苏科版1.2 一元二次方程的解法课后测评

这是一份苏科版1.2 一元二次方程的解法课后测评，共11页。
1.2 一元二次方程的解法（提升题）-苏科版数学九年级上册
一．选择题
1 ．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（　　）
A．3，12 B．﹣3，12 C．3，6 D．﹣3，6
2 ．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥0 B．a≥0且a≠1 C．a＞0 D．a＞0且a≠1
3 ．基本不等式的性质：一般地，对于a＞0，b＞0，我们有a+b≥2，当且仅当a＝b时等号成立．例如：若a＞0，则a+＝6，当且仅当a＝3时取等号，a+的最小值等于6．根据上述性质和运算过程，若x＞1，则4x+的最小值是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
4 ．已知多项式A＝x2+4x+n2，多项式B＝2x2+6x+3n2+3．
①若多项式x2+4x+n2是完全平方式，则n＝2或﹣2；
②B﹣A≥2；
③若A+B＝2，A•B＝﹣6，则A﹣B＝±8；
④若（2022﹣A）（A﹣2018）＝﹣10，则（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；
⑤代数式5A2+9B2﹣12A•B﹣6A+2031的最小值为2022．
以上结论正确的为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①④⑤
5 ．欧几里得的《几何原本》中记载了形如x2﹣2bx+4c2＝0（b＞2c＞0）的方程根的图形解法：如图，画Rt△ABC，使∠C＝90°，AC＝2c，AB＝b，以B为圆心，BC为半径画圆，交射线AB于点D、E，则该方程较大的根是（　　）

A．CE的长度 B．CD的长度 C．DE的长度 D．AE的长度
6 一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
7 已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
8 等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（　　）
A．6 B．6或7 C．7或8 D．7
9 下列配方中，变形正确的是（　　）
A．x2+2x＝（x+1）2 B．x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2+1
C．2x2+4x+3＝2（x+1）2+1 D．﹣x2+2x＝﹣（x+1）2﹣1
10 已知A＝x2+6x+n2，B＝2x2+4x+2n2+3，下列结论正确的个数为（　　）
①若A＝x2+6x+n2是完全平方式，则n＝±3；
②B﹣A的最小值是2；
③若n是A+B＝0的一个根，则4n2+＝；
④若（2022﹣A）（A﹣2019）＝2，则（2022﹣A）2+（A﹣2019）2＝4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题
11 ．方程（x﹣3）（x+2）＝0的根是　 　．
12 ．一元二次方程﹣x2+2x＝0的解是　 　．
13 ．如果关于x的方程x2﹣5x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是　 　．
14 ．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的最大整数值是　 　．
15 ．一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两个根是等腰三角形的两条边长，则该等腰三角形的周长是　 　．

三．解答题
16 ．解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）．
17 ．阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．
解：分两种情况：
（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）；
（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x1＝﹣5，x2＝2（舍去）；
综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝﹣5．
问题：仿照上面的方法，解方程：x2﹣2|2x+3|+9＝0．
18 ．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，∴n＝2，m＝2．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣6a+9＝0，则a＝　 　，b＝　 　．
（2）已知x2+2y2﹣2xy﹣8y+16＝0，求x•y的值．
（3）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a+b＝8，ab﹣c2+10c＝41，求△ABC的周长．
19 ．我们可以用以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4
∵（x+3）2≥0
∴（x+3）2﹣4≥﹣4
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）求代数式x2﹣4x+2的最小值；
（2）求代数式﹣x2+6x+9的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
（3）求证：无论x和y取任何实数，代数式2x2+10y2﹣6xy﹣6x﹣2y+11的值都是正数．
20 ．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x﹣1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．
（1）①列表：下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值m＝　 　；n＝　 　；
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
1
m
0
0
n
…
②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线，作出函数图象；
（2）下列关于该函数图象的性质正确的是 　 　；（填序号）
①y随x的增大而增大；
②该函数图象关于y轴对称；
③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；
④该函数图象不经过第三象限．
（3）若函数值y＝8，则x＝　 　；
（4）若关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是 　 　．



