初中苏科版2.5 直线与圆的位置关系课时练习

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专题2.22 切线的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解）

【要点一】切线的判定定理
　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
要点注意：
切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.
【要点二】切线的判定定理
　　圆的切线垂直于过切点的半径.
要点注意：
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.

【考点一】切线的判定➼➻证明
【例1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，以为直径的与相交于点．在上取一点，使得．
求证：是的切线．
  
【分析】连接，如图所示，利用两个三角形全等的判定得到，由全等性质得到，即，从而根据切线的判定得到答案．
解：证明：连接，如图所示：
  
在和中，
，
∴，
，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【点拨】本题考查切线的判定，涉及圆的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定，熟练掌握切线的判定方法是解决问题的关键．
【举一返三】
【变式1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，为的直径，C为上一点，过点C的直线于点，平分．
求证：是的切线．

【分析】连接，由为平分，得到一对角相等，再由半径，等边对等角得到另一对角相等，等量代换得到内错角相等，可得出与平行，由，可得出，即可得证．
解：证明：连接，
  
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为圆的半径，
则是的切线．
【点拨】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，以及平行线的判定，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
【变式2】（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，，与相交于点，以点为圆心的圆过，两点及的中点，求证：是的切线．
  
【分析】根据平行线的性质及等腰三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质及切线的判定即可解答．
解：证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴是的切线．
  
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
【考点二】切线的性质定理➼➻证明★★求值★★求角角
【例2】（2023·陕西咸阳·统考二模）如图,为的直径,与相切于点E，于点D，交于点C，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长．

【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）由切于点E知, 结合于点D知, 从而得, 即可得证；
（2）连接交于点F，证四边形是矩形，根据三角形的中位线，即可得出答案．
解：（1）证明∶∵与相切于点E，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解∶连接交于点F，
  
∵是的直径，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵,点O是的中点,
，
∴
【点拨】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理及矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、垂径定理等知识点是解题的关键.
【举一返三】
【变式1】（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，是的直径，点C在半径上，在上取点D，使，过点A作的切线交的延长线于点E．
  
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见分析； （2）5
【分析】（1）由圆周角定理及切线的性质证出，则可得出结论；
（2）设，则．进而得，，然后由勾股定理得，求解得，即可求解．
解：（1）证明：是的直径，
，即．
为的切线，
，
．
，
，
，
．
（2）解：设，则．
，
，
，．
，
，
，
解得（舍去）或，
，
，即的半径为5．
【点拨】本题考查圆周角定理的推论，切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．熟练掌握圆周角定理的推论和切线的性质上解题的关键．
【变式2】（2022秋·山东临沂·九年级临沂第九中学校考期中）如图，已知是的直径，点P在的延长线上，切于点D，过点B作，交的延长线于点C，连接延长，交点E．
  
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）见分析； （2）
【分析】（1）连接，由切 O于点D，得到，由于，得到，得出，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结论；
（2）由平行线的性质可得，利用直角三角形所对的边是斜边的一半，再可利用勾股定理求出的长，根据，求出，利用直角三角形所对的边是斜边的一半即可求出．
解：（1）证明：如图，连接，
  
切于点，
．
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
设的长为，则的长为，，
，
，
解得：或（舍去），
，，
，
，
，交的延长线于点C，，
，
．
【点拨】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质及直角三角形中所对的边是斜边的一半，正确的画出辅助线是解题的关键．
【考点三】切线的性质与判定综合➼➻证明★★求值★★求角角
【例3】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆交边于点，交边于点，且．
  
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见分析； （2）的半径为10．
【分析】（1）连接，连接，通过证明即可进行求证；
（2）连接，则，根据勾股定理求出，设的半径为，根据，列出方程求解即可．
解：（1）证明：如图，连接，连接，
  
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
  
∵，，
∴，，
∴，
设的半径为，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径为10．
【点拨】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
【举一返三】
【变式1】（2023·云南昆明·统考二模）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点A作交的延长线于点，且．
  
