2018-2019学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合，，0，1，，则　　

A．， B．， C．， D．，1，

2．（5分）设是虚数单位，复数，则的共轭复数为　　

A． B． C． D．

3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

4．（5分）下列函数中为偶函数的是　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知向量，则下列关系正确的是　　

A． B． C． D．

7．（5分）在中，，，，则的面积为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是　　

A．当时，有4个零点；当时，有1个零点 

B．当时，有3个零点；当时，有2个零点 

C．无论为何值，均有2个零点 

D．无论为何值，均有4个零点

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）在的展开式中，的系数为　 　．（用数字作答）

10．（5分）设为等差数列的前项和，，，则其通项公式　　．

11．（5分）若变量，满足约束条件，则的最小值等于　　．

12．（5分）写出“”的一个充分不必要条件　　．

13．（5分）已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的离心率是　 　．

14．（5分）2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行．不过，为了让老百姓尽早享受到减税红利，自2018年10月至2018年12月，先将工资所得税起征额由3500元月提高至5000元月，并按新的税率表（见附录）计算纳税．

按照税法规定，小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下：

（相关计算公式为：应纳税额纳税所得额起征额，

税款应纳税额适用税率速算扣除数，

税后工资纳税所得额税款）

（1）某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，那么他9月份的税款为　　元；

（2）某职工乙2018年10月税后工资为14660元，则他享受减税红利为　　元．

附录：

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（13分）函数的部分图象如图所示．

（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；

（Ⅱ）设，求函数在区间上的最小值．

16．（13分）2018年9月，某校高一年级新入学有360名学生，其中200名男生，160名女生．学校计划为家远的高一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍，每间宿舍可住2名同学．

该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层抽样，其中共抽取40名男生家庭居住地与学校的距离数据（单位：如下：

（Ⅰ）根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居住地与学校距离为，他是否能住宿？说明理由；

（Ⅱ）通过计算得到男生样本数据平均值为，女生样本数据平均值为，求所有样本数据的平均值；

（Ⅲ）已知能够住宿的女生中有一对双胞胎，如果随机分配宿舍，求双胞胎姐妹被分到

同一宿舍的概率．

17．（14分）如图，在中，，，．可以通过以直线为轴旋转得到，且，动点在斜边上．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求与平面所成的角中最大角的正弦值．

18．（14分）已知抛物线经过点，其焦点为．为抛物线上除了原点外的任一点，过的直线与轴，轴分别交于，．

（Ⅰ）求抛物线的方程以及焦点坐标；

（Ⅱ）若与的面积相等，求证：直线是抛物线的切线．

19．（13分）已知函数．

（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若有极小值，求实数的取值范围．

20．（13分）将1至这个自然数随机填入方格的个方格中，每个方格恰填一个数．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．