参考答案与试题解析
一．选择题
1 ．【解答】解：∵x2﹣6x+3＝0，
∴x2﹣6x＝﹣3，
则x2﹣6x+9＝﹣3+9，即（x﹣3）2＝6，
∴x＝﹣3，b＝6，
故选：D．
2 ．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×（﹣1）＝4a≥0，
解得a≥0，
又∵a﹣1≠0，
∴a≥0且a≠1，
故选：B．
3 ．【解答】解：4x+
＝4x﹣4++4
＝4（x﹣1）++4，
∵x＞1，
∴x﹣1＞0，
∴4x+＝4（x﹣1）++4≥2+4＝8，
∴4x+的最小值是8．
故选：B．
4 ．【解答】解：①∵多项式x2+4x+n2是完全平方式，
∴n＝±2，故结论正确；
②∵B﹣A＝2x2+6x+3n2+3﹣（x2+4x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，
而（x+1）2+2n2≥0，
∴B﹣A≥2，故结论正确；
③∵A+B＝2，A•B＝﹣6，
∴（A﹣B）2＝（A+B）2﹣4AB＝﹣4×（﹣6）＝64，
∴A﹣B＝±8，
根据②A﹣B＝﹣8故结论错误；
④∵（2022﹣A+A﹣2018）2＝（2022﹣2018）2＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2（2022﹣A）（A﹣2018）＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2×（﹣10）＝16，
∴（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；故结论正确；
⑤5A2+9B2﹣12A•B﹣6A+2031＝4A2+9B2﹣12A•B+A2﹣6A+9+2022＝（2A﹣3B）2+（A﹣3）2+2022，
∵（2A﹣3B）2≥0，（A﹣3）2≥0，
当A＝3，B＝2时有最小值为2022，
但是根据②B﹣A≥2，
∴结论错误．
故选B．
5 ．【解答】解：∵x2﹣2bx+4c2＝0，
∴x2﹣2bx＝﹣4c2，
则x2﹣2bx+b2＝b2﹣4c2，
∴（x﹣b）2＝b2﹣4c2，
∴x﹣b＝±，
∴x1＝b+，x2＝b﹣，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2c，AB＝b，
∴BC＝＝，
∴方程较大的根为AB+BC＝AB+BE＝AE的长度，
故选：D．
6 【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝25﹣8＝17＞0，
∴一元二次方程2x2﹣5x+1＝0有两个不相等的实数根，
故选：C．
7 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴，
解得：m≥且m≠1．
故选：D．
8 【解答】解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a＝2，或b＝2；②a＝b两种情况，
①当a＝2，或b＝2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，
∴x＝2，
把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0得，22﹣6×2+n+2＝0，
解得：n＝6，
当n＝6，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n＝6不合题意，
②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0
解得：n＝7．
故选：D．
9 【解答】解：x2+2x
＝x2+2x+1﹣1
＝（x+1）2﹣1，
A错误．
x2﹣4x﹣3
＝x2﹣4x+4﹣4﹣3
＝（x2﹣4x+4）+（﹣4﹣3）
＝（x﹣2）2﹣7．
B错误．
2x2+4x+3
＝2（x2+2x）+3
＝2（x2+2x+1﹣1）+3
＝2（x2+2x+1）﹣2×1+3
＝2（x+1）2﹣2+3
＝2（x+1）2+1．
C正确．
﹣x2+2x
＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）
＝﹣（x2﹣2x+1）+1
＝﹣（x+1）2+1
D错误．
故选：C．
10 【解答】解：①∵A＝x2+6x+n2是完全平方式，
∴n＝±3，故结论正确；
②∵B﹣A
＝2x2+4x+2n2+3﹣（x2+6x+n2）
＝x2﹣2x+n2+3
＝（x﹣1）2+n2+2，
而（x﹣1）2+n2≥0，
∴B﹣A≥2，
∴B﹣A的最小值是2，故结论正确；
③∵A+B＝x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3＝3x2+10x+3n2+3，
把x＝n代入3x2+10x+3n2+3＝0，
得3n2+10n+3n2+3＝0，即6n2+10n+3＝0，
解得n＝，
当n＝时，2n+＝+＝﹣，
∴4n2+＝（2n+）2﹣4＝﹣4＝；
当n＝时，2n+＝+＝﹣，
∴4n2+＝（2n+）2﹣4＝﹣4＝；
故结论错误；
④∵（2022﹣A+A﹣2019）2
＝（2022﹣2019）2
＝（2022﹣A）2+（A﹣2019）2+2（2022﹣A）（A﹣2019）
＝（2022﹣A）2+（A﹣2019）2+2×2
＝9，
∴（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝5；故结论错误；
故选B．

