC，

∴△ABC 外接圆的圆心O在AD上，且BD=DC=BC=3，

∴AD=，

设AO=OB=，则OD=，

在Rt△OBD中，，

即，

解得：，

∴此三角形的外接圆的半径是．

故选：B．

【点拨】本题考查了解一元二次方程，三角形的外接圆，等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，利用勾股定理构建方程是解题的关键．

【考点四】判断三角形的形状和外接圆圆心的位置

【例4】的外心在三角形的一边上，则是（　　）

A．锐角三角形    B．直角三角形     C．钝角三角形     D．无法判断

【答案】B

【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案．

解 ：当的外心在的内部时，则是锐角三角形；

当的外心在的外部时，则是钝角三角形；

当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边．

故选B．

【点拨】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

【举一反三】

【变式】如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（     ）

A．72 B．96 C．120 D．144

【答案】B

【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△ADF是直角三角形，即可求出△ABC的面积．

解 ：如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，

∵点E是△ABC的外心，

∴AE=BE=CE，

∴△ABE，△ACE是等腰三角形，

∵点P、Q分别是AB、AC的中点，

∴PE⊥AB，QE⊥AC，

∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，

∴AF=BF=10， AD=CD=8，

在△ADF中，∵，

∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，

∴S△ABC= ，

故选：B．

【点拨】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF是直角三角形．

【例5】如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B（－3，0），C（4，0），则当点A在y轴上运动时，△ABC的外心不可能在（  ）

A．第三象限 B．第一象限 C．第四象限 D．x轴上

【答案】A

【分析】根据三角形的外心O是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点，由B、C坐标可知，边BC的垂直平分线在y轴的右侧，结合三角形的形状判断即可．

解 ：∵B（－3，0），C（4，0），

∴边BC的垂直平分线在y轴的右侧，

∴三角形的外心O在不可能在第二象限或第三象限，故A错误；

当△ABC为锐角三角形时，三角形的外心O在三角形内部，并在第一象限，故B正确；

当△ABC为钝角三角形时，三角形的外心O在三角形外部，并在第四象限，故C正确；

当△ABC为直角三角形时，三角形的外心O在三角形斜边中点处，即在x轴上，故D正确，

故选：A．

【点拨】本题考查三角形的外心定义，解答的关键是熟知三角形的外心位置与三角形的形状关系，当三角形为锐角三角形时，三角形的外心O在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，三角形的外心O在三角形外部；当三角形为直角三角形时，三角形的外心O在三角形斜边中点处．

【举一反三】

【变式】下列说法中， 正确的是（　　）

A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径必垂直弦

C．任何三角形有且仅有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内

【答案】C

【分析】根据圆的相关概念及性质进行判断即可，不共线的三点确定一个圆，垂直于弦的直径一定平分弦，但是平分弦的直径不一定垂直弦，任何三角形有且仅有一个外接圆，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故可能在三角形内部也可能在边上．

解 ：A．若三点在同一直线上，不能确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；

B．两条直径互相平分但不一定垂直，选项说法错误，不符合题意；

C．根据外接圆的性质，任何三角形有且仅有一个外接圆，选项说法正确，符合题意；

D．等腰直角三角形的外心在三角形斜边的中点，不在三角形内，选项说法错误，不符合题意；

故选：C．

【点拨】本题考查了圆的相关概念及性质，关键是熟记各种定义，理解三角形的外心，三角形的外接圆，以及垂径定理．

【考点五】判断确定圆的条件

【例6】小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ）

A．① B．② C．③ D．都不能

【答案】B

【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．

解 ：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．

故选：B．

【点拨】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．

【举一反三】

【变式】将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．

（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；

（2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．

【答案】（1）见解析；（2）该轮的半径R为．

【分析】（1）分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；

（2）设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，利用勾股定理解决问题即可．

解 ：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；

（2）连接AO、BC相交于点D，连接OB，

根据题意可知OA⊥BC，D为BC的中点，

在Rt△ABD中，AB=5，BD=BC=4，

∴AD==3，

设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝R﹣3，

∴R2＝42+（R﹣3）2，

解得：R＝，

∴该轮的半径R为．

【点拨】本题考查作图-应用与设计作图，垂径定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

【考点六】确定圆的条件——作图

【例7】如图，已知．

（1）用直尺和圆规作出，使经过A，C两点，且圆心O在边上（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）中，若，且的半径为1，试求出的长．

【答案】（1）见解析；（2）2

【分析】（1）根据A、C在圆上且圆心O在边上，故作出AC的中垂线，与AB的交点即为圆心O，再以OA为半径作圆即可；

（2）连接CO，根据三角形的内角和定理即可求出∠ACB，根据等边对等角即可求出∠OCA，从而求出∠OCB，再根据等角对等边证出OB=OC，从而求出AB.

