数学2.5 直线与圆、圆与圆的位置复习练习题

第二章　2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系

2.5.1　直线与圆的位置关系

A级  必备知识基础练

1.[探究点一]已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(　　)

A.相切 B.相交 

C.相离 D.不确定

2.[探究点三]直线l与圆M:x2+y2+2x-4y+a=0(a<5)相交于A,B两点,若弦AB的中点为C(-2,3),则直线l的方程为(　　)

A.x-y+5=0 B.x+y-1=0

C.x-y-5=0 D.x+y-3=0

3.[探究点三](多选题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值可以为(　　)

A.0 B.4 

C.-2 D.

4.[探究点二](多选题)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程可以是(　　)

A.2x+y+=0 B.2x+y-=0

C.2x+y+5=0 D.2x+y-5=0

5.[探究点二]若直线y=kx与圆x2+y2-6x+8=0相切,且切点在第四象限,则k=　　　　　.

6.[探究点二]过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的长为　　　　　. 

7.[探究点二]已知曲线C:x2+y2+2x+4y+m=0.

(1)当m为何值时,曲线C表示圆?

(2)若直线l:y=x-m与圆C相切,求m的值.

8.[探究点四][2022浙江温州期中]为了开发古城旅游观光,镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥,河面跨度AB为32米,拱桥顶点C离河面8米.

(1)如果以AB所在直线为x轴,以AB中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系,试求出该圆形拱桥所在圆的方程;

(2)现有游船船宽8米,船顶离水面7米,为保证安全,要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米.问这条船能否顺利通过这座拱桥,并说出理由.

B级  关键能力提升练

9.在圆x2+y2+2x+4y-3=0上且到直线x+y+1=0的距离为的点共有(　　)

A.1个 B.2个 

C.3个 D.4个

10.已知直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)

A.[2,6] B.[4,8]

C.[,3] D.[2,3]

11.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点,则b满足(　　)

A.|b|=

B.-1<b≤1或b=-

C.-1≤b<1

D.非以上答案

12.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点.若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为(　　)

A. B.

C.2 D.2

13.(多选题)从点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后,照射到圆C:x2+y2-4x-4y+7=0上,则下列结论正确的有(　　)

A.若反射光线与圆C相切,则切线方程为3x-4y-3=0

B.若反射光线穿过圆C的圆心,则反射光线方程为x-y=0

C.若反射光线照射到圆上后被吸收,则光线经过的最短路程是5-1

D.若反射光线反射后被圆C遮挡,则在x轴上被挡住的范围是

14.(多选题)方程=kx+2有唯一实数解,则实数k的取值可以是(　　)

A.k=± B.k=±2

C.k<-2或k>2 D.k<-3或k>3

15.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　. 

16.如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P,Q分别在线段AD,CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的“盲区”中的时长约　　　　　秒.(精确到0.1) 

17.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.

(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;

(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求实数m的取值范围.

C级  学科素养创新练

18.在△ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是△ABO的内切圆上的一点,求分别以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.

答案：

1.B　∵点M(a,b)在圆x2+y2=1外,∴a2+b2>1.

∴圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离d=<1=r,则直线与圆的位置关系是相交.

2.A　由圆的一般方程,可得圆心为M(-1,2).由圆的性质易知,点M(-1,2)与C(-2,3)的连线与弦AB垂直,故有kAB·kMC=-1.又kMC==-1,∴kAB=1.故直线AB的方程为y-3=x+2,整理得x-y+5=0.

3.AB　由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为2,

所以圆心到直线的距离d=.

又d=,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.

4.CD　依题意可设所求切线方程为2x+y+c=0(c≠1),则圆心(0,0)到直线2x+y+c=0的距离为,解得c=±5.故所求切线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.

5.-　圆x2+y2-6x+8=0,即(x-3)2+y2=1,其圆心为(3,0),半径等于1.

由题意可得k<0,再根据圆心到直线的距离等于半径可得=1,求得k=-.

6.4　圆的方程化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=5,

示意图如图所示,则圆心为O'(3,4),半径r=.

切线长|OP|==2.

∴|PQ|=2·=2×=4.