（Ⅰ）若，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；

（Ⅱ）当时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为；

（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于．

2018-2019学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

【解答】解：，，0，1，；

，1，．

故选：．

【解答】解：，

的共轭复数为：．

故选：．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

，，

执行循环体，，，

不满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，执行循环体，，，

满足条件，退出循环，输出的值为4．

故选：．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，有，即函数为奇函数；

对于，，有，是偶函数；

对于，，有，为奇函数；

对于，，有，不是偶函数，

故选：．

【解答】解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥，

所以三棱锥的体积为：．

故选：．

【解答】解：；

；

不与垂直；

错误；

；

不与垂直；

错误；

又；

；

正确．

故选：．

【解答】解：，，，

由正弦定理可得：，

，为锐角，

，

可得：，

．

故选：．

【解答】解：分四种情况讨论．

（1）时，，，此时的零点为

（2）时，，，则时，有一个零点，时，没有零点，

（3）若，时，，则时，有一个零点，时，没有零点，

（4）若，时，，则时，有一个零点，时，没有零点，

综上可知，当时，有4个零点；当时，有1个零点

故选：．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

【解答】解：在的展开式中，的系数为，

故答案为：80．

【解答】解：根据题意得，，，

，

，

，

，

故答案为：．

【解答】解：画出约束条件表示的平面区域如图阴影部分，

由，求得点，

代入中求得最小值为．

故答案为：4．

【解答】解：，

的一个充分不必要条件只需是的真子集，

是答案之一．

故答案为：；（答案不唯一）．

【解答】解：据已知条件中的焦点坐标判断出焦点在轴上，设双曲线的方程为

一个焦点为，

①

线段的中点坐标为，

的坐标为，将其代入双曲线的方程得②

解①②得，，

所以双曲线的方程为．

双曲线的离心率为：．

故答案为：．

【解答】解：（1）根据题意，某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，

则甲的应纳税额对应的税率为，速算扣除数为105，那么他9月份的税款为元；

（2）根据题意，设乙的工资为元，个税改革之前其应缴的个税为元，个税改革之后其应缴的个税为元，

则，

，

若职工乙2018年10月税后工资为14660元，即，

分析可得有，解可得，

该职工的税款元，

在个税改革之前，该职工的税款元，

则职工乙享受减税红利为元；

故答案为：（1）95，（2）1155．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

【解答】解：（Ⅰ）由图可得，，

所以，．

当时，，可得，

，．

．

（Ⅱ）

．

，

．

当，即时，有最小值为．

【解答】（本小题13分）

解：（Ⅰ）能住宿．

因为200名男生中有10名男生能住宿，

所以40名男生样本中有2名男生能住宿．

样本数据中距离为和的男生可以住宿，距离为以下的男生不可以住宿，

由于，所以男生甲能住宿．

（Ⅱ）根据分层抽样的原则，抽取女生样本数为32人．

所有样本数据平均值为．

（Ⅲ）解法一：记住宿的双胞胎为，，其他住宿女生为，，，，，．

考虑的室友，共有，，，，，，七种情况，

所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为．

解法二：设“双胞胎姐妹被分到同一宿舍”为事件，

则．

 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为．

【解答】（本小题14分）

证明：（Ⅰ）在中，，

，且，

平面，

又平面，

平面平面．

解：（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，

为的中点，

，0，，，0，，，1，，，0，，，

，，，

设为平面的法向量，

即

令，则，

是平面的一个法向量，

设为平面的法向量，

即

令，则，，

是平面的一个法向量，

，

二面角的余弦值为．

（Ⅲ）解法一：平面，

为与平面所成的角，

，

点到直线的距离最小时，的正弦值最大，

即当时，的正弦值最大，

此时，，

与平面所成的角中最大角的正弦值为．

解法二：设，所以，，．．

平面的法向量，

当时，与平面所成的角最大，．

与平面所成的角中最大角的正弦值为．

【解答】（本小题14分）

解：（Ⅰ）因为抛物线经过点，

所以，．

所以抛物线的方程为，焦点点坐标为．

证明：（Ⅱ）因为与的面积相等，

所以，所以为的中点．

设，，则，．

所以直线的方程为，

与抛物线联立得：

，

，

所以直线是抛物线的切线．

【解答】（本小题13分）

解：（Ⅰ）当时，，．（1），（1），

所以在处的切线方程为．

（Ⅱ）有极小值函数有左负右正的变号零点

令，则

令，解得．，，的变化情况如下表：

①若，即，则，所以不存在变号零点，不合题意．

②若，即时，（a），（1）．

所以，使得；

且当时，，当，时，．

所以当时，，，的变化情况如下表：

所以．

【解答】解：（Ⅰ）当时，如下表填数：

同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为

2，，3，2，可得此填数法的“特征值”为；

（Ⅱ）当时，如下表填数：

同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为

4，3，，5，9，，，，，，，，8，3，，，，，

可得此填数法的“特征值”为；

（Ⅲ）不妨设为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为（A），

考虑含个元素的集合，，，，，

易知其中必有至少两个数处于同一行，设为

也必有至少两个数处于同一列，设为．

①若

则有（因为．

②若，即，

则，．

所以．

即不论何种情况，总有．

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日期：2019/12/17 21:17:51；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267