北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列3 等比数列3.2 等比数列的前n项和第2课时学案

第2课时　等比数列的前n项和(二)

题型一　等比数列前n项和的函数特征

例1　已知等比数列{an}的公比为q，且有1－q＝3a1，求{an}的前n项和．

方法归纳

求等比数列前n项和时，若公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；若不等于1，它的前n项和可以看作关于n的函数，然后用函数性质求解．

跟踪训练1　已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝(　　)

A．－4    B．－1

C．0    D．1

题型二　等差数列与等比数列的基本运算

例2　记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.

方法归纳

在等差数列{an}中，通常把首项a1和公差d作为基本量，在等比数列{bn}中，通常把首项b1和公比q作为基本量，列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列的常用方法．

跟踪训练2　设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3与的等比中项为S5，S3与S4的等差中项为1，求等差数列{an}的通项公式an.

题型三　等差数列与等比数列的综合

例3　在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.

(1)求d，q的值；

(2)是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

方法归纳

(1)通过等差数列，等比数列的通项公式，建立方程组，求出d，q，运用了方程的思想．

(2)对于存在性问题的解题规律是首先假设存在性成立，然后从其出发进行推理论证，若找到符合题设存在的条件，则存在性成立，若出现矛盾，则存在性不成立．

跟踪训练3　在①q·d＝1，②a2＋b3＝0，③S2＝T2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的λ存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．

若Sn是公差为d的等差数列{an}的前n项和，Tn是公比为q的等比数列{bn}的前n项和，________，a1＝1，S5＝25，a2＝b2，是否存在正数λ，使得λ|Tn|<12?

[课堂十分钟]

1．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＝(　　)

A．1    B．2

C．    D．

2．公差不为零的等差数列{an}的第二、第三、第六项构成等比数列，则公比为(　　)

A．1    B．2

C．3    D．4

3．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　)

A．1    B．0

C．1或0    D．－1

4．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________．

5．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．

(1)求{an}的通项公式an；

(2)求数列}的前n项和．

第2课时　等比数列的前n项和(二)

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：由题意得，等比数列{an}的公比q的取值未定，需分情况讨论．

当q＝1时，由于3a1＝1－q＝0，

即a1＝0，与{an}是等比数列矛盾，

∴q≠1，即＝.

又∵等比数列前n项和公式为Sn＝－·qn＋，

∴Sn＝－qn＋.

跟踪训练1　解析：解法一　设等比数列为{an}，由已知得a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝12，

a3＝S3－S2＝＝a1·a3，

即144＝(4＋a)×48，∴a＝－1.

解法二　数列{an}是非常数列的充要条件是前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A，由此可见a＝－1.

答案：D

题型二

例2　解析：设数列{an}的公差为d，

依题设有

即

解得或

因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)．

跟踪训练2　解析：设等差数列{an}的首项为a，公差为d，则an＝a＋(n－1)d，

前n项和Sn＝na＋d.

由题意得

其中S5≠0，于是得

整理得解得或

由此得an＝1或an＝4－(n－1)＝n.

经验证an＝1时，S5＝5或an＝n时，S5＝－4均适合题意．故所求数列的通项公式为an＝1或an＝n.

题型三

例3　解析：(1)由a2＝b2，a8＝b3，得

即

解方程组得或(舍)

(2)存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立．

由(1)知an＝1＋(n－1)·5＝5n－4，bn＝b1qn－1＝6n－1，

由an＝logabn＋b，得5n－4＝loga6n－1＋b，

即5n－4＝nloga6＋b－loga6

比较系数得∴

所以存在a＝，b＝1，使得对一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立．

跟踪训练3　解析：∵S5＝25＝5a3，∴a3＝5，

∴a2＝＝＝3，

∴b2＝a2＝3.

∴d＝a2－a1＝3－1＝2.

若选①，∵q·d＝1，∴q＝＝，

∴b1＝3×2＝6，

∴Tn＝＝12，

由λ|Tn|<12得λ≤1，又λ>0，所以λ的取值范围为(0，1].

若选②，∵a2＋b3＝0，

∴b3＝－a2＝－3，

∴q＝－1，b1＝－3，

∴当n为偶数时，Tn＝0，则λ>0；

当n为奇数时，Tn＝－3，由λ|Tn|<12得λ<4.

综上得λ的取值范围为(0，4)．

若选③，由S2＝T2得b1＝a1＋a2－b2＝1＋3－3＝1.

∴q＝＝3.

∴Tn＝＝，

由指数函数的性质可知Tn无最大值，

∴不存在正数λ，使得λ|Tn|<12.

[课堂十分钟]

1．解析：(特值法)：设a，b，c分别为2，4，8.

则x＝＝3，y＝＝6∴＝＝2.

故选B.

答案：B

2．解析：设等差数列的公差为d(d≠0)，首项为a1，

由题意可得(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)

解得d＝－2a1，或d＝0(舍去)．

∴等比数列的公比q＝＝＝＝3.

故选C.

答案：C

3．解析：∵Sn－Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)，又∵{Sn}是等差数列，

∴an为定值，即数列{an}为常数列，∴q＝＝1(n≥2且n∈N*)．

故选A.

答案：A

4．解析：显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又因为Sn＝3n－1＋t，

所以t＝－.

答案：－

5．解析：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1或d＝0(舍去)．

故{an}的通项公式an＝1＋(n－1)×1＝n.

(2)由(1)知＝2n，

由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.