2019北京石景山高二（上）期末数学（教师版）

2019北京石景山高二（上）期末

数    学

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）

1.设a，b，，且，则　　

A.   B.   C.   D.

2.命题“存在，”的否定是　　

A. 不存在，  B. 存在，
C. 对任意的，  D. 对任意的，

3.设a，b是两条直线，，是两个平面，则由下列条件可以得到的是　　

A. ，，  B. ，，
C. ，，  D. ，，

4.“”是“”的　　

A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件
C. 充要条件    D. 不充分也不必要条件

5.等差数列的公差，且，若是与的等比中项，则　　

A. 5  B. 6  C. 9  D. 11

6.设，，则以下不等式中不恒成立的是　　

A.  B.
C.  D.

7.直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则BM与AN所成角的余弦值为　　

A.   B.   C.   D.

8.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品　　

A. 60件 B. 80件 C. 100件 D. 120件

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

9.设3，、1，、1，，则AB的中点M到点C的距离为______．

10.若数列的前n项和2，3，，则此数列的通项公式______．

11.已知1，，0，，若和相互垂直，则______．

12.能够说明“存在不相等的正数a，b，使得”是真命题的一组a，b的值为______．

13.已知关于x的不等式对任意恒成立，则m的取值范围是______．

14.下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是______写出所有符合要求的图形序号．
 

三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）

15.记关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q．
Ⅰ若，求P；
Ⅱ若，求正数a的取值范围．

16.如图，正三棱柱的侧棱长和底边长均为2，D是BC的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ求三棱锥的体积．





 

17.已知数列为递增的等比数列，，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ记，求数列的前n项和．

18.如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，，，F为PD的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求证：平面PEC；
Ⅲ求二面角的大小．




 

19.设数列的通项公式为数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值．
Ⅰ若，，求；
Ⅱ若，，求数的前2m项和公式．

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）

1.

【答案】D

【解析】解：A、当时，该不等式不成立，故本选项错误；
B、由得到，不成立故本选项错误；
C、当时，，即不等式不成立，故本选项错误；
D、当a，b，，且，成立，故本选项正确；
故选：D．
利用不等式的性质或通过取特殊值即可得出．
熟练掌握不等式的性质及通过取特殊值否定一个命题等是解题的关键．
2.

【答案】D

【解析】解：特称命题的否定是全称命题．
命题“存在，”的否定是：“对任意的，”．
故选：D．
利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查．
3.

【答案】A

【解析】解：由设a，b是两条直线，，是两个平面，得：
在A中，由，，，得，，故A正确；
在B中，由，，，利用线面垂直的性质定理得，故B错误；
在C中，由，，，得a，b相交、平行或异面，故C错误；
在D中，由，，，得a，b相交、平行或异面，故D错误．
故选：A．
在A中，推导出，从而；在B中，利用线面垂直的性质定理得；在C中，a，b相交、平行或异面；在D中，a，b相交、平行或异面．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4.

【答案】B

【解析】解：由得，得，
则”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
求出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
5.

【答案】C

【解析】解：，．
是与的等比中项，
，
，
化为：，解得．
故选：C．
，可得根据是与的等比中项，可得，代入化简整理即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.

【答案】B

【解析】解：，，
．故A恒成立，
B.，取，则B不成立
C.故C恒成立
D.若则恒成立
若，则，
故选：B．
根据基本不等式的性质可知．排除A，取，判断出B不成立排除C；看和，时D项均成立排除D．
本题主要考查了基本不等式问题考查了学生对基础知识的掌握．
7.

【答案】C

【解析】解：直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，如图：BC  的中点为O，连结ON，
，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是，
，
设，，，，，
在中，由余弦定理可得：．
故选：C．
画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．
本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．
8.

【答案】B

【解析】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为为正整数
由基本不等式，得
当且仅当时，取得最小值、
可得时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：B．
若每批生产x件，则平均仓储时间为天，可得仓储总费用为，再加上生产准备费用为800元，可得生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是元，由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小值对应的x值
本题结合了函数与基本不等式两个知识点，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

9.

【答案】3

【解析】解：3，、1，、1，，
的中点2，，
的中点M到点C的距离：
．
故答案为：3．
先利用中点坐标公式求出AB的中点M，再利用两点间距离公式能求出AB的中点M到点C的距离．
本题考查两点间距离的求法，考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.

