高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课后测评

课时同步练习(四十四)　正切函数的性质与图象

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．函数y＝|x|tan 2x是(　　)

A．奇函数

B．偶函数

C．非奇非偶函数

D．既是奇函数，又是偶函数

A　[易知2x≠kπ＋，即x≠＋，k∈Z，定义域关于原点对称．

又|－x|tan(－2x)＝－|x|tan 2x，

∴y＝|x|tan 2x是奇函数．]

2．下列各式中正确的是(　　)

A．tan 735°＞tan 800° B．tan 1＞－tan 2

C．tan＜tan   D．tan＜tan

D　[对于A，tan 735°＝tan 15°，

tan 800°＝tan 80°，tan 15°＜tan 80°，

所以tan 735°＜tan 800°；

对于B，－tan 2＝tan(π－2)，

而1＜π－2＜，所以tan 1＜－tan 2；

对于C，＜＜＜π，tan＜tan；

对于D，

tan＝tan＜tan.]

3．函数y＝tan(cos x)的值域是(　　)

A.   B.

C．[－tan 1，tan 1] D．以上都不对

C　[cos x∈[－1,1]，y＝tan x在[－1,1]上是增函数，所以y＝tan(cos x)的值域是[－tan 1，tan 1]．]

4．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　)

A．x＝   B．x＝－

C．x＝   D．x＝

D　[当x＝时，y＝tan＝tan ＝1；当x＝－时，y＝tan＝1；当x＝时，y＝tan ＝－1；当x＝时，y＝tan 不存在．]

5．方程tan＝在区间[0,2π)上的解的个数是(　　)

A．5　　　　B．4       C．3　　　　D．2

B　[由tan＝，得2x＋＝＋kπ，k∈Z，

所以x＝，k∈Z，又x∈[0,2π)，

所以x＝0，，π，，故选B.]

二、填空题

6．函数y＝＋的定义域为________．

　[由题意得，

所以2kπ－＜x≤2kπ，k∈Z，

所以函数y＝＋的定义域为.]

7．函数y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan(－x)，y＝tan|x|在上的大致图象依次是________(填序号)．

①②④③　[∵|tan x|≥0，∴图象在x轴上方，∴y＝|tan x|对应①；∵tan|x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y＝tan|x|对应③；而y＝tan(－x)与y＝tan x关于y轴对称，∴y＝tan(－x)对应④，y＝tan x对应②，故四个图象依次是①②④③.]

8．f(x)＝asin x＋btan x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________.

－5　[∵f(5)＝asin 5＋btan 5＋1＝7，

∴asin 5＋btan 5＝6，

∴f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1

＝－(asin 5＋btan 5)＋1

＝－6＋1＝－5.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝3tan.

(1)求它的最小正周期和单调递减区间；

(2)试比较f(π)与f的大小．

[解]　(1)因为f(x)＝3tan

＝－3tan，

所以T＝＝＝4π.

由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，

得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．

因为y＝3tan在(k∈Z)上单调递增，所以f(x)＝3tan在4kπ－，4kπ＋(k∈Z)上单调递减．

故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为4kπ－，4kπ＋(k∈Z)．

(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，

f＝3tan＝3tan＝－3tan，

因为＜，且y＝tan x在上单调递增，

所以tan＜tan，所以f(π)＞f.

10．已知函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜，求正整数k的值，并写出f(x)的奇偶性、单调区间．

[解]　因为1＜T＜，

所以1＜＜，即＜k＜π.因为k∈N*，

所以k＝3，则f(x)＝2tan，

由3x－≠＋kπ，k∈Z得x≠＋，k∈Z，定义域不关于原点对称，

所以f(x)＝2tan是非奇非偶函数．由－＋kπ＜3x－＜＋kπ，k∈Z，

得－＋＜x＜＋，k∈Z.

所以f(x)＝2tan的单调增区间为，k∈Z.

[等级过关练]

1．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

A　　        　　B

C　　      　　D

D　[当＜x＜π，tan x＜sin x，

y＝2tan x＜0；

当x＝π时，y＝0；

当π＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x．故选D.]

2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是(　　)

A．1　　　　B．2         C．4　　　　D．8

C　[由题意可得f(x)的周期为，则＝，

∴ω＝4.]

3．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________．

[－4,4]　[∵－≤x≤，

∴－1≤tan x≤1.

令tan x＝t，则t∈[－1,1]．

∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.

∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，

当t＝1，即x＝时，ymax＝4.

故所求函数的值域为[－4,4]．]

4．若f(n)＝tan，(n∈N*)则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.

0　[因为f(n)＝tann的周期T＝＝3，

且f(1)＝tan＝，f(2)＝tan＝－，f(3)＝tan π＝0，

所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝×0＝0.]

5．已知函数f(x)＝tan

(1)求f(x)的定义域；

(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2cos，求β的值．

[解]　(1)由x＋≠kπ＋，k∈Z得x≠kπ＋，k∈Z.

所以函数f(x)的定义域是.

(2)依题意；得tan＝2cos，

所以＝2sin，

整理得sin＝0，

所以sin＝0或cos＝.

因为β∈(0，π)，所以β＋∈，

由sin＝0得β＋＝π，β＝，

由cos＝得β＋＝，β＝，

所以β＝或β＝.