高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.2 等比数列的前n项和习题ppt课件

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§3　等比数列3.2　等比数列的前n项和第2课时　等比数列习题课
1．掌握等比数列前n项和的性质的应用．2．掌握等差数列与等比数列的综合应用．3．会用错位相减法求数列的和．1．通过学习等比数列的通项公式、前n项和公式、性质及其应用，提升数学运算素养。2．借助利用等比数列的前n项和公式解决实际问题，培养数学建模素养.
练一练：数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3n＋1＋3－m，且{an}是等比数列，则m＝(　　)A．0 B．3 C．4 D．6[分析]　利用an＝Sn－Sn－1算出通项，再结合该数列为等比数列可求m.
[解析]　因为Sn＝3n＋1＋3－m，
若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
练一练：则数列{an}的前20项和为(　　)A．1 110 B．1 111 C．1 112 D．1 113[分析]　由数列的递推关系知奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，由此可分组求和．
[解析]　因为n≥3且n为奇数时an＝2＋an－2，所以所有奇数项构成a1＝0为首项，2为公差的等差数列，又因为n≥4且n为偶数时，an＝2an－2，即所有偶数项构成a2＝1为首项，2为公比的等比数列，所以a1＋a2＋a3＋…＋a20＝(a1＋a3＋...＋a19)＋(a2＋a4＋...＋a20)故选D.
一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．
　　　　　(1)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列，则Sn与an的关系是(　　)A．Sn＝2an－1 B．Sn＝2an＋1C．Sn＝4an－3 D．Sn＝4an－1
(2)数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，an＋1＝3Sn，则下列关于{an}的论断中正确的是(　　)A．一定是等差数列B．可能是等差数列，但不会是等比数列C．一定是等比数列D．可能是等比数列，但不会是等差数列
[解析]　(1)设等比数列的公比为q(q>0)，由a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列，得2a2＝a4－a3，即2q＝q3－q2，得q＝2.(2)an＋1＝3Sn，an＝3Sn－1，故an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)，而n＝1时，a2＝3S1＝3a1，可知该数列不是等比数列．当an＝0时，数列{an}为等差数列．故本题正确答案为B.
[规律方法]　关于等比数列Sn与an的关系(2)Sn－Sn－1＝an(n≥2)是Sn与an之间的内在联系，既可以推出项　　an－1，an，an＋1之间的关系，也可得到Sn－1，Sn，Sn＋1之间的关系，体现了Sn与an关系的本质．
　　　　　　　　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an＋1，求Sn.[解析]　∵Sn＝2an＋1①∴Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)②①－②得an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，
又a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1，∴数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列，
　　　　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝Sn＋an＋1，______.请在①a4＋a7＝13；②a1，a3，a7成等比数列；③S10＝65，这三个条件中任选一个补充在题干中，并解答下列问题．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn－an}是公比为2的等比数列，b1＝3，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)因为Sn＋1－Sn＝an＋1，所以，由题意得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，所以数列{an}是等差数列，公差为1.选①，a4＋a7＝13，则a1＋3＋a1＋6＝13，解得a1＝2，所以an＝2＋(n－1)＝n＋1；选②，a1，a3，a7成等比数列，
所以an＝2＋(n－1)＝n＋1；
(2)由题意得b1－a1＝1，bn－an＝2n－1，任选①②③：an＝n＋1，所以bn＝2n－1＋n＋1，Tn＝(1＋2)＋(2＋3)＋(22＋4)＋…＋(2n－1＋n＋1)
[规律方法]　分组求和法的适用条件如果一个数列{cn}可写成cn＝an±bn的形式，其中数列{an}，{bn}分别是等差数列，等比数列或可转化为能够求和的数列，可以采用分组求和法．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)设公比为q，∵a1＝1，a2a4＝16，∴q4＝16，∵q＞0，∴q＝2.∴an＝2n－1.
当n＝1时，b1＝S1＝2满足上式，∴bn＝3n－1.(2)cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(20＋21＋…＋2n－1)＋[2＋5＋…＋(3n－1)]
所以Sn＝n·2n－1(n∈N*)．所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，①2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②
[规律方法]　错位相减法的适用条件与注意事项(1)适用条件：求数列{an·bn}的前n项和，其中数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列；(2)步骤：在和式两边同乘等比数列{bn}的公比，然后作差计算；(3)注意：①两式相减时，要特别注意最后一项的符号，②利用等比数列前n项和公式对相减后的和式求和时，要注意项数．
　　　　　　　　已知等差数列{an}满足a3＝6，前7项和为S7＝49.(1)求{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝(an－3)·3n，求{bn}的前n项和Tn.
(2)bn＝(an－3)·3n＝n·3n，所以Tn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n…①3Tn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1…②由①－②得：－2Tn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1
对于通项中含字母的数列求和，忽略对字母进行分类讨论而致误　　　　　求数列1，a，a2，…的前n项和Sn.
[误区警示]　错误的原因在于忽略了对a的取值进行分类讨论．
1．等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[解析]　由题，当数列为－2，－4，－8，…时，满足q>0，但是{Sn}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{Sn}是递增数列，则必有an>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．故选B.
2．若等差数列{an}的首项为1，公差为1，等比数列{bn}的首项为－1，公比为－2，则数列{an＋bn}的前8项和为(　　)A．－49 B．－219 C．121 D．291