解 ：（1）∵A、C在圆上且圆心O在边上

∴圆心O是AC的中垂线与AB的交点

故作出AC的中垂线，与AB的交点即为圆心O，再以OA为半径作圆即可.

如图所示：即为所求.

（2）连接CO

∵，

∴∠ACB=180°－∠CAB－∠B=90°

∵的半径为1

∴OA=OC=1

∴∠OCA=∠OAC=30°

∴∠OCB=∠ACB－∠OCA =60°

∴OB=OC=1

∴AB=OA＋OB=2

【点拨】此题考查的是尺规作图、等腰三角形的性质及判定，掌握用尺规作图作线段的中垂线、等边对等角和等角对等边是解决此题的关键.

【举一反三】

【变式】如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点

（1）作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）

（2）如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°，求该残破圆轮片的半径．

【答案】（1）作图略 ；（2）60cm.

【分析】（1）利用垂径定理得出AC，BC的垂直平分线，交点即是圆心，到任意一点距离即是半径；

（2）利用垂径定理以及等边三角形的判定得出△OBC是等边三角形，即可得出答案．

解 ：①如图1所示：

②如图2,∵AC=BC=60cm,  

∴

又∵ BO=CO，

∴

∴△OBC是等边三角形，

∴半径为60cm.

【点拨】考查了垂径定理的应用，利用垂径定理得到进而得到△OBC是等边三角形是解题的关键.

【考点七】确定圆的条件——综合题

【例8】如图，点是的边上一点，，，相交于点．

（1）求证：；

（2）若．

①当时，求的度数；

②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围．

【答案】(1）证明见解析      (2)① ；②

【分析】（1）先证明∠D=∠B，∠DAE=∠BAC，再结合AD=AB即可得证；

（2）①先根据全等三角形性质及等腰三角形性质求出∠EAC、∠B的度数，再等量代换即可；

②根据锐角三角形外心的性质求解即可．

解 ：（1）证明：∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴；

（2）解：①∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

②．

∵的外心在其内部，

∴为锐角三角形，

∴，，

∴．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形外心的定义等知识点．灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键．

【举一反三】

【变式1】如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断：

（1）△ABC的形状；

（2）AD是否过△ABC外接圆的圆心O，⊙O是否是△ABC的外接圆，并证明你的结论．

 解 ：试题分析：（1）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据HL定理可得出△BDE≌△CDF，进而得出结论；

（2）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，再由BD=CD，可知AD过圆心O，故可得出结论．

解（1）答：△ABC是等腰三角形．

证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

∵AD是角平分线，

∴DE=DF．

又∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

在Rt△BDE与Rt△CDF中，

∴△BDE≌△CDF（HL）．

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；

（2）答：AD过△ABC的外接圆圆心O，⊙O是△ABC的外接圆．

证明：∵AB=AC，AD是角平分线，

∴AD⊥BC，

又∵BD=CD，

∴AD过圆心O．

作边AB的中垂线交AD于点O，交AB于点M，则点O就是△ABC的外接圆圆心，

∴⊙O是△ABC的外接圆．

考点：1.三角形的外接圆与外心；2.全等三角形的判定与性质．

【变式2】如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，

（1）求证：△ABC是等边三角形；   （2）求圆心O到BC的距离OD．

【答案】（1）证明见解析（2）4

解 ：（1）证明：∵∠APC和∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC．

又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°．

∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°．

∴△ABC是等边三角形．

（2）连接OB，

∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，

∴O为△ABC的外心．

∴BO平分∠ABC．∴∠OBD=30°.∴OD=8×=4．

（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一个内角都等于60°，从而得证．

（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD，从而根据30度角所对边是斜边一半的性质，得OD=8×=4