（1）求证：是半的切线；
（2）若，，求半的半径．
【答案】（1）见分析； （2）
【分析】（1）过点 作 于点 ，由切线的性质知，，又，，，推证 ，由角平分线性质定理得，结论得证；
（2）由切线长定理知，由等腰三角形性质知，进一步推证，由直角三角形性质，求解圆半径为 ．
解：（1）证明：过点 作 于点 ．
为半 切线，
，
，
．
  
，
，
．
，
，
，
．
，
，
是半 的半径．    
，
是半的切线．
（2） 是半的切线， ，
．
，


．
，
，
，
．
在 中， ，
，
  的半径为 ．
【点拨】本题考查圆切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形性质，角平分线性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用已知的角之间的数量关系结合直角三角形性质求解角度是解题的关键．

【举一返三】
【变式2】（2023·河南许昌·统考二模）如图，内接于，是的直径，过点C作的切线，交的延长线于点P，点F在上，连接．易证命题：“若是的切线，则”是真命题．
  
（1）请写出该命题的逆命题是______；
（2）判断（1）中的命题是否为真命题，并说明理由；
（3）若⊙O的半径为4，，且，求AC的长．
【答案】（1）若，则AF是⊙O的切线；（2）是真命题，理由见分析；（3）
【分析】（1）根据逆命题的概念，交换题设和结论即可解答；
（2）如图：连接OC， 根据平行线的性质可得、，进而得到，然后再证可得，再根据PC是的切线可得，进而说明即可说明；
（3）先根据勾股定理可得，然后再说明、，由三角形的面积公式可得，即可得，最后根据即可解答．
（1）解：∵原命题为：若是的切线，则
∴逆命题为：若，则AF是⊙O的切线；
故答案为：若，则AF是⊙O的切线．
（2）解：是真命题，理由如下：
如图：连接OC，
  
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∵PC是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（3）解：∵的半径为4，，，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴的面积，
∴，解得：，
∴．
【点拨】本题主要考查了逆命题、圆的切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点是解答本题的关键．
【变式3】（2022春·九年级课时练习）如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，其中∠BAC＝90°，过点A作直线AD交CB的延长线于D，且∠BAD＝∠C．

（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）①F为OB中点，OE⊥AC于E，连接OA、EF交于G点，探究EG与GF的关系并说明理由；
②延长AO交⊙O于H，连接FH，若EF＝FH，则∠ACB＝______度．
【答案】（1）见分析；（2）①EG＝FG，理由见分析；②45
【分析】（1）由OA＝OC得∠C＝∠OAC，由∠BAD＝∠C等量代换得∠OAC＝∠BAD，再由∠BAC＝90°可得∠BAD+∠OAB＝90°，即可得出结论；
（2）①取OA的中点K，连接FK，由三角形中位线可证明△GOE≌△GKF，即可得出EG＝FG；
②延长FG交AC于M，连接AF，先证明FM垂直平分AE，得到EF＝AF，进而得到AF＝FH，由等腰三角形的性质可得∠AOF＝90°，由圆周角定理即可得到∠C＝45°．
解：（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠OAC＝∠BAD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAC+∠OAB＝90°，
∴∠BAD+∠OAB＝90°，
∵OA为⊙O的半径，
∴AD为⊙O的切线；
（2）①EG＝FG，
理由：如图，取OA的中点K，连接FK，

∵F是OB的中点，K是OA的中点，
∴FK是△OAB的中位线，
∴FKAB，FK＝AB，
∵OE⊥AC，
∴E是AC的中点，
∵O是BC的中点，
∴OE是△CAB的中位线，
∴OEAB，OE＝AB，
∴OEFK，OE＝FK，
∴∠OEG＝∠KFG，∠GOE＝∠GKF
∴△GOE≌△GKF（ASA），
∴EG＝FG；
②如图，延长FG交AC于M，连接AF，

∵OE⊥AC，OEFK，
∴FK⊥AC，
∵OF＝FB，OEMFAB，
∴EM＝AM，
∴FM垂直平分AE，
∴EF＝AF，
∵EF＝FH，
∴AF＝FH，
∵AO＝OH，
∴FO⊥AH，
∴∠AOF＝90°，
∴∠C＝45°，
故答案为：45．
【点拨】本题考查了切线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，垂径定理，掌握圆的相关性质定理是解题的关键．