2022北京石景山高一（上）期末数学（教师版）

2022北京石景山高一（上）期末

数    学

本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

（ 1 ）已知集合，且，则的值可能为

（A） （B） （C）0 （D）1

（ 2 ）命题“，”的否定是

（A）， （B），

（C）， （D），

（ 3 ）下列函数中既是奇函数，又是减函数的是

（A）  （B） 

（C）  （D）

（ 4 ）设，且，下列选项中一定正确的是

（A）  （B） 

（C）  （D）

（ 5 ）设是定义在上的奇函数，且当时，，则

（A）   （B）  

（C）   （D）

（ 6 ）函数的零点所在的区间是

（A）  （B） 

（C）  （D）

（ 7 ）不等式的解集为，则函数的图像大致为

 （A） （B）

 （C） （D）

（ 8 ）令，，，则的大小顺序是

（A）  （B） 

（C）  （D）

（ 9 ）下列命题中不正确的是

（A）一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数

（B）数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5

（C）若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定

的是乙

（D）为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽

取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟

（10）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则t分钟后物体的温度单位：满足：．

若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为      (参考数据：

（A）16分钟  （B）18分钟 

（C）20分钟  （D）22分钟

第二部分（非选择题  共60分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

（11）函数的定义域是__________．

（12）已知幂函数经过点，则__________．

（13）制造一种零件，甲机床的正品率为，乙机床的正品率为．从它们制造的产品中各任抽1件，则两件都是正品的概率是__________．

（14）“”是“”的__________条件．填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分也不必要”

（15）已知函数（）．

①当时的值域为__________；

②若在区间上单调递增，则的取值范围是__________．

三、解答题：本大题共5个小题，共40分。应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（16）（本小题满分6分）

已知集合，，．

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）若，求实数的取值范围．

（17）(本小题满分8分)

已知函数．

（Ⅰ）用定义证明函数在区间上单调递增；

（Ⅱ）对任意都有成立，求实数的取值范围．

（18）（本小题满分9分）

某网站为调查某项业务的受众年龄，从订购该项业务的人群中随机选出200人，并将这200人的年龄按照，，，，分成5组，得到的频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）求的值和样本的平均数同一组数据用该区间的中点值作代表；

（Ⅱ）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中恰有1人年龄在中的概率．

（19）(本小题满分8分)

计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x米，两个养殖池的总面积为y平方米，如图所示：

（Ⅰ）将y表示为x的函数，并写出定义域；

（Ⅱ）当x取何值时，y取最大值？最大值是多少?

（20）(本小题满分9分)

若实数x，y，m满足，则称x比y远离

（Ⅰ）若比远离，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由．

2022北京石景山高一（上）期末数学

参考答案

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．

三、解答题（大题共5个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16． (本小题满分6分)

解：（Ⅰ），，

， 

.                      

（Ⅱ）若，则.

则实数a的取值范围是.   

17．(本小题满分8分)

解：（Ⅰ） 任取，且，

因为，

所以，

所以，即.

所以在上为单调递增．                        

（Ⅱ）任意都有成立，即. 

由（Ⅰ）知在上为增函数，

所以时，.

所以实数的取值范围是.                   

18．(本小题满分9分)

解：（Ⅰ）由，得 

平均数为岁.

（Ⅱ）第1，2组的人数分别为人，人，

从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，

则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，          

分别记为，，，，

从5人中随机抽取2人，样本空间可记为

，，，，，，

，，，， 

用表示“2人中恰有1人年龄在”，则

，，，，，，

包含的样本点个数是6. 

所以2人中恰有1人年龄在中的概率  

19．(本小题满分8分)

解：（Ⅰ）依题意得温室的另一边长为米.

因此养殖池的总面积，     

因为解得

所以定义域为                  

（Ⅱ）

因为，

所以，

当且仅当，即时上式等号成立， 

所以.

当时，.

当x为30时，y取最大值为1215. 

20．(本小题满分9分)

解：（Ⅰ）因为比远离，

所以，即. 

所以或，

得，或.

的取值范围是.                  

（Ⅱ）因为，

， 

因为，所以．

从而，

①当时，

即；  

②当时，

因为，

所以．

所以．

即． 

综上，，即比更远离．