7.解(1)由C:x2+y2+2x+4y+m=0,

得(x+1)2+(y+2)2=5-m,

由5-m>0,得m<5,∴当m<5时,曲线C表示圆.

(2)由(1)知圆C的圆心坐标为(-1,-2),半径为.

∵直线l:y=x-m与圆C相切,

∴,解得m=±3,满足m<5.

∴m=±3.

8.解(1)B(16,0),C(0,8),设圆心(0,b),

圆的方程为x2+(y-b)2=r2,

由圆过点B,C可得解得

所以圆形拱桥所在圆的方程是x2+(y+12)2=400.

(2)可设船右上角竖直方向0.5米处的点为P(4,7.5),代入圆的方程左端得396.25<400,所以点P在圆内,故船可以顺利通过这座拱桥.

9.C　由x2+y2+2x+4y-3=0,得(x+1)2+(y+2)2=8,故圆心为(-1,-2),半径r=2,

从而圆心到直线x+y+1=0的距离d=,故圆上有3个点满足题意.

10.A　圆心到直线AB的距离d==2.

设点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即≤d'≤3.

又|AB|=2,∴S△ABP=·|AB|·d'=d',

∴2≤S△ABP≤6.

11.B　曲线x=含有限制条件,即x≥0,

故曲线表示单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.

在同一平面直角坐标系中,画出y=x+b与曲线x=(就是x2+y2=1,x≥0)的图象,

如图所示.

相切时,b=-,其他位置符合条件时需-1<b≤1.

12.D　圆C: x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径是r=1,由圆的性质知S四边形PACB=2S△PBC.

∵四边形PACB的最小面积是2,

∴S△PBC的最小值为1,

即rd最小值=1 (其中d最小值是切线长的最小值),∴d最小值=2.

∴PC的最小值为.

∵圆心到直线kx+y+4=0(k>0)的距离就是PC的最小值,∴,

∴k=2或k=-2(舍去).故选D.

13.BCD　点A(-3,3)关于x轴的对称点为A'(-3,-3).圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,由题意知反射光线的斜率存在,设反射光线方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.对于A,由相切知=1,解得k=或k=.

∴反射光线方程为y+3=(x+3)或y+3=(x+3).

即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0,故A错误;

又经过点A'(-3,-3),C(2,2)的方程为y=x,故B正确;

因为|A'C|==5,所以直线的最短路程为5-1,故C正确;

由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1,0)和,

所以在x轴上被挡住的范围是,故D正确.

14.AC　由题意知,线段y=kx+2(-1≤x≤1)与半圆x2+y2=1(y≥0)只有一个交点,结合图形(图略)易得k<-2或k>2或k=±.故选AC.

15.　如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,

∴直线l的倾斜角θ的取值范围为0°≤θ≤30°或150°≤θ<180°.

∴直线l的斜率的取值范围为.

16.4.4　以点O为坐标原点,建立如下图所示的平面直角坐标系,

可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t),

可得出直线PQ的方程y-10+t=(x-10),

圆O的方程为x2+y2=1.

由直线PQ与圆O有公共点,可得≤1,化为3t2+16t-128≤0,解得0≤t≤,而≈4.4,因此,点Q在点P的“盲区”中的时长约为4.4秒.

17.解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0<a≤4),

则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2.

直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|2-a|.

设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得

L=2=2=2.

∵0<a≤4,∴当a=3时,L的最大值为2.

(2)∵直线l与圆C相切,则有=2,即|m-2a|=2.

∵点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m,

∴2a-m=2,∴m=(-1)2-1.

∵0<a≤4,∴0<≤2,∴m∈[-1,8-4].

18.解如图,建立平面直角坐标系,使A,B,O三点的坐标分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0).

设△AOB的内切圆的半径为r,点P的坐标为(x,y).再设切点分别为E,F,G,则|OE|+|EA|+|OF|+|FB|=2r+|AG|+|BG|.

即2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1,∴内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=2x-1. ①

又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25, ②

∴将①代入②,得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.

∵P(x,y)是内切圆上的点,∴0≤x≤2,

∴|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18.

又以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为π2+π2+π2=(|PA|2+|PB|2+|PO|2),

∴以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为,最小值为.