2022北京石景山高二（上）期末数学（教师版）

2022北京石景山高二（上）期末

数    学

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．直线的倾斜角为　　

A． B． C． D．

2．点到直线的距离等于　　

A．7 B．5 C．3 D．2

3．已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

4．已知平面的法向量为，，，平面的法向量为，2，，若，则　　

A． B． C．1 D．2

5．下列双曲线中以为渐近线的是　　

A． B． C． D．

6．若，，，，0，，，2，，则的值为　　

A．3 B．4 C．7 D．15

7．在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是　　

A． B． C． D．

8．已知椭圆的焦点为，．过点的直线与交于，两点．若的周长为8，则椭圆的标准方程为　　

A． B． 

C． D．

9．已知直线和圆，则直线与圆的位置关系为　　

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

10．我们知道：用平行于圆锥母线的平面（不过顶点）截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于　　)

A． B． C． D．1

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．

11．在棱长为2的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是 　　．

12．如果直线与直线垂直，那么　　．

13．正方体的棱长是1，则直线与平面所成角的大小为 　　．

14．为抛物线上一动点，当点到直线的距离最短时，点的坐标是 　　．

15．在平面直角坐标系中，到两个定点和的距离之积等于2的轨迹记作曲线．对于曲线，有下列四个结论：

①曲线是轴对称图形；

②曲线是中心对称图形；

③曲线上所有的点都在单位圆内；

④曲线上所有的点的横坐标，．

其中，所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（6分）已知点，，．求：

（Ⅰ）边上的中线所在直线的方程；

（Ⅱ）三角形的面积．

17．（8分）如图，在四棱锥中，平面，，，，点为棱的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面．

18．（8分）在平面直角坐标系中，已知点，，，的外接圆为圆，直线的方程为．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若直线与圆相交于，两点，，求的值．

19．（9分）如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折起，使，为线段上的动点，如图2．

（Ⅰ）求二面角的大小；

（Ⅱ）设，若所在直线与平面相交，求的取值范围．

20．（9分）椭圆，经过点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，点，为坐标原点，证明：．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．

【解答】解：直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，

又，

．

故选：．

【点评】本题考查斜率与倾斜角的关系，是基础题．

2．【分析】由已知代入点到直线的距离公式即可求解．

【解答】解：由已知代入点到直线的距离公式可得：

，

故选：．

【点评】本题考查点到直线的距离公式，属基础题．

3．【分析】对于，与相交、平行或异面；对于，与相交或平行；对于，与相交或平行；对于，由线面垂直的性质得．

【解答】解：，是两条不同直线，，，是三个不同平面，

对于，若，，则与相交、平行或异面，故错误；

对于，若，，则与相交或平行，故错误；

对于，若，，则与相交或平行，故错误；

对于，若，，则由线面垂直的性质得，故正确．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．

4．【分析】设平面的法向量为，平面的法向量为．由于，可得，因此实数使得．再利用向量共线定理的坐标运算即可得出．

【解答】解：设平面的法向量，，，平面的法向量，2，．

，

，

实数使得．

，得．

故选：．

【点评】本题考查了相互平行的两个平面的法向量共线的性质、向量共线定理的坐标运算，属于基础题．

5．【分析】利用双曲线的渐近线方程，直接判断选项即可．

【解答】解：因为的渐近线方程为：，

所以选项正确；

故选：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．

6．【分析】先求得，由此求得 的值．

【解答】解：依题意，所以．

故选：．

【点评】本题主要考查空间向量加法和数量积的坐标运算，属于基础题．

7．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．

【解答】解：如图，将平移到，平移到，则为直线与所成角

棱长为1，则，，

，

故选：．

【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．

8．【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标分析可得椭圆的焦点在轴上，且，结合椭圆的性质可得的周长为，则有，即可得的值，计算可得的值，将、的值代入椭圆的方程即可得答案．