二．填空题
11 ．【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）＝0．
∴x﹣3＝0或x+2＝0，
解得：x＝3或x＝﹣2，
故答案为：x＝3或x＝﹣2．
12 ．【解答】解：﹣x2+2x＝0，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或2，
故答案为：x＝0或2．
13 ．【解答】解：
∵方程x2﹣5x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（﹣5）2﹣4k＝0，解得k＝，
故答案为：．
14 ．【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴△≥0，
∴[2（m﹣1）]2﹣4m2≥0，
∴﹣8m+4≥0，
解得，m≤，
故m的最大整数值是0．
故答案为0．
15 ．【解答】解：解方程x2﹣8x+12＝0得：x＝2或6，
∵一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两个根是等腰三角形的两条边长，
∴可能有一下两种情况：①三角形的三边为2，2，6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
②三角形的三边为2，6，6，此时符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长为2+6+6＝14；
故答案为：14．

三．解答题
16 ．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3，
配方得：x2﹣4x+4＝3+4，
（x﹣2）2＝7，
开方得：x﹣2＝，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣；

（2），
﹣＝1，
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣3＝（x+1）（x﹣1），
解得：x＝，
检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以x＝是原方程的解，
即原分式方程的解是x＝．
17 ．【解答】解：（1）当2x+3≥0，即x≥﹣时，原方程化为x2﹣2（2x+3）+9＝0，
整理，得：x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3；
（2）当2x+3＜0，即x＜﹣时，原方程化为x2+2（2x+3）+9＝0，
整理，得：x2+4x+15＝0，
∵Δ＝42﹣4×1×15＝﹣44＜0，
此一元二次方程无实数根，
综上所述，原方程的解是x1＝1，x2＝3．
18 ．【解答】解（1）由：a2+b2﹣6a+9＝0，得（a﹣3）2+b2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，b2≥0，
∴a﹣3＝0，b＝0，
∴a＝3，b＝0．
故答案为：3；0．
（2）由x2+2y2﹣2xy﹣8y+16＝0得（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0，
∴x﹣y＝0，y﹣4＝0，
∴x＝y＝4，
∴x•y＝16；
（3）∵a+b＝8，
∴b＝8﹣a，
∵ab﹣c2+10c＝41，
∴a2﹣8a+16+c2﹣10c+25＝0，
∴（a﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a﹣4＝0，c﹣5＝0，
∴a＝4，c＝5，
∴b＝4，
∴△ABC的周长为a+b+c＝4+4+5＝13．
19 ．【解答】（1）解：x2﹣4x+2＝x2﹣2•x•2+22﹣22+2＝（x﹣2）2﹣2，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2﹣2≥﹣2，
∴当x＝2时，x2﹣4x+2有最小值﹣2；
（2）解：﹣x2+6x+9＝﹣（x2﹣2•x•3+32）+32+9＝﹣（x﹣3）2+18，
∵（x﹣3）2≥0，
∴﹣（x﹣3）2+18≤18，
∴当x＝3时，﹣x2+6x+9有最大值18；
（3）证明：2x2+10y2﹣6xy﹣6x﹣2y+11
＝x2﹣6x+9+y2﹣2y+1+x2﹣6xy+9y2+1
＝（x﹣3）2+（y﹣1）2+（x﹣3y）2+1，
∵（x﹣3）2≥0，（y﹣1）2≥0，（x﹣3y）2≥0，
∴（x﹣3）2+（y﹣1）2+（x﹣3y）2+1＞0，
∴无论x和y取任何实数，代数式2x2+10y2﹣6xy﹣6x﹣2y+11的值都是正数．
20 ．【解答】解：（1）①m＝﹣（﹣1）﹣1＝0；n＝22﹣1＝3；
故答案为：0，3；
②描点，连线，作出函数图象如下：

（2）从图象可知：下列关于该函数图象的性质正确的是③；
故答案为：③；
（3）若x≥0时，x2﹣1＝8，
解得x＝3或x＝﹣3，
∴x＝3；
若x＜0时，﹣x﹣1＝8，
解得x＝﹣9，
故答案为：3或﹣9；
（4）由图象可知：关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，则c＞﹣2，
故答案为：c＞﹣2．