人教A版高中数学数学选择性必修第二册第五章测评习题含答案

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第五章测评
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)=2ln x+f'(2)x2+2x+3,则f(1)=(　　)
A.-2 B.2
C.-4 D.4
2.[2023江西赣州期末]已知f(x)=-x3-x,a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则(　　)
A.f(c)c,
所以f(a)0时,由2f(x)+xf'(x)-20,所以函数y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零,所以C不正确;
由y=f(x)图象可知,当x∈(-2,2)时,f'(x)≥0,当且仅当x=1时,等号成立,所以函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增,
所以D正确.
故选AD.
11.ABC　由f(x)=x3-ax2-2x,得f'(x)=3x2-2ax-2.
对于A,因为x=1是函数f(x)的极值点,所以f'(1)=3-2a-2=0,得a=12,经检验x=1是函数f(x)的极小值点,所以A正确;
对于B,由选项A可知f(x)=x3-12x2-2x,则f'(x)=3x2-x-2,由f'(x)>0,得x1,由f'(x)0,所以h(x)在[1,2]上单调递增,所以h(x)max=h(2)=2-ln 2-1=1-ln 2,所以a≥1-ln 2,所以D错误.
故选ABC.
12.AB　对于选项A,∵f'(x)=x2-2x+a,
∴f″(x)=2x-2,
令f″(x)=0,得x=1,∴f(x)的拐点为(1,f(1)),
∵f(1)=-23,∴f(x)的图象的对称中心为1,-23,即f(x)+f(2-x)=-43成立,故选项A正确;
对于选项B,当x=1时,f(x)=-23,
∴x=1不是f(x)的零点,令f(x)=13x3-x2+ax-a=0,即a=-x3+3x23(x-1)有三个实数根,令g(x)=-x3+3x23(x-1),
∵g'(x)=3(-3x2+6x)(x-1)-3(-x3+3x2)[3(x-1)]2=-2x[(x-32) 2+34]3(x-1)2,
∴当x∈(-∞,0)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(0,1)时,g(x)单调递减,x∈(1,+∞)时,g(x)单调递减,且x≠1,
∴g(x)的大致图象如图所示,

由图可知,当a0,f(x)单调递增,所以x=0是函数f(x)的极值点,故a=1.
15.0　y=2x-12　∵函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称,
∴f[2(x+1)+1]=f[2(1-x)+1],即f(2x+3)=f(3-2x),
∴f(x+3)=f(3-x),故f(x)的图象关于直线x=3对称,
∴f(x)=f(6-x).当6-x112时,f(x)=f(6-x)=ln[1-2(6-x)]=ln(2x-11),
∴当x>112时,f(x)=ln(2x-11),
则f'(x)=22x-11,
∴f(6)=ln 1=0,f'(6)=21=2,
故曲线y=f(x)在(6,0)处的切线方程为y=2(x-6),
即y=2x-12.
16.[2,+∞)　令g(x)=f(x)-12x2,x∈R,∵g(-x)+g(x)=f(-x)-12x2+f(x)-12x2=0,
∴函数g(x)为奇函数.
∵当x∈(0,+∞)时,g'(x)=f'(x)-x0,
当x∈(-2,2)时,f'(x)1,所以k≤x2+x-5在(1,+∞)上恒成立,
令g(x)=x2+x-5,由二次函数的性质得g(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以g(x)>g(1)=-3,
所以所求k的取值范围为(-∞,-3].
19.解(1)根据题意,函数h(x)=ln x-x-mx,
则h'(x)=1x-1+mx2=-x2+x+mx2,
函数h(x)=ln x-x-mx有两个极值点等价于关于x的方程-x2+x+m=0有两个不相等的正实数根.
令f(x)=-x2+x+m,
因为f(x)图象的对称轴为直线x=12,
所以Δ=1+4m>0,f(0)=m1e3.故实数a的取值范围是1e3,+∞.
21.

解(1)当θ=60°且n=3时(如图),CA1=CA2=CA3=4,OC=23,
所以BC+CA1+CA2+CA3=12+10-23=22-23(m).
(2)因为金属杆CA1,CA2,…,CAn所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ,
所以∠CA1O=∠CA2O=∠CA3O=…=∠CAnO=θ,
CA1=CA2=CA3=…=CAn=2cosθ,CO=2tan θ.
设金属杆总长为y m,则
y=2ncosθ+10-2tan θ=2(n-sinθ)cosθ+1000,得x>1,
则g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
当0