数学11.3.2 多边形的内角和教案设计

第十一章 三角形

11.3  多边形及其内角和

11.3.2  多边形的内角和

一、教学目标

1.掌握多边形内角和与外角和公式.

2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.

3.能灵活运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.

二、教学重难点

重点：多边形的内角和与外角和公式的应用.

难点：多边形的内角和公式的推导.

三、教学过程

【新课导入】

[复习导入]什么是多边形的内角？什么是多边形的外角？

学生回忆，回答（多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.）

[提出问题]多边形的内角和与外角和有什么性质呢？

【新知探究】

知识点1   多边形的内角和

[提出问题]（1）三角形内角和是多少度？（180°）（2）长方形和正方形的内角和是多少度？（360°）

（3）请大家任意画一个四边形，这个四边形的内角和是多少度？是否与长方形和正方形的内角和相等？你是怎么得到内角和的度数的？

[动手操作]学生画出任意一个四边形，通过自己的方式得到四边形的内角和.

教师巡视，帮助有困难的学生，同时鼓励通过做辅助线来证明四边形的内角和的同学.

[提出问题]老师发现有一部分同学是用量角器测量可四边形四个角的度数，然后相加得到四边形的内角和的，但是测量有误差，如果能推理证明，就会更有说服力.该如何证明呢？

[课件展示]教师利用多媒体展示分析思路,如下：

[学生回答]教师请一位通过证明来得到内角和的同学讲述他的证明方法.之后课件展示证明过程，如下：

[提出问题]类比四边形内角和的推导方法，请尝试探究五边形和六边形的内角和.

[课件展示]教师利用多媒体展示五边形和六边形的内角和探究过程，如下：

学生集体回答.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下表格，总结从一般到特殊，怎样得到n变形的内角和.

学生集体回答.

[归纳总结]边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°.

[提出问题]以上我们的探究过程用到了转化的思想，把多边形分割成几个三角形.那么把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？以五边形ABCDE为例说明.

[交流讨论]分成3小组，小组之间交流讨论.教师巡视，提示可将分割点放在五边形的边上，放在五边形的内部，放在五边形的外部.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下三种方法，让学生对比自己的解法，查漏补缺.

同时与学生一起总结所用的转化思想与分割点的位置.

[课件展示]教师利用多媒体展示以下例1：

[提出问题]知道了多边形的内角和公式，那么回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？为什么？（因为正多边形的每个内角相等，所以用内角和除以内角的个数（n）即可得到正多边形每个内角的度数.）

[归纳总结]正多边形的每个内角的度数等于.

[课件展示]跟踪训练

1.将一个多边形的边数增加1，它的内角和将（　B　）

A．增加90° B．增加180° C．增加360° D．保持不变

同时提醒学生：多边形每增加一条边，其内角和就会增加180°.

[课件展示]跟踪训练

（2021春•娄底期中）一个正多边形的内角和为1800°，求它的边数和每个内角的度数．

解：设这个正多边形的边数是n，则（n-2）•180°=1800°.

解得n=12．

1800°÷12=150°.

故这个正多边形的边数为12；每个内角的度数150°．

同时提醒学生：利用内角和公式计算时，先不要去括号，把（n-2）看成一个整体，先求（n-2）的值，再求n的值.这样可使运算更简单.

知识点2   多边形的外角和

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例2.

例2  如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？

[分析]教师提出以下三个问题，学生带着这三个问题分析例2：（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？

分析得到六边形的外角和为：6个外角加上与它们相邻的内角所得的总和（即6个平角）减去六边形的内角和,最终结果为360°.

[提出问题]在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形的外角和又是多少呢？

[课件展示]教师利用多媒体展示如下推导过程：

n个外角加上与它们相邻的内角为180°×n，

n边形的内角和为180°×（n-2），

n边形的外角和为180°×n-180°×（n-2）=360°.

[归纳总结]多边形的外角和等于360°.

同时提醒学生，多变形的外角和为定值360°，与边数无关.

[课件展示]教师利用多媒体展示动画，同时解释多边形外角和的另一种理解方式:

从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和. 由于走了一周，所转的各个角的和就等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.

[提出问题]知道了多边形的外角和公式，那么回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个外角是多少度吗？为什么？(因为正多边形的每个外角相等，所以用外角和（360°）除以内角的个数（n）即可得到正多边形每个外角的度数.)

[归纳总结]多边形的每个外角的度数等于.

[课件展示]跟踪训练

（2021•盐城）若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为 　9　．

【课堂小结】

【课堂训练】

1.（2020秋•张店区期末）内角和为720°的多边形是（　D　）

2.（2021扬州模拟）若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和（　D　）

A．增加180° B．增加360° 

C．减少180° D．不变

3.（2021春•西湖区校级期中）在四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠B比∠D大60°，则∠B的度数为（　D　）

A．70° B．80° C．120° D．130°

4.（2021广州一模）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　C　）米．

A．60       B．72    C．48      D．36

5.（2021上海徐汇区二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　B　）

A．180° B．270° C．360° D．540°

6.（2021北京通州区一模）如图中的平面图形由多条直线组成，计算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=    360    °．

7.一个多边形的边数由5增加到11，则内角和增加的度数是  1080     °．

8.（2021南京一模）如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠C-∠1=  54     °．

9.已知正多边形的一个内角为144°，求该正多边形的内角和.

解：根据题意，得（n-2)×180°=144°n，

解得n=10.

∴这个正多边形的边数是10．

∴该正多边形的内角和为（10-2)×180°=14400°

解法二：∵正多边形的一个内角是144°，

∴该正多边形的一个外角为36°，

∵多边形的外角之和为360°，

∴边数=     =10.

∴这个正多边形的边数是10．

∴该正多边形的内角和为（10-2)×180°=14400°

10. 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.

解：如图，∵∠3＋∠4=∠8＋∠9，

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7

=∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7

=五边形的内角和

=540°.

【教学反思】

本节课先引导学生用分割四边形的方法（分割点在顶点）得到四边形内角和，再根据四边形内角和的推导过程探究五边形、六边形的内角和，进而从特殊到一般，推导出多边形的内角和，让学生再一次经历转化的过程，加深对转化思想方法的理解，然后鼓励学生寻找多种分割形式（分割点分别在边上、内部、外部），深入领会转化的本质——将多边形转化为三角形问题来解决。经历六边形的外角和去推导n变形的外角和，在理解了内角和与外角和的基础上，提出正多边形的每一个内角和外角的计算公式.充分体现了学生学习的自主性，新课标“以人为本”的思想，发展学生的语言表达能力.