数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.4 二项分布与超几何分布课时作业

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7.4 二项分布与超几何分布 7.4.2 超几何分布
A级　基础巩固
1.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取得次品的件数,则P(X<2)等于(　　)
A.B.C.D.1
解析:由题意,知X取0,1,2,X服从超几何分布,
则P(X=0)==,P(X=1)==,
所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
答案:C
2.一批产品共50件,次品率为4%,从中任取2件,则含有1件次品的概率约为(　　)
A.0.078B.0.78C.0.007 8D.0.022
解析:由于次品率为4%,故次品数为50×4%=2,正品数为50-2=48,故从中任取2件,含有1件次品的概率为≈0.078.
答案:A
3.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机取出4个,则概率是的事件为(　　)
A.恰有1个是坏的
B.4个全是好的
C.恰有2个是好的
D.至多有2个是坏的
解析:对于选项A,概率为=;对于选项B,概率为=;对于选项C,概率为=;对于选项D,至多有2个是坏的包括没有坏的、有1个坏的和有2个坏的三种情况,根据A选项,恰有1个坏的概率是>,故D选项中事件发生的概率大于.故选C.
答案:C
4.12人组成的兴趣小组,有5名男同学,现从小组中任意选6人参加竞赛,用X表示这6人中男同学的人数,则下列概率中等于的是
(　　)
A.P(X=2)B.P(X=3)C.P(X≤2)D.P(X≤3)
解析:从12人中选6人共有种可能情况.
若X=3,则6人中男同学的人数为3的可能情况有种,
则P(X=3)=.
答案:B
5.数学老师从6道习题中随机抽3道对同学进行检测,规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只会求解其中的4道题,则他能及格的概率是.
解析:设从6道题中随机抽的3道题中该同学会求解的道数为X,则X服从超几何分布,
由超几何分布的概率公式可得,
他能及格的概率是P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
B级　拓展提高
6.一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选3人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中的女生人数为变量X,男生人数为变量Y,则P(X=2)+P(Y=2)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析:由题意,得P(X=2)=,P(Y=2)=,
所以P(X=2)+P(Y=2)=.
答案:C
7.在10件产品中存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为X,已知P(X=1)=,且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为
(　　)
A.10%B.20%C.30%D.40%
解析:设10件产品中存在n件次品.
已知从中抽取2件,其次品数为X,且P(X=1)=,所以=,
化简,得n2-10n+16=0,解得n=2或n=8.
又因为该产品的次品率不超过40%,所以n≤4,
所以n=2,所以这10件产品的次品率为=20%.
答案:B
8.在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响.具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列.
解:(1)接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率为P==.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,且X服从超几何分布.
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,P(X=4)==,
故X的分布列如下表所示.
X
0
1
2
3
4
P





9.为了加强环保知识的宣传,某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.活动设置了四个箱子,分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”,另有卡片若干张,每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张,按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则,每正确投放一张卡片得5分,投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子,得5分,放入其他箱子,得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人,将他们的得分按照区间[0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100]分组,绘成频率分布直方图如图所示.

(1)分别求出所抽取的20人中得分落在区间[0,20]和(20,40]上的人数;
(2)从所抽取的20人中得分落在区间[0,40]上的选手中随机选取3名,以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数,求X的分布列和均值.
解:(1)由题意,知所抽取的20人中得分落在区间[0,20]上的有0.005 0×20×20=2(人),
得分落在区间(20,40]上的有0.007 5×20×20=3(人).
因此,所抽取的20人中得分落在区间[0,20]上的人数为2,得分落在区间(20,40]上的人数为3.
(2)由题意可知,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
所以随机变量X的分布列如下表所示.
X
0
1
2
P



因为n=3,p=,所以随机变量X的均值E(X)=3×=.
C级　挑战创新
10.多选题一个不透明的袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,
3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,下列变量服从超几何分布的是(　　)
A.X表示取出的最大号码
B.X表示取出的最小号码
C.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分
D.X表示取出的黑球个数
答案:CD
11.多选题一个不透明的袋中有大小相同的4个红球和2个白球,给出下列4个结论,其中正确的有(　　)
A.从中任取3球,恰有一个白球的概率是
B.从中有放回的取球6次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为
C.现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为
D.从中有放回的取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为
解析:A选项,恰有一个白球的概率P==,故A正确.
B选项,每次任取一球,取到红球次数X~B(6,),
其方差为6××(1-)=,故B正确.
C选项,设A={第一次取到红球},B={第二次取到红球}.
则P(A)=,P(A∩B)==,所以P(B|A)==,故C错误.
D选项,每次取到红球的概率P=,所以至少有一次取到红球的概率为1-(1-)3=,故D正确.
故选ABD.
答案:ABD
12.多空题某校为了解高三学生身体素质情况,从某项体育测试成绩中随机抽取n名学生的成绩进行分析,得到成绩频率分布直方图(如图所示).已知成绩在区间[90,100]上的学生人数为8,且有4名女生的成绩在区间[50,60)上,则n=50.现从成绩在区间[50,60)上的样本中随机抽取2名学生,记所抽取学生中女生的人数为X,则X的均值是.

解析:依题意,得0.016×10n=8,则n=50.
所以成绩在区间[50,60)上的人数为0.012×10×50=6,其中4名为女生,2名为男生.
X的所有可能取值为0,1,2.
因为P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
所以E(X)=0×+1×+2×=.