人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课时练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课时练习，共6页。

1．下列命题错误的是( )
A．若平面α⊥平面β，则α内所有直线都垂直于β
B．若平面α⊥平面β，则平面α内的直线垂直于平面β内的无数条直线
C．若平面α⊥平面β，则在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线
D．若平面α⊥平面β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内
解析：选A 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1B1B⊥平面ABCD，直线AB1⊂平面AA1B1B，但AB1与平面ABCD不垂直，故A错．
2．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是( )
A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
解析：选B A中α，γ可以相交；C中如图：a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.故选B.
3.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A．平行
B．EF⊂平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直
D．垂直
解析：选D 由于正方体中面ABB1A1⊥面A1B1C1D1，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直．故选D.
4．(多选)如图，在四面体PABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDF⊥平面ABC
解析：选ABC 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立．故选A、B、C.
5.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影点H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：选A 连接AC1(图略)．∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.
6.如图，在三棱锥P­ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB＝eq \r(PA2＋AB2)＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5).
答案：eq \r(5)
7.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq \r(2)，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________．
解析：如图，取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC.
可知DE⊥CE.
由已知可得DE＝eq \r(3)，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝eq \r(DE2＋CE2)＝2.
答案：2
8．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD.
∴∠ADO＝45°.
答案：45°
9.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
证明：(1)因为三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，
又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，
所以直线A1F∥平面ADE.
10.如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝eq \f(1,2)BE.求证：EA⊥平面ABCD.
证明：设AF＝EF＝a，则BE＝2a.
如图，过点A作AM⊥BE于点M，
∵AF∥BE，∴AM⊥AF.
又∵AF⊥EF，∴AM∥EF，
又AF＝EF，
∴四边形AMEF是正方形．
∴AM＝a，EM＝MB＝a，∴AE＝AB＝eq \r(2)a，
∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB.
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AE⊂平面ABEF，∴EA⊥平面ABCD.
[B级 综合运用]
11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A．2eq \r(7) B．7
C.eq \r(19) D．eq \r(5)
解析：选A 如图所示，因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小．由条件知AC＝4，BC＝4eq \r(3)，故CM的最小值为2eq \r(3)，又PC＝4，则PM的最小值为eq \r(42＋（2\r(3)）2)＝2eq \r(7).
12．(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，则在翻折过程中，可能成立的结论为( )
A．DF⊥BC B．BD⊥FC
C．平面BDF⊥平面BCF D．平面CDF⊥平面BCF
解析：选BC 对于A，因为BC∥AD，AD与DF相交且不垂直，所以BC与DF不垂直，故A错误；对于B，设点D在平面BCF上的射影为点P，若BP⊥CF，则BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使BP⊥CF，故B正确；对于C，当点P落在BF上时，DP⊥平面BCF，DP⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCF，故C正确；对于D，因为点D的射影不可能在FC上，所以平面CDF⊥平面BCF不成立，即D错误．故选B、C.
13.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．
解析：如图，取CD的中点G，连接MG，NG. 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq \r(2).
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF，
可得MG⊥NG，
所以MN＝eq \r(MG2＋NG2)＝eq \r(6).
答案：eq \r(6)
14.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°.
(1)求证：C1B⊥平面A1B1C1；
(2)P是线段BB1上的动点，当平面C1AP⊥平面AA1B1B时，求线段B1P的长．
解：(1)证明：由AB⊥侧面BB1C1C，得AB⊥C1B.
由BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°，知∠C1BC＝90°，即C1B⊥CB.
又CB∩AB＝B，所以C1B⊥平面ABC.
由棱柱的性质，知平面ABC∥平面A1B1C1，
所以C1B⊥平面A1B1C1.
(2)因为AB⊥侧面BB1C1C，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.过点C1作C1P⊥BB1，交BB1于点P，连接AP(图略)，则C1P⊥平面AA1B1B.
又C1P⊂平面C1AP，所以平面C1AP⊥平面AA1B1B.
在▱BB1C1C中，∠BB1C1＝∠BCC1＝60°，∠C1BC＝∠BC1B1＝90°，
所以B1P＝eq \f(1,2)B1C1＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2).
[C级 拓展探究]
15．如图a，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图b，点E是线段AM的中点．
(1)求四棱锥D­ABCM的体积；
(2)求证：平面BDE⊥平面ABCM；
(3)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由．
解：(1)由已知DA＝DM，E是AM的中点，
∴DE⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，∴DE⊥平面ABCM.
∴四棱锥D­ABCM的体积V＝eq \f(1,3)SABCM·DE＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×3－\f(1,2)×1×1))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(5\r(2),12).
(2)证明：由(1)可得，DE⊥平面ABCM，DE⊂平面DEB，
∴平面DEB⊥平面ABCM.
(3)过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.理由：
在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM(图略)，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，
∴l⊥平面ADM，∴l⊥AD.