高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精练

课时跟踪检测 （三十三） 平面与平面垂直的性质

层级(一)　“四基”落实练

1．下列命题中错误的是          (　　)

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

解析：选D　由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．故选D.

2．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是    (　　)

A．垂直　　　　　　　　　 B．平行

C．l⊂β  D．平行或l⊂β

解析：选D　如图l∥β或l⊂β.故选D.

3．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是                                                                                                                                             (　　)

A．异面  B．相交但不垂直

C．平行  D．相交且垂直

解析：选C　∵α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，∴n⊥α.又m⊥α，∴m∥n.故选C.

4.如图所示，在三棱锥P­ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则                                             (　　)

A．PD⊂平面ABC

B．PD⊥平面ABC

C．PD与平面ABC相交但不垂直

D．PD∥平面ABC

解析：选B　∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.

又∵平面ABC⊥平面PAB，PD⊂平面PAB，

平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.

5．(多选)给出以下四个命题，其中真命题是        (　　)

A．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行

B．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

C．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行

D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直

解析：选ABD  A.线面平行的性质定理知A正确；B.由线面垂直的判定定理知B正确；C.由这两条直线可能相交或平行或异面知C错误；D.由面面垂直的判定定理知D正确.故选A，B，D.

6．如图，在三棱锥P­ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则

PB＝________.

解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，

∴PA⊥平面ABC.又AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB.

∴PB＝＝＝.

答案：

7．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．

解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．

答案：3

8.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.

证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD.

因为平面PCD⊥平面ABCD，

平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，

所以AD⊥平面PCD.

层级(二)　能力提升练

1.如图所示，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在                                                                                    (　　)

A．直线AB上  B．直线BC上

C．直线AC上  D．△ABC内部

解析：选A　连接AC1.∠BAC＝90°，即AC⊥AB.又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.

2.如图所示，两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．

解析：如图，取CD的中点G，连接MG，NG.

因为四边形ABCD，四边形DCEF为正方形，且边长为2，

所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.

因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG

⊂平面ABCD，

所以MG⊥平面DCEF.

又NG⊂平面DCEF，所以MG⊥NG.

所以MN＝＝.

答案：

3．如图所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．

解析：设P在平面ABC上的射影为O.

∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，

∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.

∴O是△ABC的外心，且是AB的中点．

∴△ABC是直角三角形．

答案：直角

4.如图，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于点E.

(1)判断DC与BE的关系；

(2)求证：DC⊥BC.

解：(1)DC⊥BE.理由如下：

∵平面ABC⊥平面ACD，BE⊥AC于点E，平面ABC∩平面ACD＝AC，   BE⊂平面ABC，∴BE⊥平面ACD.

又DC⊂平面ACD，∴BE⊥DC.

(2)证明：∵AB⊥平面BCD，DC⊂平面BCD，∴AB⊥DC.

∵BE⊥DC，AB∩BE＝B，∴DC⊥平面ABC，

又BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC.

5.如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2.

(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；

(2)求四棱锥P­ABCD的体积．

解：(1)证明：在△ABD中，∵AD＝2，BD＝4，AB＝2，

∴AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.

∵BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.

(2)过P作PO⊥AD交AD于O，

∵平面PAD⊥平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD.

∴PO为四棱锥P­ABCD的高．

又△PAD是边长为2的等边三角形，

∴PO＝×2＝.

∵在底面四边形ABCD中，AB∥DC，

AB＝2DC，

∴四边形ABCD是梯形．

在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，

∴四边形ABCD的面积为S＝×＝6.

故VP­ABCD＝×6×＝2.

层级(三)　素养培优练

如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．

(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.

(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?

解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.

∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.

又＝＝λ(0<λ<1)，

∴不论λ为何值，总有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.

又EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值，

总有平面BEF⊥平面ABC.

(2)由(1)知，EF⊥BE.

又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.

∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，

AB⊥平面BCD，∴BD＝，AB＝tan 60°＝.

∴AC＝ ＝.

由AB2＝AE·AC得AE＝，∴λ＝＝，

故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.