【答案】

【解析】解：由题意可得：当时，，
所以．
当时，，也符合，
所以数列的通项公式为：．
故答案为：．
由题意可得：当时，当时，，也符合，进而求出数列的通项公式．
解决此类问题的关键是熟练掌握数列通项公式的方法，以及结合正确的运算．
11.

【答案】

【解析】解：；
与互相垂直；
；
解得．
故答案为：．
可求出，根据与垂直，即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k．
考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算．
12.

【答案】，3

【解析】解：取，，得到，
能够说明“存在不相等的正数a，b，使得”是真命题的一组a，b的值为，3．
故答案为：答案不唯一
取，，得到，由此能求出结果．
本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
13.

【答案】

【解析】解：对任意恒成立
令，
的对称轴为
在上单调递减
当时取到最小值为
实数m的取值范围是
故答案为：．
构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最小值问题，求出二次函数的对称轴，判断出其单调性，求出的最小值，令最小值大于等于m即得到m的取值范围．
本题考查了解决不等式恒成立问题，分离参数转化为求函数的最值问题；求二次函数的最值问题，常利用公式求出对称轴，据区间与对称轴的关系判断出其单调性，求出最值．
14.

【答案】

【解析】解：如图，设正方体为．

在题图中，连结，则，又是l在面内的射影，
同理，．
平面故符合．
   在题图中，延长MP交的延长线于E，连结NE，若面MNP，则．
   又是l在平面内的射影，，
平面，矛盾不符合．
    在题图中，平面MNP与题图中的平面MNP不是同一平面，它们又过同一点，
题图不符合．
    在题图中，，，
平面延长PM交AB于F，取CD的中点G，则，
平面连结FG交BC于H，则平面MNP，可证H是BC的中点．
题图与题图中的平面MNP实为同一平面．
也符合．
答案：
能得出面MNP，关键是看平面MNP中有没有与1垂直的直线，逐一判断即可．
点评：本题要先想象直观判断哪些图形符合，再加以推理，考查了空间想象能力、反证法、线面的位置关系等知识，通过这个试题可看出试题在向增加思维量、综合考查同学们的各种能力转化．
三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）

15.

【答案】解：由，得．
．
由，得，又，结合图形
所以，即a的取值范围是．

【解析】分式不等式的解法，可转化为整式不等式来解；对于中条件，应结合数轴来解决．
对于条件的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．
16.

【答案】Ⅰ证明：因为是正三棱柱，所以平面ABC
因为平面ABC，所以
因为是正三角形，D为BC中点，所以，分
因为，所以平面分
Ⅱ证明：连接，交于点O，连接OD．

由 是正三棱柱，得四边形为矩形，O为的中点．
又D为BC中点，所以OD为中位线，
所以，分
因为平面，平面，
所以平面；分
Ⅲ解：分

【解析】Ⅰ证明平面，利用线面垂直的判定，证明，，即可
Ⅱ连接，交于点O，连接OD，利用OD为中位线，可得，利用线面平行的判定，可证平面；
Ⅲ利用等体积，可得结论．
本题考查线面垂直，考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，掌握线面垂直、线面平行的判定是关键．
17.

【答案】解：Ⅰ由及分
得或舍                                   分
所以，
所以分
Ⅱ由Ⅰ得分
所以分

【解析】Ⅰ由及，，解出，再利用通项公式即可得出．
Ⅱ由Ⅰ得，再利用求和公式即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.

【答案】本小题共14分
证明：Ⅰ依题意，平面ABCD．
如图，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系                                          分
依题意，可得0，，4，，4，，
0，，0，，4，，0，．
因为，，
所以                                 　分
所以分
Ⅱ取PC的中点M，连接EM．
因为2，，，，
所以，所以                                                分
又因为平面PEC，平面PEC，
所以平面                                           分
解：Ⅲ因为，，，
所以平面PCD，故为平面PCD的一个法向量分
设平面PCE的法向量为，
因为，，
所以即
令，得，，故               分
所以，分
所以二面角的大小为                           分

【解析】Ⅰ依题意，平面以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．
Ⅱ取PC的中点M，连接推导出，由此能证明平面PEC．
Ⅲ由，，得平面PCD，求出平面PCD的一个法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．
本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19.

【答案】解：Ⅰ，，
，
当时，由，得，
则成立的所有n中的最小正整数为7，即．
Ⅱ由题意，得，
对于正整数m，由，得．
根据的定义可知
当时，；
当时，
．

【解析】Ⅰ先得出，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；
Ⅱ先得出，再解关于n的不等式，根据的定义求得再求得；
本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．