【解答】解：根据题意，椭圆的焦点为，，即椭圆的焦点在轴上，且；

又由的周长为8，

则有，

变形可得，

则；

故要求椭圆的方程为；

故选：．

【点评】本题考查椭圆的定义以及标准方程，注意的周长为，属于基础题．

9．【分析】由直线系方程可知直线过定点，再说明定点在圆内，可得直线与圆的位置关系．

【解答】解：由直线，得，

可知直线过定点，

化圆为，知圆心，半径为2，

，则在圆内，

直线与圆的位置关系为相交．

故选：．

【点评】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，是基础题．

10．【分析】过点作，垂足为，由已知条件可推得，，，在平面内建立直角坐标系，再结合抛物线的性质，即可求解．

【解答】解：如图①所示，过点作，垂足为，

是母线的中点，圆锥的底面半径和高均为2，

，

，

在平面内建立直角坐标系，如图②所示，

设抛物线的方程为，为抛物线的焦点，

，

，解得，

故该圆锥曲线的焦点到其准线的距离为．

故选：．

【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查数形结合的能力，属于中档题．

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．

11．【分析】由棱锥的体积公式进行转换．

【解答】解：是中点，．

故答案为：

【点评】本题主要考查锥体体积的计算，属于基础题．

12．【分析】两直线垂直则、前系数对应相乘相加为0，解出即可．

【解答】解：因为直线与直线垂直，所以，解得或0．

故答案为：或0．

【点评】本题考查了两直线垂直满足的公式，属于简单题．

13．【分析】根据题意，画出直观图，直接作出直线与平面 所成的角为，通过简单计算可得．

【解答】解：根据题意，如上图所示，连接与交于，易知：，

平面，则有：，

综上可得：平面，

故有：为直线与平面所成的角，

那么，，

故答案为：．

【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题．

14．【分析】当点到直线的距离最短时，过的切线与直线平行，设与平行，且与抛物线相切的直线为，由△可得，即可求解．

【解答】解：当点到直线的距离最短时，过的切线与直线平行，

设与平行，且与抛物线相切的直线为，

联立可得，

由△可得，

方程的解为，

此时切点为，．

故答案为：，．

【点评】本题考查了抛物线的性质、切线问题，考查了转化思想，属于中档题．

15．【分析】求出曲线的方程，利用曲线的对称性可判断①②的正误；取点，可判断③的正误；由已知可得，令，可知函数有非负零点，求出的取值范围，可判断④的正误．

【解答】解：设曲线上任意一点的坐标为，则，

化简可得，即曲线的方程为．

对于①，在曲线上任取一点，则点关于轴的对称点为，

则，点在曲线上，

故曲线为轴对称图形，①对；

对于②，则点关于原点的对称点为，

则，点在曲线上，

故曲线为中心对称图形，②对；

对于③，令，可得，解得，

因为，即点在单位圆外，③错；

对于④，由可得，

令，，

若，则．

若有一个正零点、一个负零点，则，解得；

若有两个正零点，则，此时不等式组无解．

综上所述，，，④对．

故答案为：①②④．

【点评】本题主要考查轨迹方程问题，图形的对称性，轨迹中的范围问题等知识，属于中等题．

三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．【分析】（Ⅰ）由中点坐标公式可得边的中点坐标为，从而求出边上的中线所在直线的方程．

（Ⅱ）由点，的坐标求出直线的方程，再利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，结合三角形面积公式即可求出结果．

【解答】解：（Ⅰ），，

边的中点坐标为，

又点，

边上的中线所在直线方程为．

（Ⅱ）点，，

直线的斜率为，

直线的方程为，即，

又，

点到直线的距离为，

又，

三角形的面积为．

【点评】本题主要考查了直线的一般方程，考查了点到直线距离公式以及三角形面积公式，同时考查了学生的计算能力，是基础题．

17．【分析】（1）构造平行四边形证明线面平行即可；

（2）根据线面垂直得线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直．

【解答】（1）证明：取中点，连接，，因为为中点，为中点，

所以，且．

又因为，且，

所以，且．

所以四边形为平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面．

（2）因为平面，平面，

所以，

又因为，，

所以，

又，、平面，

所以平面．

【点评】本题考查线面平行，线面垂直，考查学生的推理能力，属于中档题．

18．【分析】（Ⅰ）由已知可得圆心坐标及半径，则圆的方程可求；

设圆心到直线的距离为，由弦长可得弦心距，再由点到直线的距离公式列式求解．

【解答】解：（Ⅰ）圆经过点、、，

，，

圆心为，半径为，

则圆的方程为；

设圆心到直线的距离为，

直线与圆相交于，两点，，

，得，则，

，解得或．

【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．

19．【分析】（Ⅰ）用向量数量积计算二面角的余弦值；（Ⅱ）与平面相交，即为不平行，用求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知、、两两垂直，建系如图，

，1，，，0，，，0，，，2，，

，，，，，，，1，，

令，0，，，1，，

因为，，是平面的法向量，

因为，，是平面的法向量，

设二面角的大小为，因为为钝角，所以，所以．

（Ⅱ）解：因为，，，所以，0，，，0，，

要使所在直线与平面相交，只要所在直线与平面不平行，即，解得．

所以的取值范围为，，．

【点评】本题考查了二面角的计算问题，考查了直线与平面的位置关系，属于中档题．

20．【分析】（1）根据条件可得，结合离心率和，，三者关系可得，从而求得椭圆方程；

（Ⅱ）分析条件，要证明结论只需证明直线，斜率之和为0即可，分斜率存在与不存在两种情况分别证明．

【解答】解： 由题设知，，

结合，解得，

所以椭圆的方程为．

证明：由可得椭圆的右焦点为，

当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，，，

代入椭圆方程，

可得，易知△，

，，

则，

则；

当直线斜率不存在时，垂直轴，由对称性易知，

综上，．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆综合，属于中档题．